1、石景山区2022年高三统一练习数 学本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1设全集，集合，则A B C D2复数满足，则A B
2、; C D3从中不放回地抽取个数，则在第次抽到偶数的条件下，第次抽到奇数的概率是A B C D4设是直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是A若，则 B若，则C若，则 &
3、nbsp; D若，则5已知圆，过点的直线与圆交于两点，则弦长度的最小值为A B C D6函数的图象大致为DACB7在等差数列中，设数列的前项和为，则A B C
4、 D8在中，若，则的大小是A B C D9“”是“在上恒成立”的A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 &n
5、bsp; D既不充分也不必要条件10设为抛物线上两个不同的点，且直线过抛物线的焦点，分别以为切点作抛物线的切线，两条切线交于点则下列结论: 点一定在抛物线的准线上； ； 的面积有最大值无最小值 其中，正确结论的个数是A B C D第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分
6、，共25分。11函数的定义域是_12在的展开式中，的系数是_（用数字填写答案）13正项数列满足，若，则的值为_14设点，分别为椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是个，则实数的一个取值可以为_15已知非空集合满足：，函数对于下列结论: 不存在非空集合对，使得为偶函数； 存在唯一非空集合对，使得为奇函数； 存在无穷多非空集合对，使得方程无解其中正确结论的序号为_ 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16（本小题13分）设函数已知存在使得同时满足下列三个条件中的两个：条件：函数的最大值为2；条件：函数的图象可由的图象平移得到；条件
7、： 函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为（）请写出满足的两个条件的序号，说明理由，并求出的解析式；（）在中，内角，所对的边分别为，求面积的最大值17（本小题13分）某学校高中三个年级共有名学生，为调查他们的课后学习时间情况，通过分层抽样获得了名学生一周的课后学习时间，数据如下表（单位：小时）：高一年级 高二年级 &nbs
8、p; 高三年级 （）试估计该校高三年级的学生人数；（）从高一年级和高二年级抽出的学生中，各随机选取一人，高一年级选出的人记为甲，高二年级选出的人记为乙，求该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间的概率；（）再从高中三个年级中各随机抽取一名学生，他们该周的课后学习时间分别是（单位：小时），这三个数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中的数据平均数记为，
9、试判断与的大小（结论不要求证明）18（本小题14分）如图1，在四边形中，点在边上，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示（）设平面与平面的交线为，求证： （）在线段上是否存在一点（点不与端点重合），使得二面角的余弦值为，请说明理由 19（本小题15分）设函数来源:Z,xx,kCom（）若，（）求曲线在点处的切线方程；（）当时，求证：（）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围20（本小题15分）已知椭圆的短轴长等于，离心率（）求椭圆的标准方程；（）过右焦点作斜率为的直线，与椭圆交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，判断是否为定值，请
10、说明理由 &
11、nbsp;
12、
13、
14、; &nbs
15、p; &nb
16、sp; &n
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18、nbsp; 21（本小题15分）若数列中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称为“等比源数列”（）已知数列为，数列为，分别判断，是否为“等比源数列”，并说明理由；（）已知数列的通项公式为，判断是否为“等比源数列”，并说明理由；（）已知数列为单调递增的等差数列，且，求证为“等比源数列”石景山区2022年高三统一练习数学试卷答案及评分参考一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分 题号12345678910答案AADBBDCCBC 二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分 11；
19、 12； 13； 14（答案不唯一）； 15 三、解答题：本大题共6个小题，共85分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题13分）解：（）函数满足条件为，理由如下：由题意可知条件互相矛盾，故为函数满足的条件之一，由可知：，所以故不合题意，所以函数满足条件为，由知：，所以 7分（）由题意可得，由余弦定理得，所以，当且仅当时取“”所以，所以，所以面积的最大值为 &nb
20、sp; 13分17（本小题13分）解:（）抽出的位学生中，来自高三年级的有名，根据分层抽样方法，可得高三年级的学生共有（人）； 3分（）设事件为“甲是现有样本中高一年级中的第个学生”，事件为“乙是现有样本中高二年级中的第个学生”，由题意知：，由于事件与事件相互独立，所以，设事件为“该周甲的学习时间不大于乙的学习时间”，由题意知，由于彼此互斥，所以 所以，故该周甲的课后学习时间不大于乙的课后学习时间概率为 10分（），
21、三组总平均值，新加入的三个数的平均数为，比小，故拉低了平均值，所以 13分18（本小题14分）解：（）依题意， 因为，所以， 由于平面平面，且交线为， ，所以平面，因为是平面与平面的交线，所以平面，故
22、 6分（）由（）可知，平面，所以，由题意可知,以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，则， ，设，则，设是平面的一个法向量，则令，可得，由于是平面的一个法向量，依题意，二面角的余弦值为，所以，解得，所以当点是棱的中点时，符合题意 14分19（本小题15分）解：（），所以（）， &n
23、bsp; 又，所以在点处的切线方程为 4分（）令，时，在上单调递减，所以，所以当时， 10分（），的定义域为，即当0即时，在上单调递增，又，所以在上无零点，不合题意；当即时有两根；当即时，此时在上单调递增，又，所以在上无零点，不合题意；当时
24、，此时在上无零点，不合题意；当时，此时在上单调递减，在上单调递增，所以，在区间上存在唯一零点，即即可解得综上，若在区间上存在唯一零点，则15分20（本小题15分）解：（）由题意可得，所以，又，由得，所以椭圆的方程为 5分（）为定值证明：由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，联立得，设，则，设的中点为，则，当时，线段的垂直平分线的方程为，令，得，即，所以所以当时，直线的方程为，此时，综上为定值 &n
25、bsp; 15分21（本小题15分）解：（）是“等比源数列”，不是“等比源数列”中“”构成等比数列，所以是“等比源数列”；中“”，“”，“”，“”均不能构成等比数列，所以不是“等比源数列” &n
26、bsp; 4分（）不是“等比源数列”假设是“等比源数列”，因为是单调递增数列，即中存在的 （）三项成等比数列，也就是，即，两边时除以得，等式左边为偶数，等式右边为奇数所以数列中不存在三项按一定次序排列构成等比数列综上可得不是“等比源数列” 9分（）证明：因为等差数列单调递增，所以 因为则，且，所以数列中必有一项为了使得为“等比源数列”，只需要中存在第项，第项（），使得成立，即，即成立当，时，上式成立所以中存在成等比数列所以，数列为“等比源数列” 15分【若有不同解法，请酌情给分】高三数学试题 第14页（共14页）
