1、第 1 页 共 7 页梅州市高三总复习质检试题（梅州市高三总复习质检试题（20222022. .4 4）数学参考答案与评分意见一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分。9 9101011111212BDBCDABCABD三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.2 214.183515.331416.12四、解答题：本题共 6 小题，共
2、70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.17.（本小题满分本小题满分 1010 分分）解:（1）依题意，由余弦定理得:2222cosBCDBDCDB DCBDC.2 分149 127,2 .3 分解得：. 7BC.4 分（2）依题意，由正弦定理得:sinsinBCDBBDCDCB，.5 分所以32sin212sin.77DBBDCDCBBC.6 分因为DBDC, 所以DCB为锐角，所以232 7cos1 sin1.77DCBDCB.7 分1 12 23 34 45 56 67 78 8DDBAADCB第 2 页 共 7 页因为,BDCADCA 所以,ABDCDCABDCDCB
3、.8 分所以sinsin(60)sin60 coscos60 sinADCBDCBDCB.9 分32 712121.272714.10 分18.18. ( (本小题满分本小题满分 1212 分分) )解： （1）选条件：1*,4nnnNaan ，得124(1)nnaan，.1 分24(1)44nnaann，即数列212,kkaa均为公差为 4 的等差数列，.2 分于是2114(1)432(21) 1kaakkk，.3 分又1224,3aaa，.4 分224(1)41=2 (2 ) 1kaakkkg，.5 分所以21.nan.6 分选条件：因为数列nSn为等差数列，且nSn的前3项和为6，得31
4、22361232SSSS ，.1 分所以222S，.2 分所以nSn的公差为212 1121SSd ，.3 分得到21 (1),.nnSnn Snn .4 分当2212,(1)21.nnnnaSSnnn.5 分第 3 页 共 7 页又112 1 1.a 所以21.nan.6 分（2）因为122214(21) (21)nnnnnaanbnnaa.7 分221112 (21)(21)nn，.9 分所以12nnTbbb2222221 1111112 1335(21)(21)nn.10 分22112 (1)1.2(21)(21)n nnn.12 分19.19. ( (本小题满分本小题满分 1212 分
5、分) )解： （1）( )f x的定义域为R，( )2xfxe，.1 分令( )0fx，即2xe ，解得ln2x ，.2 分令( )0fx，即2xe 解得ln2x ，.3 分综上所述，( )f x的单调递减区间为(,ln2)，单调递增区间为(ln2,).5 分（2）令( )2cos ,(,0)2xg xexx x ，( )sin2xg xex，.7 分因为当(,0)2x 时，( )(1)(sin1)0 xg xex，.8 分所以( )g x在(,0)2单调递减.9 分所以( )(0)0g xg，.10 分所以函数( )g x在(,0)2上无零点.11 分即方程( )cosf xx在(,0)2上
6、无实根.12 分第 4 页 共 7 页20.20. ( (本小题满分本小题满分 1212 分分) )（1）证明: 因为四边形ABCD是直角梯形,E F分别是的,AD BC中点,所以/ / /,ABEFCD EFAE EFDE.2 分又,AEDEEEF平面,AED.3 分AD平面,AED所以EF .AD.4 分（2）由(1)可知CD 平面AEDCDAD,Rt ADC中,2224 162 2,ADACCD.5 分又2,AEED所以222,AEEDAD即.AEDE.6 分所以,.EFED EFEA EAED以E为原点，分别以,ED EF EA所在直线作, ,x y z轴，建立如图的空间直角坐标系：则
7、3(0,3,0), (0,0,2),(2,4,0),(0,0).2FACQ.7 分设( , , ),0,1,P x y zAPAC 所以( , ,2)(2,4, 2),x y z.8 分得:2 ,4 ,22 .xyz.9 分22223|(2 )(4)(22 )2PQ.10 分22524204252524().1212.11 分第 5 页 共 7 页则当512时,有| PQ最小值5 36.12 分所以线段PQ长的最小值为5 36.21.21.（本小题满分本小题满分 1212 分分）解：（1）设动点),(yxP，由抛物线定义可知点P的轨迹是以) 1 , 0(F为焦点，直线1:yl为准线的抛物线，
8、. 2 分所以动点P的轨迹方程为yx42.3 分（2）解法一解法一：依题可设).4,(),4,(),1,(2222110 xxBxxAxQ.4 分由yx42,即：214yx，求导得：,2xy.5 分所以切线QBQA,的斜率分别是.2,22211xkxk.6 分所以QA的方程是),(241121xxxxy点) 1,(0 xQ的坐标代入,得：),(24110121xxxx即. 0421021xxx.7 分同理可得. 0422022xxx.8 分于是21,xx是方程04202xxx的两根.所以120122,4.xxx x x .9 分由1202xxx，得120,2xxx即：.MQl.10 分由1 2
9、4x x ，121 212 2x xk k ，第 6 页 共 7 页所以QAQB，即：点Q在圆M上.11 分所以直线l和圆M相切.12 分（2）解法二：解法二：依题可设01122(, 1), ( ,), (,).Q xA x yB x y则2211224 ,4.xy xy.4 分由yx42,即：214yx，求导得：,2xy.5 分所以切线QBQA,的斜率分别是.2,22211xkxk.6 分所以直线QA的方程是1111(),2yyx xx即11220,x xyy同理可得直线QB的方程是22220.x xyy.7分点) 1,(0 xQ的坐标代入,得：0 11022220,220.x xyx xy
10、于是直线AB的方程是0220.x xy.8 分令0 x 得1y .所以直线AB过焦点(0,1)F.又由02220,4x xyxy得220(2)10yxy ，.9 分所以21202,yyx有定义得2120|24AByyx.10 分而点M到直线l的距离为：22012021111(4)|2222xyydxAB .11 分所以直线l和以AB为直径的圆M相切.12 分22.22. ( (本小题满分本小题满分 1212 分分) )解： （1）设感染率为p，10个人的咽拭子混合在一起检测时，设随机变量X表示这10个人一共所需的检验次数.1 分第 7 页 共 7 页若第一次混检都是阴性，所需检测次数为1，1X
11、 ：若是阳性，每人还得再单独检测一次，此时11X ，.2 分且1010(1)(1) ,(11)1 (1)P XpP Xp .4 分于是平均检测次数是101010()1 (1)11 1 (1) 11 10 (1)E Xppp .6 分这10个人一共所需平均检测次数是1011 10(1)p.8 分（2）病毒感染率为万分之一，即410p，于是采取“10合1混采检测”方案，10万人可能需要进行检测的平均次数大约为：4 1010000011 10(1 10 ) 110000 100000 0.999 1010010.10分即进行“10合1混采检测”方案，10万人估计需要的检测次数为10100，比“一人一检”方案少使用约100000 1010089900份检测试剂.12分
