1、北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）试题数学（文） 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知全集是实数集.下边的韦恩图表示集合与关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A B C D2已知向量，且，那么的值为（ ）A B C D3下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）A B C D4在平面直角坐标系中，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）A B C D5已知，那么“”的充分必要条件是（ ）A B C D6已知直线与圆相交于，两点，且(其中为原点)，那么的值是（ ）A B C D 7日晷，是中国古代利用日影测得时
2、刻的一种计时工具，又称“日规”其原理就是利用太阳的投影方向来测定并划分时刻利用日晷计时的方法是人类在天文计时领域的重大发明，这项发明被人类沿用达几千年之久下图是故宫中的一个日晷，则根据图片判断此日晷的侧(左)视图可能为（ ）8已知甲、乙两个容器，甲容器容量为，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水(，单位：L). 现将甲容器中的液体倒入乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒入甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计. 设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精(单位：L)，下列关
3、于数,列的说法正确的是（ ）A当时，数列有最大值 B设，则数列为递减数列C对任意的，始终有 D对任意的，都有二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9已知三内角，对应的边长分别为，且，又边长，那么 10已知其中是实数，是虚数单位，那么 11下面茎叶图记录了甲，乙两班各六名同学一周的课外阅读时间（单位：小时），已知甲班数据的平均数为13，乙班数据的中位数为17，那么的位置应填_；的位置应填_.12已知函数的零点在区间 内，那么 .13已知双曲线以原点O为中心，过点，且以抛物线：的焦点为右顶点，那么双曲线的方程为 14如图，在棱长为2的正方体中，为对角线上的一点，为对角线上的两个动点，且线段的长
4、度为1.（1）当为对角线的中点且时，则三棱锥的体积是_； （2）当三棱锥的体积为时，则_.三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15（本小题13分）在等差数列中，.（）求通项；（）若，求数列的前项和.16.（本小题13分）函数的最大值为, 它的最小正周期为.（）求函数的解析式；（）若，求在区间上的最大值和最小值. 17（本小题13分）某单位附近只有甲，乙两个临时停车场，它们各有50个车位，为了方便市民停车，某互联网停车公司对这两个停车场在工作日某些固定时刻的剩余停车位进行记录，如下表：时间8点10点12点14点16点18点停车场甲1031261217停车场乙13
5、432619如果表中某一时刻停车场剩余停车位数低于总车位数的10%，那么当车主驱车抵达单位附近时，该公司将会向车主发出停车场饱和警报.（）假设某车主在以上六个时刻抵达单位附近的可能性相同，求他收到甲停车场饱和警报的概率；（）从这六个时刻中任选一个时刻，求甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率；（）当停车场乙发出饱和警报时，求停车场甲也发出饱和警报的概率.18（本小题14分）如图，在四棱柱中，侧面和侧面都是矩形，是边长为2的正三角形，分别为，的中点. （）求证：平面；（）求证：平面平面；（）若平面，求棱的长度.19（本小题13分）设函数，（）当时，试求的单调增区间；（）试求在上的最大值；（）当时，
6、求证：对于，恒成立20（本小题14分）已知椭圆.（）若椭圆的右焦点坐标为，求的值；（）由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形.若以为直角顶点的椭圆的内接等腰直角三角形恰有三个，求的取值范围.参考答案 一、选择题1D 2C 3C 4A 5A 6B 7D 8D二、填空题9. 10. 11. 3，8 12. 513. 14. , 三、解答题15解：（）因为 ，所以 . 于是 ，所以 .（）因为，所以 .于是 ，令 ，则 .显然数列是等比数列，且，公比，所以数列的前项和. 16.解：（）由已知最小正周期为,所以,解得.因为的最大值，所以. 所以的解析式为.（）因为= 所以= = 因为于是，当
7、时，取得最大值；当取得最小值17解：（）事件“该车主收到停车场甲饱和警报”只有10点这一种情况，该车主抵达单位共有六种情况，所以该车主收到停车场甲饱和警报的概率为（）事件“甲停车场比乙停车场剩余车位数少”有8点、10点、18点三种情况，一共有六个时刻，所以甲停车场比乙停车场剩余车位数少的概率为 （）事件“停车场乙发出饱和警报”有10点、12点、14点三种情况，事件“停车场甲也发出饱和警报”只有10点一种情况，所以当停车场乙发出饱和警报时，停车场甲也发出饱和警报的概率为18解：（）因为侧面和侧面都是矩形，所以，且.因为，所以平面. （）因为是正三角形，且为中点，所以.因为平面，而平面，所以.因为
8、，所以平面.因为平面，所以平面平面. （）因为，而为的中点，所以.所以四点共面.因为平面，而平面平面，所以.所以四边形是平行四边形.所以. 19解：（）由得当时，令，得， 所以的单调增区间为（）令得所以当时，时恒成立，单调递增；当时，时恒成立，单调递减； 当时，时，单调递减；时，单调递增综上，无论为何值，当时，最大值都为或，所以当时，.当时，（）令，所以.所以.令，解得，所以当，单调递减；当，单调递增.所以当时，.所以函数在单调递增.所以. 所以，恒成立20解：（）椭圆的方程可以写成，焦点在轴上，所以，求得. （）设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为，设，显然与不与坐标轴平行，且可设直线的方程为，则直线的方程为，由 消去得到，所以求得同理可求因为为以为直角顶点的等腰直角三角形，所以，所以，整理得所以 或，设因为以为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个，所以关于的方程有两个不同的正实根，且都不为所以实数的取值范围是.
