1、 湖南省岳阳市岳阳县一中2016-2017学年高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1（5分）设U=0，1，2，3，4，A=0，1，2，3，B=2，3，4，则（uA）（uB）等于（）A1B0，1C0，1，4D0，1，2，3，42（5分）直线L经过两点A（1，3），B（2，6），则直线L的斜率是（）AKAB=1BKAB=1CDKAB不存在3（5分）若cos（）=，则sin2=（）ABCD4（5分）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A12BC8D45（5分）已知直线l平面，直线m平面，有下列四个命题：若，则lm；若，则lm；若lm，则；若
2、lm，则其中，正确命题的序号是（）ABCD6（5分）已知向量=（，），=（，），则ABC=（）A30B45C60D1207（5分）圆心为（2，1）且与直线3x4y+5=0相切的圆方程是（）Ax2+y2+4x2y4=0Bx2+y24x+2y4=0Cx2+y24x+2y+4=0Dx2+y2+4x+2y6=08（5分）设点P是C：（x1）2+（y1）2=8上的点，若点P到直线 l：x+y4=0的距离为，则这样的点P共有（）A1个B2个C3个D4个9（5分）设如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A9+42B36+18CD10（5分）已知函数f（x）是R上的偶函数，它在0，+）上是减函数，若f
3、（lnx）f（1），则x的取值范围是（）A（e1，1）B（0，e1）（1，+）C（e1，e）D（0，1）（e，+）11（5分）函数f（x）=2sin|x|的部分图象是（）ABCD12（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x+2）=f（x2），且当x2，0时，f（x）=（）x1，若在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A（1，2）B（2，+）C（1，）D（，2）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13（5分）已知直线4xay+3=0和直线2x+y1=0平行，则a= 14（5分）若直线xy=2
4、被圆（xa）2+y2=4所截得的弦长为2，则实数a的值为 15（5分），是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么如果m，n，那么mn如果，m，那么m如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题是 （填序号）16（5分）如图在ABC中，AB=3，BC=，AC=2，若O为ABC的外心，则= ，= 三、解答题（本大题共6道小题，满分70分）17（10分）若函数f（x）=sin（2x+）+1（0）图象的一个对称中心坐标为（）求的值；（）求函数y=f（x）的单调递增区间18（12分）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，点D是AB的中点求证：（1）AC
5、BC1；（2）AC1平面B1CD19（12分）设直线l的方程为（a+1）x+y+2a=0（aR）（1）若直线l不经过第二象限，求实数a的取值范围；（2）若直线l与两坐标轴围成的三角形面积等于2，求实数a的值20（12分）已知函数f（x）=是定义在（1，1）上的奇函数，且f（）=（1）确定函数f（x）的解析式（2）用定义证明f（x）在（1，1）上是增函数（3）解不等式f（t1）+f（t）021（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，ADPD，BC=1，PD=CD=2，PDC=120（）证明平面PDC平面ABCD；（）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值22（12分）已知半径为5
6、的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y29=0相切（）求圆的方程；（）设直线axy+5=0（a0）与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（）在（）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由【参考答案】一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分）1C【解析】U=0，1，2，3，4，A=0，1，2，3，B=2，3，4，uA=4，uB=0，1，则（uA）（uB）=0，1，42A【解析】直线L经过两点A（1，3），B（2，6），则直线L的斜率是：KAB=13D【解析】法1：cos（）=，sin2=cos
7、（2）=cos2（）=2cos2（）1=21=，法2：cos（）=（sin+cos）=，（1+sin2）=，sin2=21=，4A【解析】正方体体积为8，可知其边长为2，正方体的体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，所以球的表面积为=125C【解析】已知直线l平面，直线m平面，对于，若，得到直线l平面，所以lm；故正确；对于，若，直线l在内或者l，则l与m的位置关系不确定；对于，若lm，则直线m，由面面垂直的性质定理可得；故正确；对于，若lm，则与可能相交；故错误；6A【解析】，；又0ABC180；ABC=307B【解析】圆心（2，1）到直线3x4y+5=0的距离d=3，所求圆的半径r=3
