1、2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4 页）第 1页2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4 页）第 2页2022 年年春春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中期中联考联考高高一数学一数学试卷试卷命题学校：命题学校：武汉二中武汉二中命题教师：命题教师：钱德雄钱德雄辜辜曦曦审题教师：审题教师：张张崑崑审题学校：孝感高中审题学校：孝感高中审题教师：褚卫斌审题教师：褚卫斌考试时间：2022 年 4 月 20 日下午 15：0017：00试卷满分：150 分一、选择题一、选择题（本题共本题共 8 8 小题，每
2、小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题目要求的）1 已知复数21iz ，则下列结论正确的是（）Az的虚部为 iB2z Cz的共轭复数1iz D2z为纯虚数2 若集合2ln 2, |1Ax yxxBx x，则 A（CRB)（）A1,2B0,1C0,2D1,23 我国古代数学家刘徽在九章算术注中提出了割圆术： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣” 。这可视为中国古代极限思想的佳作。 割圆术可以视为将一个圆内接正 n 边形等分成 n 个等腰三角形（如图所
3、示)，当 n 变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积。运用割圆术的思想，可得到 sin2的近似值为（）A0.018B0.026C0.035D0.0334 若非零向量a、b满足= 5abb，且abb，则a与b的夹角为（）A4B6C34D565如右图， A B C 是斜二测画法画出的水平放置的ABC的直观图，D是B C 的中点， 且/A Dy轴，/B Cx 轴，2A D ，2B C ，那么（）AAD的长度大于AC的长度BBC的长度等于AD的长度CABC的面积为 4DABC的面积为 26 在九章算术商功中将正四面形棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭。在方亭1111ABCDABC D
4、中，1124ABAB，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为12 2，则该方亭的体积为（）A143B283C14 23D28 237 如右图，在ABC中，点 M 是AB上的点且满足3AMMB ，N 是AC上的点且满足ANNC，CM与BN交于 P 点，设,ABa ACb ，则AP （）A3155abB3255abC1255abD2355ab8 在锐角ABC中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，若sinsincoscos3sinBCACAac，且222sinsinsinsinsinABCAB，则2cab的取值范围是（）A3,23B6,4 3C2 3 6，D3,2二二、多选题多选题（本题共本题
5、共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分. .在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求，全部选对的得全部选对的得 5 5 分分，部分选对的得部分选对的得 2 2 分分，有选错的得有选错的得 0 0 分）分）9 在ABC 中，内角,A B C所对的边分别为, , .a b c下列各组条件中使得ABC 有唯一一解的是（）A3a ，4b ，30AB3a ，4b ，3cos5B C3a ，4b ，30C D3a ，4b ，30B 10已知0 x ，0y 且3210 xy，则下列结论正确的是（）A05yB32xy的最大值为2 5Cxy的
6、最大值为625D22xy的最小值为1001311已知函数( )cos1(0)3f xx，=03f，且( )f x在 5,26单调递增，则下列说法正确的是（）A=3B将函数( )f x的图象向左平移3个单位所得图像关于y轴对称C( )f x的对称中心是51212kkZ，D若1223xx，则120fxfx12已知点 O 为ABC所在平面内一点，且3240OAOBOC ，则下列选项正确的是（）A1239AOABAC B直线AO不过BC边的中点C:2:1AOBAOCSSD若1OAOBOC ，则316OC AB 三、填空题三、填空题（本题共（本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2
7、020 分）分）13若不等式xa的一个充分条件为20 x ，则实数 a 的最小值是.14边长为 5 的正方形 EFGH 是圆柱的轴截面，则从点 E 沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最短距离为.15 已知向量,1am，4,2bn，0m ，0n ， 若/ /ab， 则113 +12mmn的最小值为.2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4 页）第 3页2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学试卷（共 4 页）第 4页16如右图，在扇形AOB中，120AOB，半径4OA ，P为弧AB上异于 A、B 的一动点，则PA PB 的取值范围是.四、解答题（本共四、解答题（本共
