1、房山区2021-2022学年度一模考试高 三 数 学本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则（A）（B）（C）（D）（2）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则 （A） （B）（C）（D） （3）若且，则下列不等式一定成立的是（A）（B）（C）（D）（4）若的展开式中的常数项为，则（A）（B）（C）（D）（5）已知为抛物线上一点，到抛物线的焦点的距离为，到轴的距离为，则（
2、A）（B）（C）（D）（6）在等差数列中，则（A）（B）（C）（D）（7）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量.则鲑鱼以的速度游动时的耗氧量与静止时的耗氧量的比值为（A）（B）（C）（D）（8）已知函数，则“”是“为奇函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知直线被圆所截的弦长不小于，则下列曲线中与直线一定有公共点的是（A）（B）（C）（D）（10）已知是非空数集，若非空集合满足以下三个条件，则称为集合的一种真分拆，并规定与为集合的同一种真分拆.；的元素个数不是中的元
3、素.则集合的真分拆的种数是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）若双曲线的一条渐近线方程为，则 .（12）已知，是单位向量，且，则_； .（13）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则_；若在区间上的最小值为,则的最大值为 . （14）函数的图象在区间上连续不断，能说明“若在区间上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为_（15）如图,正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动. 给出下列四个结论：；存在一点，/；若，则面积的最大值为；若到直线的距离与到点的距离相等，则的轨迹为抛物线的一部分
4、.其中所有正确结论的序号是_.三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）如图，在三棱柱中，平面，（）求证：/平面；（）若，求：与平面所成角的正弦值；直线与平面的距离（17）（本小题14分）在中，.（）求的大小;（）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件：；条件：；条件：边上的高为.注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分（18）（本小题14分）良好的生态环境是最普惠的民生福祉.北京市集中开展大气污染防治以来，在经济社会快速发展的同时实现了大气主要污染
5、物浓度持续下降.2021年，经过全市共同努力，空气质量首次全面达标，大气污染治理取得里程碑式突破.下表是2021年每个月空气质量优良和污染的天数统计.月份1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月合计空气质量优良天数241811272321262927292330288空气质量污染天数7102038952327177（）从2021年中任选1天，求这一天空气质量优良的概率；（）从2021年的4月、6月和9月中各任选一天，设随机变量表示选出的3天中空气质量优良的天数，求的分布列；（）在2021年的1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月中，设空气质量优良天数的方差为，空气质量污染天
6、数的方差为. 试判断，的大小关系.（结论不要求证明）（19）（本小题15分）已知函数 （）当时，求曲线在处的切线方程；（）若在区间存在极小值，求的取值范围（20）（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，长轴的两个端点分别为.（）求椭圆的方程；（）过点的直线与椭圆交于（不与重合）两点，直线与直线交于点求证:（21）（本小题14分）若无穷数列满足如下两个条件，则称为无界数列：；对任意的正数，都存在正整数，使得（）若，判断数列，是否是无界数列； （）若，是否存在正整数，使得对于一切，都有成立？若存在，求出的范围；若不存在说明理由；（）若数列是单调递增的无界数列，求证：存在正整数，使得房山区2022年
7、高考第一次模拟考试参考答案高三年级数学学科一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。12345678910BACDCBDACA二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11） （12） （13）（14）答案不唯一，如 （15）三、解答题共6小题，共85分。 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）（）在三棱柱中，四边形为平行四边形.所以. .2因为平面，平面，所以 /平面. .2(4)（）因为 平面，平面，所以 .又 ABBC，所以两两互相垂直. 如图建立空间直角坐标系，.1(5) 则,.所以，,.6(6) 设平面的法向量为，则 ，即令，则.于是. .3（9）设直线
8、与平面所成的角为，则 . .2（11）所以 与平面所成角的正弦值为因为/平面，所以直线与平面的距离就是点到平面的距离.1（12）设的距离为，则 . .2（14）（17）（本小题14分）（）由正弦定理及， .2得 .所以. . .2 因为， 所以. . 1（5）（）选择条件，存在且唯一，解答如下： 由，及，得 . .1（6） 由正弦定理及，得 ，解得 . .3 （9） 方法1： 由，得.所以. .2（14）方法2：由余弦定理，得即 ，解得所以 选择，存在且唯一，解答如下：由，及，得 . .1（6）因为边上的高为，所以. .2 （8）由正弦定理及，得 ，解得： . .3 （9） （以下与选择条件相
9、同）（18）（本小题14分）（）记事件为 “从2021年中任选1天，这一天空气质量优良” , 则. .4（）的所有可能取值为. .1方法1：记事件为 “从4月任选1天，这一天空气质量优良”，事件为 “从6月任选1天，这一天空气质量优良”, 事件为 “从9月任选1天，这一天空气质量优良”.由题意知，事件相互独立， 且,. .2所以 .1 .1 . .1.1方法2：. . . .所以的分布列为:.1（）. .2（19）（本小题14分）（）当时， 则 .1所以 .2所以曲线在处的切线方程为 . .1（4）（）.1（5）令， . 则 . .1（6） 解 得.与的变化情况如下：极小值所以函数在区间上的最
10、小值为.2（8）方法1：当时， 所以恒成立， 即恒成立，所以函数在区间上是增函数，无极值，不符合要求. .1（9）当 时，因为，所以 存在，使得.极小值所以函数在区间上存在极小值，符合要求.4（13）当时，因为 ， 所以函数在区间上无极值.取，则. 所以存在，使得易知，为函数在区间上的极大值点.所以函数在区间上有极大值，无极小值，不符合要求.1（14）综上，实数的取值范围是.方法2：“在区间上存在极小值”当且仅当“”，解得.证明如下：当 时，因为 ，所以 存在，使得.极小值所以函数在区间上存在极小值.所以 实数的取值范围是.（20）（本小题15分）（）由长轴的两个端点分别为, 可得 , .1
11、由离心率为，可得，所以. .1又， 解得 . .1 所以 椭圆的标准方程为. .2(5) （）方法1：当直线斜率不存在时，直线的方程为，易得 所以， 直线所在的方程为. 求得 , , 所以，三点共线，所以.1（6）当直线斜率存在时，设直线的方程为 .1（7）由 得.1（8）设，则 , .2（10），直线的方程为.1（11） 所以 .1（12）所以 所以，三点共线，所以.3（15）方法2：设直线的方程为, 由 得 设，则 , .，直线的方程为 所以 所以 （21）（本小题14分）（）是无界数列；不是无界数列 .4 （）存在满足题意的正整数，且 .5当时，因为.7，.8所以 存在正整数，对于一切，有成立. .9（）因为数列是单调递增的无界数列，所以 所以 .11即.因为是无界数列，取，由定义知存在正整数，使.所以. .12由定义可知是无穷数列，考察数列，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整数，使得.13故存在正整数，使得 .14 即存在正整数，使得成立. 高三数学 一模试卷 13 / 13
