1、理科数学参考答案第 1 页（共 10 页） 2022 届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（二） 理科数学参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A D B C B D C C B C A 【解析】 1因为1 | 1342MxxNxx ，所以213MNxx，故选 B 212i(12i)(1i2)13i1i2 ，故选A 3由茎叶图可知A，B正确；另乙商品的销售量均值比甲的高；甲销售数据的中位数是93，故选D 4由2211122 lglglgKbcTTT知，故选B 5由对称性可知四边形12PF
2、QF为平行四边形，又由22PFQF得四边形12PFQF为矩形，所以12|2PQFFc， 又2|PF2| 1QF 3， 所以22|3PFcQFc， 所以有2|QF 2|( 31)2PFca，所以23131cea，故选C 6三人中有且只有一人说真话，假设甲说真话，而乙、丙说假话，则甲会、乙会，与题设矛盾；假设乙说真话，而甲、丙说假话，有矛盾；假设丙说真话，而甲、乙说假话，则甲不会、乙会，符合题设；综上，乙会跳拉丁舞，故选B 7先将过点E，F，G的截面补充完整，如图1所示，故多面体 AEB ADFGC D 的正视图为D，故选D 821cos10(1cos10 )sin 51122 ，原式2(sin8
3、01)=1cos10 2(cos101)21cos10 ，故选 C 图 1 理科数学参考答案第 2 页（共 10 页） 9如图 2，由题得60sin75sin75sin45sin60ABCEAEAE，所以CE 20 6sin75，所以110 62sin75CDCE，23sin75sin(4530 )22 2162224，40 66020 36020 1.7325.462CD ，故选C 10先排甲乙丙三位运动员有33A6种不同的排法，然后把2个“雪容融”“捆”在一起记作A，剩下一个“雪容融”记作B，把A，B插入甲乙丙3人旁边4个位置中的2个位置有24A12种，所以共有6 1272种，故选B. 1
4、1如图3，301ABCACAB，12sinsin30ACABC，则 ABC外接圆的半径为1. 又球的表面积为16 ， 即2416SR， 球的半径为 2设O到平面ABC的距离为d，则22213d ， 所以O ABCV1111 1 sin120332ABCSd 134，故选 C 12由对任意122xx，都有1212() ()()0 xxf xf x，可得( )f x在2)，上单调递增； 由函数(2)yf x的图象关于点y轴对称，得函数( )yf x的图象关于2x 对称，由(222)(3)fstf s，得|(222)st 32|()2|s ， |22 |1|sts，2(22 )st 2(1)s ，2
5、238421 0sstts ，即248ts t 2(321)0ss (看成关于t的一元二次不等式)， (231)ts(21)0ts ，tx sy令， 则(231)(21)001xyxyx ， ，则 问 题 等 价 于 点()xy，满 足 可 行 域图 2 图 3 图 4 理科数学参考答案第 3 页（共 10 页） (231)(21)01xyxyx ，0 ，为如图4阴影部分时，21yx的取值范围. 由线性规划知识可知21yx为 点()xy，与 点( 12)，连 线 的 斜 率 ， 由 图 可 得21312yx， 11112A.23(1)24311txytsxyx，故选 二、填空题（本大题共 4
6、小题，每小题 5 分，共 20 分） 题号 13 14 15 16 答案 210 xy 23 12 2 6 【解析】 132(2)e( )(1)xxfxx，(0)2kf 斜率.又(0)1f ，切线方程为( 1)2yx ， 210.xy 即 14由已知(2)aab，得2(2)2|0aabaa b，22|a ba. 又|3|ba，所以222|2cos3|3|a baa baa b ，. 15由题意，取线段AB的中点( 1 1)M ， ，由2214PA PBPMAB ，因为圆心(0 0)O，到( 1 1)M ，的距离为|2OM ，所以|PM 的最小值为21，又| 2 2AB ，故最小值为12 2.