8、，则所求圆的方程为：（x2）2+（y+1）2=9，即x2+y24x+2y4=08C【解析】C：（x1）2+（y1）2=8的圆心坐标为（1，1），半径为圆心C（1，1）到直线 l：x+y4=0的距离d=如图：则满足条件的点P有三个，分别是P在A，B，D的位置上9D【解析】由三视图可知，几何体是一个简单的组合体，下面是一个底面边长是3的正方形且高是2的一个四棱柱，上面是一个球，球的直径是3，该几何体的体积是两个体积之和，四棱柱的体积332=18，球的体积是，几何体的体积是18+，10C【解析】函数f（x）是R上的偶函数，在0，+）上是减函数，f（lnx）f（1），当lnx0时，因为f（x）在区间0
9、，+）上是减函数，所以f（lnx）f（1）等价于lnx1，解得1xe； 当lnx0时，lnx0，结合函数f（x）是定义在R上的偶函数，得f（lnx）f（1）等价于f（lnx）f（1），由函数f（x）在区间0，+）上是减函数，得到lnx1，即lnx1，解得e1x1当x=1时，lnx=0，f（lnx）f（1）成立综上所述，e1xex的取值范围是：（e1，e）11C【解析】函数f（x）=2sin|x|的图象关于x=对称，从而可排除A，B，D12D【解析】函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意xR，都有f（x+2）=f（x2），f（x2）=f（x+2）=f（2x），即f（x）=f（x+4），即函数的
10、周期是4当 x0，2时，x2，0，此时f（x）=（）x1=f（x），即f（x）=2x1，且当x2，0时，f（x）=（）x1分别作出函数f（x）（图中黑色曲线）和y=loga（x+2）（图中红色曲线）图象如图：由在区间（2，6内关于x的方程f（x）loga（x+2）=0（a1）有3个不同的实数根，可得函数f（x）和y=loga（x+2）图象有3个交点，故有，求得a2，二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）132【解析】直线4xay+3=0和直线2x+y1=0平行，解得a=2，故答案为2140或4【解析】直线xy=2被圆（xa）2+y2=4所截得的弦长为2，圆心（a，0）到直线xy=2的
11、距离d=，解得a=0或a=4，故答案为：0或415【解析】如果mn，m，n，不能得出，故错误；如果n，则存在直线l，使nl，由m，可得ml，那么mn故正确；如果，m，那么m与无公共点，则m故正确如果mn，那么m，n与所成的角和m，n与所成的角均相等故正确；故答案为：162【解析】设外接圆半径为R，则=2同理=所以=故答案为：2，三、解答题（本大题共6道小题，满分70分）17解：（）由函数f（x）=sin（2x+）+1（0）图象的一个对称中心坐标为，得2+=k，kZ，=+k，kZ，又0，k=0时，得=；（）f（x）=sin（2x）+1，由+2k2x+2k，kZ，得+kx+k，kZ，即函数f（x）
12、的单调递增区间为+k，+k，kZ18证明：（1）在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，CC1AC，又ACBC，BCCC1=C，AC平面BCC1B1ACBC1（2）设BC1与B1C的交点为O，连接OD，BCC1B1为平行四边形，则O为B1C中点，又D是AB的中点，OD是三角形ABC1的中位线，ODAC1，又AC1平面B1CD，OD平面B1CD，AC1平面B1CD19解：（1）直线l的方程（a+1）x+y+2a=0化为y=（a+1）x+a2直线l不经过第二象限，解得a1实数a的取值范围是a1，（2）当x=0时，y=a2，y=0时，x=，|（a2）|=2，解得a=0或a=820（1）解：
13、函数f（x）=是定义在（1，1）上的奇函数，则f（0）=0，即有b=0，且f（）=，则，解得，a=1，则函数f（x）的解析式：f（x）=（1x1）；（2）证明：设1mn1，则f（m）f（n）=，由于1mn1，则mn0，mn1，即1mn0，（1+m2）（1+n2）0，则有f（m）f（n）0，则f（x）在（1，1）上是增函数；（3）解：由于奇函数f（x）在（1，1）上是增函数，则不等式f（t1）+f（t）0即为f（t1）f（t）=f（t），即有，解得，则有0t，即解集为（0，）21 （）证明：由于底面ABCD是矩形，故ADCD，又由于ADPD，CDPD=D，因此AD平面PDC，而AD平面ABCD，
14、所以平面PCD平面ABCD6分；（）解：在平面PCD内，过点P作PECD交直线CD于点E，连接EB，由于平面PCD平面ABCD，而直线CD是平面PCD与平面ABCD的交线，故PE平面ABCD，由此得PBE为直线PB与平面ABCD所成的角8分在PDC中，由于PD=CD=2，PDC=120，知PDE=60，在RtPEC中，PE=PDsin60=3，DE=12，PD=1，且BE=，故在RtPEB中，PB=，sinPBE=所以直线PB与平面ABCD所成的角的正弦值为12分22 解：（）设圆心为M（m，0）（mZ）由于圆与直线4x+3y29=0相切，且半径为5，所以 ，即|4m29|=25因为m为整数，故m=1故所求圆的方程为（x1）2+y2=25 （）把直线axy+5=0，即y=ax+5，代入圆的方程，消去y，整理，得（a2+1）x2+2（5a1）x+1=0，由于直线axy+5=0交圆于A，B两点，故=4（5a1）24（a2+1）0，即12a25a0，由于a0，解得a，所以实数a的取值范围是（）（）设符合条件的实数a存在，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+24a=0由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上，所以1+0+24a=0，解得由于，故存在实数使得过点P（2，4）的直线l垂直平分弦AB