8、6 6 小题小题，共共 7070 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）证明过程和演算步骤）17已知复数 226832 izmmmm，其中 i 是虚数单位，m 为实数（1）当复数 z 为纯虚数时，求 m 的值；（2）当复数 z 在复平面内对应的点位于第二象限时，求 m 的取值范围18已知长方体 ABCDA1B1C1D1，3AB ，其外接球的表面积为17，过 A1、C1、B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ABCDA1C1D1，且这个几何体的体积为10（1）求棱 AA1的长；（2）求几何体 ABCDA1C1D1的表面积19已知向量 11312a
9、cosxbsinxfxaba，函数（1）求函数 fx的单调增区间；（2）当0,2x时，求函数 fx的值域20在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，且sin sin21 cos1 cos2AAAA（1）求角 A；（2）若ABC的面积2238912Sba，求cosC21在ABC中，2AB ，1AC ，120oBAC，点E，F在BC边上且BEBC ，BFBC （1）若13，求AE的长；（2）若12,23，求cosEAF的值22已知 O 为坐标原点，对于函数( )sincosf xaxbx，称向量( , )OMa b 为函数( )f x的相伴特征向量，同时称函数( )f x为向
10、量OM 的相伴函数（1）记向量(1, 3)ON 的相伴函数为( )f x，若当8( )5f x 且,3 6x 时，求sin x的值；（2）已知( 2,3)A ，(2,6)B，(3,1)OT 为( )sin6h xmx的相伴特征向量，( )23xxh，请问在( )yx的图象上是否存在一点 P，使得APBP 。若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由（3）记向量(1, 3)ON 的相伴函数为( )f x，若当110,12x时不等式( )()02f xkf x恒成立，求实数 k 的取值范围2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学参考答案（共 8 页）第 1页2022 年春鄂东南教改联盟
11、学校期中联考 高一数学参考答案（共 8 页）第 2页2022 年年春春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中期中联考联考高高一数学一数学参考答案参考答案一、一、单单选题选题1D【详解】22(1i)1i1i(1i)(1i)z ，z 的虚部为 1，2|2,2izz为纯虚数，1 iz ，正确的结论是 D. 故选：D.2B【详解】2ln 202 ,11Ax yxxxxBx xx x 1或x11xxxxB或1x所以 A（CRB)| 11BxxC R，所以 A（CRB)0,1.故选：B3C【详解】将一个单位圆分成 180 个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2，
12、这 180 个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似于单位圆的面积，11801 1 sin290sin22 ，sin20.03590 . 故选：C.4A【详解】220abbabba bba bb， 222255|25|abbababbaba bb222222|2|5|2|2abbbabab，2|2cos,22a bba babbb，,0,4a ba b. 故选：A.5C【详解】把斜二测画出的三角形的直观图还原原图形如图，据此分析选项：对于 A，ADBC，则有ACAD，A 错误；对于 B，2BCB C ，24ADA D ，B 错误；ABC 的面积142SBCAD，故选：C.6B【详解】如图，过1A作
13、1AEAB，垂足为E，由四个侧面的面积之和为12 2知， 侧面11ABB A的面积为3 2，11113 22ABABAE（梯形的面积公式） ，则12AE .由题意得：11112AEABAB，在1RtAAE中，221123AA .连接AC，11AC，过1A作1AFAC，垂足为F，易知四边形11ACC A为等腰梯形且4 2AC ，112 2AC ，则2AF ，22111AFAAAF，该方亭的体积22221282424133V ， （棱台的体积公式）.故选：B.7A【详解】334AMMBAMAB ，12ANNCANAC，由C，P，M 共线，存在R，使3(1)(1)4APACAMAPACAB ，由 N
14、，P，B 共线，存在R，使得(1)(1)2APANABAPACAB ，由23(1)14 12,55，故3155APab .故选：A.8D【详解】由222sinsinsinsinsinABCAB，由正弦定理得222abcab即有1cos2C ，而(0,)2C，则3C ，又sinsincoscos3sinBCACAac，由正弦定理、余弦定理得，22222232223bcaabcbbcabaac，化简得：2 3c ，由正弦定理有：2 34sinsinsin32abcABC，即4sinaA，4sinbB，ABC 是锐角三角形且3C ，有(0,)2A，2(0,)32BA，解得 (,)6 2A，因此24(
