1、重庆理工大学硕士研究生试题专用纸重庆理工大学2016年攻读硕士学位研究生入学考试试题学院名称：数学与统计学院 学科、专业名称：数学、统计学 考试科目(代码)：高等代数（817）A (试题共 4 页)注意：1.所有试题的答案均写在专用的答题纸上，写在试题纸上一律无效。2.试题附在考卷内交回。一选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内。）1. 设，是数域上的多项式，且，则下列命题正确的是（ ）.(A) (B) (C) (D) 2. 设是阶方阵，则必有（ ）. (A) (B) (C) (D) 3. 设是一个矩阵，是非
2、齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组，那么（ ）. (A) 若有解，则仅有零解； (B) 若有非零解，则有解； (C) 若仅有零解，则有唯一解； (D) 若有无穷多组解，则有非零解. 4. 在标准欧式空间中，与矩阵 的每一个行向量都正交的向量的全体所构成的的子空间的维数为（ ）.(A) (B) (C) (D) 第 1页5. 若实二次型是正定的，则的取值范围为（ ）. (A) (B) (C) (D) 二填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分。）1. 已知是实系数多项式的一个复数根，则必有另一个复数根_.2. 设是阶矩阵的伴随矩阵，则_.3. 线性方程组 有唯一解，则_.4已知阶矩阵的全部特征
3、值为，则矩阵的行列式_.5. 已知实数域上的三元二次型的矩阵有特征值，则的典范形式为_.三（10分）给定多项式，（1） 求的有理根；（2） 在有理数域上将分解为不可约多项式的乘积. 四（10分）设分块矩阵 ，其中，为方阵，（1）求证;第2 页（2）若 求.五（15分）给定线性方程组（1）取何值时，方程组有唯一解、没有解、有无穷多组解？（2）在方程组有无穷多组解时，写出其结构式通解.六（15分）给定三阶方阵，已知，且其伴随矩阵（1） 确定的值；（2） 求.七（16分）设是数域上所有4维列向量构成的向量空间，给定矩阵 ，定义到的映射，。（1） 证明：是的一个线性变换；（2） 求的核的维数。第3 页八（18分）给定数域上所有3维列向量构成的向量空间，对任意，定义的线性变换:.（1）求出在基，下的矩阵；（2）求出的特征值和特征向量；（3）判定能否相似对角化九（16分）设是欧式空间的一个规范正交基，,，.子空间（1）求的维数；（2）求的一个规范正交基；（3）求在中的正投影。十（20分）已知实二次型（），的矩阵有一个特征值为.（1）求的矩阵的所有特征值，并确定的值；（2）应用变量的正交变换将已知二次型化为标准形，并写出所用的正交变换；（3）指出表示何种二次曲面。第4页
