1、理科数学参考答案 第1页（共5页） 绵阳市高中绵阳市高中 2019 级第级第三三次诊断性考试次诊断性考试 理科数学参考答案及评分意见 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 DBCAD ABBAB DC 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 132 410 1591 16192 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 17解： （1）cos2cosbAaB=， 由正弦定理得BAABcossin2cossin=， 即ABtan2tan= 2 分 tanC=-3，A+B+C=， 2tantan3tantantan()tan()31tantant
2、an2ABBCABABABB+=+= += = ， 解得 tanB=1 或-2 tanC=-3， C 为钝角，B 为锐角， tanB=1， 即4B= 6 分 （2）tanC=-3， 3 10sin10C =，10cos10C = 8 分 A+B+C=，A =-(B+C)， sinsin()sin()sincoscossinABCBCBCBC=+=+=+ 21023 105()2102105= += 10 分 由正弦定理CcAasinsin=，得sinsincAaC= c=3， 5103253 10a = ABC 的面积1123sin232222SacB= = 12 分 理科数学参考答案 第2页
3、（共5页） 18解： （1）1234563.506x+=，621()17.5iixx=， 61621()()8414817.5()iiiiixx yybxx=$ 3 分 又144y =，$14448 3.524aybx= $ y 关于 x 的线性回归方程为$4824yx= 5 分 （2）若利用线性回归模型，可得 2022 年我国新能源乘用车的年销售量的预测值为 $48724312y =（万辆）7 分 若利用模型$0.3337.71exy =，则ln3.630.33yx=+， 即3.63 0.33exy+= 2022 年我国新能源乘用车的年销售量的 预测值为$3.63 0.33 75.94ee3
4、80y+=（万辆） 9 分 （3）0.710.87，且2R越大，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 用模型$0.3337.71exy =得到的预测值更可靠 12 分 19解： （1）证明：设点 M 为 BC 的中点，连接 PM，MA PMBC，且 PM=1 在ABM 中，可得3MA =，且MABC， 又MC/AD，且1MCAD=， 四边形 AMCD 为矩形， AM/CD 2 分 在PAM 中，可得222PAAMPM=+， PMMA，即PMCD 又BCCD，PMBCM=I，直线 PM，BC 均在平面 PBC 内， 平面CDPBC4 分 又PB平面 PBC， PBCD， 又PBPC，PCCD
5、C=I， PBPCD 平面 6 分 理科数学参考答案 第3页（共5页） z y x MABCDP（2）以 M 为坐标原点，分别以 MA，MC，MP 为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 M-xyz 由题意得 M(0，0，0)，A(3，0，0)， P(0，0，1)，B(0，1，0)，D(3，1，0)， PA =uuu r(3，0，1)，PB =uuu r(0，1，1)， 设平面 PAB 的一个法向量为 n1=(x，y，z) 300 xzyz= =， 不妨设3=x，则 n1=(3，3，3)9 分 同理可得平面 PAD 的一个法向量为 n2=(3，0，3) cos=1212122
6、772112=n nnn 11 分 由图可知，所求二面角的平面角为钝角， 二面角 B-PA-D 的平面角的余弦值为2 7712 分 20解： （1）22cea=，222abc=+，222ab=2 分 222|4aABb=，由题意得点 A 的坐标为( 22)， 代入椭圆方程得22221ab+= 联立解得23b =，26a = 椭圆 E 的方程为22163xy+=5 分 （2）联立22163，yxmxy=+=消 y 整理得2234260 xmxm+= 由221612(26)0mm =，解得33m 由韦达定理得1243mxx+= ， 212263mxx= 7 分 若存在点 P，使得| |APAB=，
7、APAB，则214()3，Py 且直线 AP 的斜率为2121111141433yyxxkxx= ， 即211423xx= 9 分 联立得21128170mm+=，解得1m = 或1711 存在点 P 满足题意，此时1m = 或171112 分 理科数学参考答案 第4页（共5页） 21解： （1）( )lnfxxa= 令( )0fx，解得eax ，( )0fx，解得0eax 函数 f(x)在区间(0e )，a上单调递减，在区间(e)，a+ 上单调递增 3 分 当0 x 时，f(x)1；当x +时，f(x)=xlnx-(a+1)+1+ 要使得 f(x)有 2 个零点，则(e )1e0aaf= ，
8、 解得 a05 分 （2）( )ln1e，fxxax=，ln01，x i)当 a0 时，( )0fx恒成立，函数 f(x)在区间1，e上单调递增， m= f(e)=1-ae，n= f(1)=-am-n=(1-e)a+1 令 p(a)= (1-e)a+1，则函数 p(a)在区间(0，上单调递减， 函数 p(a)最小值为 h(0)=1 7 分 ii) 当 a1 时，( )0fx恒成立，函数 f(x)在区间1，e上单调递减 m= f(1)=-a，n= f(e)=1-ae，m-n=(e-1)a-1 令 h(a)=(e-1)a-1，则函数 h(a)在区间1)， + 上单调递增， 函数 h(a)最小值为
9、h(1)=e-2 9 分 iii) 当 0a0 函数 q(a)在区间(0)， + 上单调递增， 函数 q(a)的最小值为1()(1)e2e 1qq=， 11e 1e 111e()=e1=ee1e1e1q11 分 当10e 1a时，由 f(1)- f(e)= (e-1)a-10，m= f(e)=1-ae m-n= f(e)- f(ea)=ea-ae 令(a)= ea-ae，则( )eeaa=0 函数( )a在区间(0，1)上单调递减， 1e 11e( )()ee1e1a= 综上，m-n 的最小值为1e 1eee1 12 分 理科数学参考答案 第5页（共5页） 22解： （1）将直线 l 的参数方
10、程消参，得直线 l 的普通方程为43xy+= 222cossin，xyxy=+= 又22xyxy+=+，2|cos|sin|=+， 曲线 C 的极坐标方程为|cos|sin|=+ 5 分 （2）联立02|cos|sin|=+，解得cossin .=+， 点 B 的坐标为(cossin)+，7 分 由题意得直线 l 的极坐标方程为4cossin3+= 联立4cossin3=+=， 解得4.3(cossin )=+， 点 A 的坐标为()4()3 cossin+，8 分 ()()()443 cossincossin3 1sin2OAOB=+ 02 ，02 ， 0sin21， 11121sin2+，
11、24433(1sin2 )3+ 2433OAOB，即OAOB的取值范围是2 43 3，10 分 23解：当 x1 时，不等式等价于321xx+，解得23x，综合，23x； 当 1x2 时，不等式等价于 1x+1，解得 x0，综合，无解； 当 x2 时，不等式等价于 2x-3x+1，解得 x4，综合，x4； 综上，不等式的解集为2 |43 或 x xx5 分 （2）证明：不等式等价于11| | | | |abababab+， 要证11| | | | |abababab+，只要证1 |1 |abababab+， 只要证11|abab+，只要证|abab+， 上式显然成立， 所以原不等式成立 10 分