15、sinsin)4sinsin()3abABAA314(sincossin)4 3sin()226AAAA，由 (,)6 2A得：2(,)633A，3sin()(,162A，所以212 3,2)4 3sin()6cabA. 故选：D二、多选题二、多选题9BCD【详解】根据题意，在 A 条件下sin42sinsinsin33aABAbB，因为122232，所以角B 在,6 4 和35,46上各有一个解，并且这两个解与角 A 的和都小于，所以 A 不满足；在B 条件下，3a ，4b ，3cos5B ， 根据余弦定理可得2222cosbacacB， 即2181695cc，解得5c 或75c （舍） ，
16、所以只有 1 个解，满足题意；在 C 条件下，条件为边角边，所以有唯一解； 在 D 条件下，sin33sinsinsin48aAABbB， 因为3182， 所以角 A 在0,6和5,6上各有一个解，当解在5,6时，角 B 与角 A 的和大于，所以只有 1 个解，满足题意，故选：BCD2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学参考答案（共 8 页）第 3页2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学参考答案（共 8 页）第 4页10ABD【详解】0 x，0y 且3210 xy，1003x ，0y5故 A 正确对于 B，22 6102 610 13022320 xyxyxyxy，当且
17、仅当32xy，即55,32xy时，等号成立，所以32xy的最大值为2 5，故B 正确；对于 C，利用基本不等式得10322 32xyxy，化简得256xy ，当且仅当32xy，即55,32xy时，等号成立，所以xy的最大值为256，故 C 错误；对于 D，22222102134013009yyxyyy05y利用二次函数的性质知，当20013y时，函数单调递减；当20513y时，函数单调递增，222min201340120100131330091xy故 D 正确；故选：ABD11BC【详解】=03f为函数的最小值，233= k+ kZ，即62kkZ，又( )f x在 5,26单调递增，51262
18、2，即03，则2，故 A 不正确( )cos 213f xx，将函数( )f x的图象向左平移3个单位所得图像为( )cos 2133g xx，即( )cos21g xx ，该函数为偶函数，则( )g x关于y轴对称，故选项 B 正确；令232xkkZ，解得5212kx，则对称中心5,1212k1212kkZ，故选项 C 正确；若1223xx， 则 1223f xfx2cos 2213x2cos 213x2f x， 故选项 D 不正确；故选：BC12BCD【详解】对于 A：3240OAOBOC ，因为OBOAAB ，OCOAAC ，代入可得3240OAOAABOAAC 即9240OAABAC
19、，所以923AOABAC ，可得2193AOABAC ，故选项 A 正确；对于 B：设BC的中点为D，则1122ADABACOBOAOCOA 1122OAOBOC 若直线AO过BC的中点，则存在实数k满足AOkAD，即112222kkAOkOAOBOCkOAOBOC ，所以1022kkk OAOBOC ，又3240OAOBOC 所以k不存在，故选项 B 正确；对于 C：取点,A B C使得3OAOA ，2OBOB ，4OCOC ，则0OAOBOC ，所以点O为A B C 的重心，所以13B OCA OCA OBA B CSSSS ，所以1sin1218sin2BOCB OCOB OCBOCSO
20、B OCSOB OCOB OCB OC，同理可得：112AOCA OCSS，16AOBA OBSS，所以16:2112A OBAOBAOCA OCSSSS，故选项 C 正确；对于 D：若3a ，2b ，4c 则3240OAOBOC ，所以432OCOAOB 所以221632OCOAOB ，即222169412OCOAOBOA OB ，所以1694 12OA OB ，可得14OA OB ，所以 2211323244OC ABOAOBOBOAOAOBOA OB 113324416 ，故选项 D 正确；故选：BCD.三、填空题三、填空题（本题共本题共 4 小题小题，每小题每小题 5 分分，共共 20
21、 分分）132【详解】由不等式|xa，当0a 时，不等式|xa的解集为空集，显然不成立；当0a 时，不等式|xa，可得axa ，要使得不等式|xa的一个充分条件为20 x ，则满足 | 20 |xxxaxa ，所以2a ，即2a 实数 a 的最小值是 2.故答案为：2.142542+【详解】如图，矩形 E1F1GH 是圆柱沿着其母线 EF 剪开半个侧面展开而得到的，则从点 E 沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最短距离为1GE.由题意可知 GH5，152GF，所以2212221555422GEFHGG+所以从点 E 沿圆柱的侧面到相对顶点 G 的最短距离是2542+.故答案为：2542+.1549
22、【详解】由/ab，得240mn，124mn，即3129mmn 2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学参考答案（共 8 页）第 5页2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学参考答案（共 8 页）第 6页因此111131223124312312999(31)9(2 )99mmnmnmmmnmmnmmn故当且仅当93122mmn 时，等号成立.故答案为：49.168,0【详解】因为120AOB，4OAOB，所以144()82OA OB ，设AOP，则120BOP，则44cos16cosOP OA ，16cos(120)8cos8 3sinOP OB ，则2() ()PA PBO
