1、 板壳力学2 13-2 13-2 弹性曲面的微分方程弹性曲面的微分方程三个位移三个位移u(w), v(w), w六个应变六个应变六个应力六个应力wq( ),( ),( )xyxywwwzxzyz( ),( ),( ),( ),( ),( )xyzxyxzyzwwwwww板壳力学3（一）用（一）用w w表示应变表示应变2222222xxyyxyxywuxxvwzzyyuvwyxx y 板壳力学4则 几何方程2xxyyxyxyz板壳力学5关于 的说明： x向近似曲率x220 xwx 板壳力学6 （二）用（二）用w表示应力分量表示应力分量主要应力 222222210101010111001002xx
2、yyxyxywxEEzwywx y 板壳力学7次要应力 定 2000yxxzxyzyxyyzxzztzzXxyzYyzxZwzxy zxzyww,zFx y板壳力学8 （三）薄板的弹性曲面微分方程（三）薄板的弹性曲面微分方程 下面就利用薄板上板面的边界条件建立挠曲面w(x,y)与外荷载的关系式，设板的顶面承受荷载q(x.y)，并规定荷载向下为正，而底面不承受荷载。 板壳力学9在薄板的上表面有边界条件,q x y2t2txzy2tzzq 板壳力学10代入(13-9)得到： (13-10) 或 (13-10) 或 (13-10)2342122126 1ttEtwqtt 34212 1Etwq4Dw
3、q44442242wwwDqxxyy板壳力学11 关于关于 的几点说明的几点说明1是严格从弹力平衡方程导出的，其本质是板的静力平衡方程，方程的右边是单位面积上的横向载荷，左边是单位面积上的弹性抗力。2推导途径有三条：（1）课程所述 （2）建立内力与荷载 平衡关系 （3）能量原理4Dwq板壳力学123 关于D，是薄板的抗弯刚度，单位（力*长度）4 关于q，单位（力*长度 ），沿着z方向为正 面力面力 体力体力222ttqzzdz13-3 13-3 薄板应力和内薄板应力和内力相互关系力相互关系复习复习l薄板弹性曲面微分方程4Dwq一一. .应力应力 内力内力 (13-12) 2222221txxx
4、twwwMwzdzDxy 22211txyxyxytwwMwzdzDx y 2221txzxxztwQwdzDwx 关于关于(13-12)(13-12)的说明的说明1.体现薄板内力特征(只有弯曲内力) 截面三个弯曲内力 截面三个弯曲内力2.弯曲内力量纲 弯矩、扭矩为力 剪力为力长度0 xx0yy13 3. .弯曲内力与挠度的关系弯曲内力与挠度的关系 是w的二阶偏导数 是w的二阶偏导数 是w的三阶偏导数,xyMM,xyyxMM,xyQ Q5.5.内力与应力的显式关系内力与应力的显式关系例223222331212112xxEzwwtzMxytt 312xxyyxyxyyxyxMMzMtM梁与板的对
5、照梁与板的对照AA AAAMMxyyzAA二二. .建立建立(13-10)(13-10)的第二条路径的第二条路径 内力与横向载荷平衡内力与横向载荷平衡得到(13-10)000 xyzMMp4Dwql板弯曲问题基本方程 (13-10)4Dwq板的边界条件分类板的边界板的边界条件分类条件分类支撑情况支撑情况图示图示讨论讨论固支边固支边抗弯抗扭抗弯抗扭刚度均很大刚度均很大简支边简支边抗弯刚度大抗弯刚度大抗扭刚度小抗扭刚度小若若y=b分布分布自由边自由边抗弯抗扭抗弯抗扭刚度均小刚度均小扭矩转换产扭矩转换产生角点力生角点力强自由边强自由边抗弯适中抗弯适中 抗扭小抗扭小 方向方向 量纲量纲0 xx0yy0
6、0wwx00wwy2200wwx2200wwy00 xxMV00yyMV0 xxxMVp0yyyMVpM22wDMy ,xyVV关于定解条件的说明关于定解条件的说明l1.角点力 角点条件 角点力产生自由边扭矩等效转换为 横向剪力时未被抵消的力角点条件 两个自由边相交必须提出一个角点条件 三个自由边则要提出两个角点条件 角点条件类型 （1）若B点有支撑 （2）若B点有支撑沉陷 （3）若B点无支撑 （4）若B点有集中力 0BW BW0BR PBRP2.角点力能否与弯曲内力 叠加？3.角点力能否与 叠加？4.自由边扭矩转换为等效横向剪力与 合并为,xyQ Q,xyV VxQxVxyxxyxyyMVQ
7、yMVQx5.写出下列板的边界条件写出下列板的边界条件写出x=a边界条件及B点和C点角点条件 OBACabxyz22220,0 xx awwMxy33320,(2)0 xx awwVxx y 2,0,BxaybwRxy2,0,21Cx a ywPRPx yD 写出x=a边界条件BC边B点x aWyb,x a y bWabzABCyxO13-5 13-5 解法概述解法概述 逆法算例逆法算例一、解法概述一、解法概述*1.正解法 从方程解出含有待定系数的w 满足边界条件确定系数*2.逆解法 预先满足边条选取具有待定系数w 用满足(13-10)定系数*3.半逆法 预先满足部分边条选取有待定系数的w 用
