1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 6 1 不等关系与不等式的性质及一元二次不等式 知识梳理 3必记结论 (1)ab， ab0?1ab0,0bd. =【 ;精品教育资源文库 】 = (4)0b0， m0，则 bab ma m(b m0)；aba mb m； ab0) 4一元二次函数的三种形式 (1)一般式： y ax2 bx c(a0) (2)顶点式： y a? ?x b2a 2 4ac b24a (a0) (3)两根式： y a(x x1)(x x2)(a0) 5三个二次之间的关系 诊断自测 1概念思辨 (1)a b?ac2 bc2.( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若不等式 a
2、x2 bx c0 的解集是 ( ， x1) (x2， ) ，则方程 ax2 bx c 0的两个根是 x1和 x2.( ) (3)若方程 ax2 bx c 0(a0) 没有实数根，则不等式 ax2 bx c0的解集为 R.( ) (4)不等式 ax2 bx c0 在 R 上恒成立的条件是 ab?a b0. 答案 |loga(1 x)| |loga(1 x)| 解析 (作差法 )当 a 1 时， loga(1 x) 0， loga(1 x) 0， |loga(1 x)| |loga(1 x)| loga(1 x) loga(1 x) loga(1 x2) 0. 当 0 a 1 时， loga(1
3、x) 0， loga(1 x) 0， |loga(1 x)| |loga(1 x)| loga(1 x) loga(1 x) loga(1 x2) 0. |loga(1 x)| |loga(1 x)|. 典例 2 已知二次函数 y f(x)的图象过原点，且 1 f( 1)2,3 f(1)4 ，求 f(2)的取值范围 采用方程组法，找出 f( 2)的表达式与f(1)， f( 1)的关系，再根据不等式性质求范围 解 由题意知 f(x) ax2 bx，则 f( 2) 4a 2b，设存在实数 x， y，使得 4a 2bx(a b) y(a b)， 即 4a 2b (x y)a (x y)b，所以? x
4、 y 4，x y 2， 解得 ? x 1，y 3， 所以 f( 2) 4a 2b (a b) 3(a b) 又 3 a b4,33( a b)6 ， 所以 6( a b) 3(a b)10 ， 即 f( 2)的取值范围是 6,10 =【 ;精品教育资源文库 】 = 条件探究 将本典例条 件变为? 3 xy28 ，4 x2y9 ，求 x3y4的最大值 解 设 x3y4 ?x2ym(xy2)n， 则 x3y 4 x2m ny2n m， 所以? 2m n 3，2n m 4， 即 ? m 2，n 1. 又 16 ? ?x2y281 ， 18( xy2) 1 13， 2 x3y427 ，故x3y4的最大
5、值为 27. 方法技巧 不等式的概念与性质问题的常见题型及解题策略 1比较大小的常用方法：作差法与作商法如典例 1. 2不等式的性质及应用 解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证 (注意前提条件 )；二是利用特殊值法排除错 误答案 3求代数式的取值范围 (1)先建立待求式子与已知不等式的关系，再利用一次不等式的性质进行运算，求得待求式子的范围如典例 2. (2)同向 (异向 )不等式的两边可以相加 (相减 )，这种转化不是等价变形，如果在解题中多次使用这种变化，有可能扩大其取值范围如冲关针对训练 冲关针对训练 (2017 长春模拟 )若 1a0； a 1ab 1b； ln
6、a2ln b2中，正确的不等式是 ( ) A B C D 答案 C 解析 由 1a0，所以 1a b0， 故有 1a b a0，则 b|a|， 即 |a| bb 1b，故 正确； 中，因为 ba20，而 y ln x 在=【 ;精品教育资源文库 】 = 其定义域上为增函数， 所以 ln b2ln a2，故 错误 由以上分析，知 正确，故选 C. 题型 2 不等式的解法 典例 1 已知不等式 ax2 bx c0 的解集为 x| 0， 0，求不等式 cx2 bx a1 或 x0 的解集为 x| 0. (x 1)(x 1)0. x1 或 x1 或 x0 时，原不等式化为 ? ?x 2a (x 1)0
7、 ， 解得 x 2a或 x 1. (3)当 a 1，即 aa 2，解得 2a x 1. 综上所述，当 a 0 时，不等式的解集为 x|x 1； 当 a0 时，不等式的解集为?x? x 2a或 x 1 ； 当 20 B. |a a12 C. |a a14 D a|a0 或 a12.故选 B. =【 ;精品教育资源文库 】 = 2设函数 f(x) x2 1，对任意 x ? ?32， ， f? ?xm 4m2f(x) f(x 1) 4f(m)恒成立，则实数 m 的取值范围是 _ 答案 ? ? ， 32 ? ?32 ， 解析 依据题意得 x2m2 1 4m2(x2 1)( x 1)2 1 4(m2 1
8、)在 x?32， 上恒成立， 即 1m2 4m2 3x2 2x 1 在 x ? ?32， 上恒成立 当 x 32时，函数 y 3x2 2x 1 取得最小值 53，所以 1m2 4m2 53，即 (3m2 1)(4m23)0 ， 解得 m 32 或 m 32 . 1 (2017 山东高考 )若 a b 0，且 ab 1，则下列不等式成立的是 ( ) A a 1b b2a log2(a b) B.b2a log2(a b) a 1b C a 1b log2(a b) b2a D log2(a b) a 1b b2a 答案 B 解析 解法一： a b 0， ab 1， log2(a b) log2(2 ab) 1. ab 1， b 1a. ab0， a1a0， a1,02， b2aa blog2(a b)， b2alog2(a b)a 1b.故选 B. 解法二： a b 0， ab 1， 取 a 2， b 12， 此时 a 1b 4， b2a 18， log2(a b) log25 11.3 ， b2a log2(a b) a 1b.故选 B.