7、16如 图5， 不 妨 设2BDCD，(0)AHh h， ADAB，1BHHD，tanBh，tan3hC ， tan A 2tantan4tan()tantan13BChBCBCh，tantanAB 2322tantantantan34433(3)hCABChhhh令( )f h 3243(3)hh ， 22229( )129(3)hfhhh，令( )0fh，可得3h ，( )f h在(0 3)， 上单减，在(3)，上单增，min( )(3)6f hf，所以tantantanABC的最小值为6. 图 5 理科数学参考答案第 4 页（共 10 页） 三、解答题（共70分解答应写出文字说明，证明过
8、程或演算步骤） 17（本小题满分12分） 解：（1）由统计数据填写22列联表，如下： 年龄低于40岁的人数年龄不低于40岁的人数 总计有意向购买冰墩墩的人数 50 25 75 无意向购买冰墩墩的人数 5 20 25 总计 55 45 100 （2分） 则222()100(502025 5)16.49810.828()()()()7525 5545n adbcKab cd ac bd， （5 分） 因此有99.9%的把握认为购买冰墩墩与人的年龄有关. （6 分） （2）X 的所有可能取值为 0，1，2，3， （7 分） 3337C1(0)C35P X ，213437CC12(1)C35P X ，
9、 123437CC18(2)C35P X ，3437C4(3)C35P X ， （9 分） 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 135 1235 1835 435 X 的期望11218412()0123.353535357E X （12 分） 理科数学参考答案第 5 页（共 10 页） 18（本小题满分 12 分） 解：（1）3116224(2)(4)nnnnnSaaaa由， 2428nnnSaa ， 2111428nnnSaa ， 22111144()2()nnnnnnnaSSaaaa， 2211112()()().nnnnnnnnaaaaaaaa 0na ， 10nnaa，12 .
10、nnaa （4 分） 当1n 时，2111428aaa ，得12a 或14a ， 0na ，14a ， 12(1)22. naann （6 分） （2）21()32nnaa nSnn， 记2( 1) (3 )( 1)nnnnbSnn ，其前 n 项和222221234( 1)nnTn ， 当 n 为偶数时， 222221234nTn (21)(21)(43)(43)(1)(1)nnnn 12341nn (1)2n n ； 当 n 为奇数时，11nnnTTb 12(1)(2)( 1)(1)2nnnn 理科数学参考答案第 6 页（共 10 页） 2232(1)2nnn (1).2n n 所以(1)
11、( 1).2nnn nT （12 分） 19（本小题满分 12 分） （1）证明：如图 6，连接11AD B E， D EACBC， 分别是，的中点， 11/DE AB AB ， 11D EAB， ， ， 四点在同一平面内. 111C FAB， 1.C FDE （2 分） 在侧面11CBBC 中，因为1111tantan2BC FEB B，则111BC FEB B ， 11111112EB BB FCBC FB FC ， 11.C FB E （4 分） 又1DEB EE， 111C FDEB A 平面， 又1AG 平面11DEB A ， 11.C FAG （6 分） （2）解：11111111
12、ABB BABC FB BC FF， 1111.ABC CBB 平面 （7 分） 如图建立空间直角坐标系，设0 1EGt t， ， 图 6 理科数学参考答案第 7 页（共 10 页） 111(2 0 2)(0 0 2) (0 2 2) (0 1 0) (1 0)ABCEG t， ， ， ， ， ， ， ， ， 则设平面11AB E 的法向量为()mxyz， ， . 111( 2 0 0)(0 12)ABB E 又， ， ， 则11100mABm B E ，2020 xyz，(0 2 1).m ， ， 设平面11AC G 的法向量为111()nxyz， ， 则11100nAGnAC ，11220