8、满足(13-10)及余下的边条定系数 4. 迭加法 综合逆法、半逆法或正解法 解决复杂边条复杂荷载的板问题 5. 有限元法 6. 差分法 7. 变分法二、逆法解题算例二、逆法解题算例1.分析边条2.满足边条选取w(x,y) （含待定系数）3.满足方程定系数4.欲求内力把w代入(13-12)一一.建立问题的边界条件建立问题的边界条件1）边界方程2）边界条件22221xyab 222222122100 xyabxyabwwn二二.选取满足边条的挠度表达式选取满足边条的挠度表达式选取检验 时 222221xywmab22221xyab 200wm22222222222221210wwwnxyxyxx
9、yymmabaabb三三.确定待定系数确定待定系数m444442242wwwwxxyy4Dwq44224248242wmmaa bb 代入方程042243238Dmqaa bb042243238qmDaa bb四四.m代入所设代入所设w 这是周边固支椭圆板 在均布荷载下的挠度表达式222022422413238qxywabDaa bb六六.求内力求内力w代入（13-12）求内力2222042224222422431313232xqxyyxMaa baba bbaa bb 2222042224222422431313232xqxxyyMba bbaa baaa bb 13-6 13-6 双正弦级
10、数解法双正弦级数解法NavierNavier法法 （逆法经（逆法经典解法之一）典解法之一）l适用范围 四边简支 矩形 任意横向荷载l优点 思路明确 解法简洁l缺点 只适用于四边简支矩形薄板收敛慢解法步骤解法步骤 一 建立问题的边条 二 满足边条选取 三 确定待定系数 将w代入(13-10)令其满足以下推导, ,mw x y A11sinsinmmnm xn xwAabmA22242200222422sinsin,sinsin4,sinsinmmnabmnmnmnmnmxnyDAq x yababmxnyq x yCabmxnyCq x ydxdyababCAmnDab 四 回代w定解 五m n
11、A(13 12)w13-7 13-7 单正弦级数解单正弦级数解levylevy法及叠加法法及叠加法课程回顾课程回顾1.Navier法把挠度设为什么形式？2.Navier法的适用范围？3.Navier法所设的挠度预先满足什么？ w中的 如何确定？4.如果遇到的不是四边简支的矩形薄板 而是对边简支对边为任意边界的矩形薄板 怎样选取挠度函数呢mA 边界条件 对边简支 对边任意 矩形 荷载条件 任意横向 优点 思路明确 适用面较Navier略宽 缺点 确定边条更加复杂的薄板仍力不从心q(x,y)axyo2b2b一一 边界条件边界条件 任意边界（固支或自由或简支） 任意边界（固支或自由或简支）22220
12、0000wxwxwxawx2by 2by 二二 选取选取w(x,y)w(x,y)原则 1.满足部分边条 x=const 2.含有待定系数（为y的函数） 满足（13-10）定 满足 边条1sinmmm xwyamy2by 三三 定定w w中的函数中的函数将所设w带入(13-10)得荷载展开my4Dwq42224442242sin,mmmd yd ymmm xDyq x ydyadyaa ,sinmm xq x yLa02,sinamm xLq x ydxaDa42224442242mmmmd yd ymmyLdyadya 由 边条定 代回四 求内力 ,mmmmABCD2by mYsinmm xw
13、Ya(13 12)w mmmmmmmymymymyYyA chBshC shaaaamymyDchfyaa13-补充叠加法原问题原问题问题问题1 1问题问题2 2图示图示方程方程边条边条解答解答40Dwq410Dwq211221120,002wxawxwbywy220,002wxawxbwywy 222222220,002ywxawxwbywDMy12www1w2w420Dw原问题原问题问题问题1 1问题问题2 2问题问题3 3图示图示方程方程边条边条解答解答40Dwq410Dwq022waxwxwbywy21122112022waxwxwbywy222222200202ywaxwxwbywD