23、AOPOBOPOA OBOA OPOB OPOP ，821231616381688cossinsincoscos，16sin(30 )8 ，0120，由 0120，得 3030150，所以1sin(30 )( ,12 ，则8,0PA PB .故答案为：8,0.四、解答题四、解答题17 （1）4； （2） （2，4)【详解】 （1）因为z为纯虚数,所以22680320mmmm解得2m或4m，且1m且2m综上可得,当z为纯虚数时4m;5 分（2）因为 z（m26m8)（m23m2)i 在复平面内对应的点位于第二象限，22680320mmmm解得24m，且1m或2m，即24m,故m的取值范围为（2，
24、4). 10 分18 （1）2； （2）2422.【详解】 （1）设3AB a ，BCb，1AAc，又22224(abcRR为长方体外接球半径)，228bc2 分又11111111 15103 26ABCDA C DACBA D CVVVabcabcabc，4bc 4 分由，解得22bc棱长 AA1为 26 分（2）由（1）知，11111111321622ABCD AC DA BCA BCSabbccaabbccaSS若3,2ab c ，则1112 211222A BCS1 113162224222ABCD AC DS12 分19 （1）,36kkkZ； （2）1,12.【详解】 （1）cos
25、 , 1 ,3sin ,1axbx， 22111cos13sincos1222fxab aaa bxxx 1cos23131sin2sin2cos2sin 2222226xxxxx.4 分令222,262kxkkZ，得,36kxkkZ，函数 fx的单调递增区间为,36kkkZ.8 分（2)当0,2x时，72666x，10 分则1sin 2126x，故 112f x，因此，当0,2x时，函数 fx的值域为1,12.12 分20 （1)3； （2）5 714【详解】 （1）由题意，2sin2sin cos1 cos2sinAAAAA.sin0,cos1 cosAAA .有1cos,0,23AAA.
26、4(2) 由余弦定理，2222cosabcbcA，有222abcbc.5 分又223189sin122SbabcA，代入得：2223389124bbcbcbc，8 分整理得：22690,bbcc即2(3 )0,3bcbc.此时227abcbcc.10 分22279 15 7cos2146 7abcCac .12 分21 （1）133； （2）32.【详解】 （1）设ABa ，ACb，则2a ，1b ，因此ocos1201a ba b ，2 分所以121333AEABBEabaab ,221113(16 1 4)3393AEab ，5 分（2）因为12BEBC ,23BFBC 所以1122AEa
27、b ，1233AFab ，所以1112122332abaAAbEF 8 分又32AE ,23AF 3cos2AEAEFAAFEAF 12 分2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学参考答案（共 8 页）第 7页2022 年春鄂东南教改联盟学校期中联考 高一数学参考答案（共 8 页）第 8页22 （1）43 310； （2）存在，点(0,2)P； （3）3, 1.【详解】 （1）向量(1, 3)ON 的相伴函数为( )sin3cosf xxx，8( )sin3cos2sin35f xxxx，4sin35x.,3 6x ，0,32x ，3cos35x.1343 3sinsinsincos
28、33232310 xxxx.4 分（2）由(3,1)OT 为31( )sinsincos622h xmxmxmx的相伴特征向量知：2m.所以( )2sin2sin2cos23236222xxxxxh .设1,2cos2P xx，( 2,3), (2,6)AB，12,2cos32APxx ，12,2cos62BPxx ，又APBP ，0AP BP 11(2)(2)2cos32cos6022xxxx.221144cos18cos18022xxx ，2219252cos(*)224xx122cos22x ，131952cos2222x ，225191692cos4224x.又2252544x，当且仅
29、当 0 x 时，2192cos22x和2254x同时等于254，这时(*)式成立.在( )yh x图像上存在点(0,2)P，使得APBP .8 分（3）向量(1, 3)ON 的相伴函数为( )sin3cos2sin()3f xxxx当110,12x时， 2sin2 cos0233f xkf xxkx， 即sincos033xkx，cossin33kxx 恒成立.所以（i）当 0,6 332xx时，cos03x，所以sin3tan3cos3xkxx ，即maxtan3kx ，由于332x，所以tan3x的最小值为tan33，所以maxtan33kx ；（ii）当,632xx，不等式sincos033xkx化为10成立.（iii）当11 5,612234xx时，cos03x，所以sin3tan3cos3xkxx ，即mintan3kx ，由于5234x，所以tan3x的最大值为5tan14，所以mintan13kx 综上所述，k的取值范围是3, 1.12 分