13、(2)20 xytxyz，11 12tn， （9 分） 22221231692cos295(1)529524ttttm nttttt ， 2181811.929552ttttt （10 分） 当1t 时，取得最大值105， 故二面角111CAGB平面角的余弦值的最大值是10.5 （12 分） 20（本小题满分 12 分） 解：（1）由题意(2 0)( 2 0)AB， ， 设动点()P xy，则001222yyxx ， 化简得轨迹 E 的方程为2212xy(0)y （4 分） 理科数学参考答案第 8 页（共 10 页） （2）显然直线l 的斜率不为 0，设直线l 的方程为1xmy，设定点(0)Q
14、 t， ， 联立方程组22122xmyxy，消x可得22(2)210mymy ， 设11()M xy，22()N xy， 可得12222myym ，12212y ym ， （6分） 所以12121212()()(1)(1)QMQNxt xty ymyt myty y 222222212(23)1(1)(1)(1)(1)222mtmmmtttmmm， （8分） 要使上式为定值，则1232t ，解得54t， （10分） 此时215712416QMQN ， 所以， 存在点504Q， 使得QMQN 为定值7.16 （12分） 21（本小题满分12分） 解： （1）( )e (2e)xxfxa. （1分
15、） 当0a 时，( )0fx恒成立，所以( )f x在R上单调递增； （2分） 当0a时，令( )e (2e)0 xxfxa，解得ln2ax， 令( )e (2e)0 xxfxa，解得ln2ax， 所以( )f x在ln2a，上单调递增，在ln2a，上单调递减. （4分） （2）显然0 x不是( )( )f xg x的解，由( )( )f xg x得，22e(0)exxxaxx， （5分） 理科数学参考答案第 9 页（共 10 页） 令22e( )exxxh xax，则222(1)(e )( )exxx xh xx， 所以( )h x在(0) (0 1)， ， ， 上单调递增，在(1)，上单调
16、递减， 所以( )0h x至多有3个零点，且这三个零点分别分布在(0) (0 1)， ， ， 和(1)，上 （7分） 当1eea时，则1(1)e0eha ， 所以( )h x至多有两个零点， 不符题意， 舍去； （8分） 当1eea，1(1)e0eha， 若1x，则有2e2( )1exxxxh xaaxx ， 取1441xa，则1()0h x，则( )h x在1(1)x，上至少有一个零点； 若(0 1)x， ，e1( )exxxh xaxaxx，取2242aax(0 1)， ，则2()0h x，则( )h x在2(1)x， 上至少有一个零点， 取1( 1)e0eha ，若1x ，e1( )ee
17、exxxxxh xaax， 取234ln112aax ，则3()0h x，( )h x在3(1)x，上至少有一个零点， 这说明当1eea时，( )h x恰有三个不同的解. 综上， 当1eea时，( )h x有三个不同的解. （12分） 22（本小题满分10分）【选修44：坐标系与参数方程】 解：（1）由曲线C的极坐标方程2cos，可得22 cos， 将cossinxy，代入可得222xyx，即221(1)xy， 即曲线C的直角坐标方程为2211).(xy （4分） 理科数学参考答案第 10 页（共 10 页） （2）如图7，设()P xy，设(1cossin )M，(1cossin )N， 其
18、中MN，不与原点重合，即cos1cos1. 且 设ON的直线方程为sin1cosyx， 令cos1x，得sin (cos1)1cosy， 即点P的轨迹1C的参数方程为cos1(cos1cos1).sin (cos1)1cosxy ，为参数， （10分） 23（本小题满分10分）【选修45：不等式选讲】 解：（1）函数4133( ) |26|24| 11132492xxf xxxxxx ， ， 11( )|1|11xxg xxxx ， ，所以图象如图 8 （5 分） （2）)()(g xtf x 表示( )yg x平移| | t个单位后，图象恒不高于( )yf x的图象，结合图象可得( )yg x向右至少平移 2 个单位或者向左平移至少 5 个单位，所以有2t或者5.t （10 分） 图 8 图 7