14、My 23322332002002waxwDxwbywy 123w www1w2w3w420Dw430Dw原问题原问题问题问题1 1问题问题2 2问题问题3 3图示图示方程方程边条边条解答解答40Dwq410Dwq420Dw430Dw0,002xxwxa wxbyM V 211221120,002wxa wxwbywy2222220,002wxa wxwbyy233223320 ,0002xwx a wDMxwbywy 123w w w w 1w2w3w例 原问题 = 问题1 + 问题21w2w22221222sin2mmmmmmmmmEthyyaym xwchshDmchbchbba4015
15、51.3.5221241sin222mmmmmmmmthychchbq am xwyyDmashchbb为定 需满足原问题的边界条件2212122222121222121200000002wxwwwwwxxwxawwwwwxxbwywwwwwyy mE满足转角条件确定由及mE212221220bybbyybywwwyyywwyy 分别对 及 求y的一阶偏导代入边条3014421.3.5.221sinmmmbmyq awm xthyDmcha2212sin2mmmmbmyEwam xthyDmcha 1w2w将 代入 中mE2w22003333442222mmmmmmmmmmmq ashchq
16、ashEmshchmsh1.3.5.m 402551.3.5.222122222sinmmmmmmmmmmmmq ashwDmshthyyym xchshchbchbba问题的解为4012551.3.5.22212222222222sinmmmmmmmmmmmmmmmmmmmq athywwwchDmchbyshthyyshchchbbshchbyym xshchbba13-8 13-8 圆形薄板弯曲圆形薄板弯曲弹性曲面微分方程弹性曲面微分方程矩形板 直极坐标转换 圆形板4,Dw x yq x y4,Dw rq r内力（弯曲内力）内力（弯曲内力）矩形板 圆形板xMxyMxQyxMyMyQABC
17、ozyrrMrrQMrMQ边界条件固支固支简支简支自由自由强自由强自由角点角点条件条件矩形板矩形板圆形板圆形板 无无 扇形板有扇形板有0wwx0 xxMVp0 xwM0 xxMV1.2.03.4.0BBBBRpwwR0wwr0rwM0rrMV0rrMVp说明： 1.分类相同 2.自由边扭矩转换为等效横向剪力相同 3.用内力和位移表示边条相同 4.圆板没有角点条件 扇形板有角点条件13-9 13-9 圆形薄板轴圆形薄板轴对称弯曲问题对称弯曲问题轴对称弯曲条件 几何 材料 边条 载荷均关于z轴对称则挠度弹性曲面微分方程为 ,ww rqq r 4Dw rq r 4324322211d wd wd w
18、dwDq rdrr drrdrr dr 齐次解 特解 解 外域解 内域解 2212341lnlnw rcr c rr crcw 关于解的说明关于解的说明1.(13-36)是环形薄板的解四个待定系数分别由内、外两个边条定解2.若为圆板则解中的 解为 ，导致 不符合实际 ，导致 不符合实际120cc2341wc rcw0limlnrr 2limln0rrrw rQ 3.若圆板中心有集中力p作用或有支撑则 应保留 项 0 rQ 2c222341lnwc rrc rcw13-10 13-10 圆形板圆形板轴对称问题算例轴对称问题算例序序号号算例算例载荷载荷解答解答定解条件定解条件特解特解1 12 23
19、 34 40q0qra0q01rqa2341w cr c w 2341w cr c w 2341w cr c w 2341w cr c w 00rawdwdr00rawdwdr00rrawM00rawdwdr4100064wB rqBD51000225wB rqBD4100064wB rqBD451010001,64225w BrBrqqBBDD a序序号号算例算例载荷载荷解答解答定解条件定解条件特解特解5 56 6无均无均布载布载荷荷7 7无均无均布载布载荷荷8 8上上下下2021rqa01rqa03q00113rqqqa2341w cr c w 2341w cr c w 234wc rc2
20、12234lnlnwcrc rrc rc00rrawM0rrawMM00rrraMV0000rrrrawMrbMV46101wB rBr10w 10w 45101wB rBr13-11 13-11 圆形薄板在圆形薄板在静水压力下的弯曲静水压力下的弯曲一一.问题的提出问题的提出二二. .求解反对称荷载作用下的求解反对称荷载作用下的1.载荷函数2.方程3.特解 求出w1,cosqq rra41,cosqDw rra51coswmr1192qmaD4.齐次解 （分离变量）中心不开孔，为了不至中心挠度无限大则全解为 2coswf r 312341lnf rc rc rcc rrr340cc 312f rcc r5311212coscos192q rwwwc rc raD
