1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 70 讲 不等式的证明 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： ?i 1na2i ?i 1nb2i?i 1naibi 2，并简单应用 2了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题 3了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法 . 2017 全国卷 ， 23 2017 江苏卷， 21(D) 2016 全国卷 ， 24 2015 全国卷 ， 24 不等式的证明是对必修 5中 “ 不等式 ” 的补充和深化，其中以考查综合法、分析法、放缩法等为主另外应用基本不等式、柯西不等式求函数的最
2、值也是高考考查的一个方向 . 分值： 5 10 分 1比较法 作差比较法与作商比较法的基本原理： (1)作差法： a b 0?_a b_. (2)作商法： ab _1_?a b(a 0， b 0) 2综合法与分析法 (1)综合法：证明不等式 时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过 _推理论证 _而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法 (2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的 _充分条件 _，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实 (定义、公理或已证明的定理、性质等 )，从而得出要证的命题成立这是一种 _执果索因 _的思考和证明方法 3反证法 先
3、假设要证的命题 _不成立 _，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的 _推理 _，得到和命题的条件 (或已证明的定理、性质 、明显成立的事实等 )_矛盾 _的结论，以说明假设 _不正确 _，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法 4放缩法 证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地 _放大 _或 _缩小 _以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法 5数学归纳法 =【 ;精品教育资源文库 】 = 数学归纳法证明不等式的一般步骤： (1)证明当 _n n0_时命题成立； (2)假设当 _n k_(k N*，且 k
4、n0)时命题成立，证明 _n k 1_时命题也成立 综合 (1)(2)可知，结论对于任意 n n0，且 n0， n N*都成立 6柯西不等式 (1)二维柯西不等式：设 a， b， c， d 均为实数，则 (a2 b2) (c2 d2)( ac bd)2，等号当且仅当 ad bc 时成立 (2)三维柯西不等式：设 a1， a2， a3， b1， b2， b3均为实数，则 (a21 a22 a23)(b21 b22 b23)( a1b1 a2b2 a3b3)2，当且仅当 ai kbi(i 1,2,3)时，等号成立 (3)n 维柯西不等式：设 a1， a2， a3， ? ， an， b1， b2，
5、b3， ? ， bn是实数，则 (a21 a22 ? a2n)(b21 b22 ? b2n)( a1b1 a2b2 ? anbn)2，当且仅当 bi 0(i 1,2， ? ， n)或存在一个数 k，使得 ai kbi(i 1,2， ? ， n)时，等号成立 7排序不等式 设 a1 a2? an， b1 b2? bn为两组实数， c1， c2， ? ， cn是 b1， b2， ? ， bn的任一排列，那么 a1bn a2bn 1 ? anb1 a1c1 a2c2 ? ancn a1b1 a2b2 ? anbn. 当且仅当 a1 a2 ? an或 b1 b2 ? bn时，反序和等于顺序和 1思维辨
6、析 (在括号内打 “” 或打 “ ”) (1)用反证法证明命题 “ a， b， c 全为 0” 时假设为 “ a， b， c 全不为 0”. ( ) (2)若实数 x， y 适合不等式 xy1， x y 2，则 x0， y0.( ) 2若 a0， b0， a， b 的等差中项是 12，且 a 1a， b 1b，则 的最小值为( D ) A 2 B 3 C 4 D 5 解析 12为 a， b 的等差中项， a b 122 1. 1 1a 1b 1 a bab 1 1ab， ab a b2 ， ab a b24 14，当且仅当 a b 1 时 “ ” 成立 1 4，即 的最小值为 5，故选 D 3
7、设 a0， b0，若 3是 3a与 3b的等比中项，则 1a 1b的最小值为 ( B ) A 8 B 4 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 1 D 14 解析 因为 3a3 b 3，所以 a b 1， 1a1b (a b)?1a1b 2baab2 2baab 4， 当且仅当 ba ab，即 a b 12时 “ ” 成立，故选 B 4若直线 3x 4y 2，则 x2 y2的最小值为 _ 425_，最小值点为 _? ?625， 825 _. 解析 设 x2 y2 r2，则直线 3x 4y 2 0 与圆 x2 y2 r2有交点，所以 r 232 42 25，当 r 25时，直线与圆相切，切点为直
8、线 3x 4y 2 与 4x 3y 0 的交点 因此，当 x 625， y 825时， x2 y2取得最小值 425，最小值点为 ? ?625， 825 . 5定义在 R 上的函数 f(x)对任意两 个不等的实数 x1， x2都有 x1f(x1) x2f(x2)x1f(x2) x2f(x1)，则称函数 f(x)为 “ 函数 ” ，以下函数中为 “ 函数 ” 的序号为 _ _. y x3 1； y 3x 2sin x 2cos x； y? ln |x|， x0 ，0， x 0； y ? x2 4x， x0 ， x2 x， xx1f(x2) x2f(x1)，得 (x1 x2)( f(x1) f(x
9、2)0，即? x1x2，f x1 f x2 或 ? x10，即 为增函数；对于 ，根据其图 象都可以判定为增函数 一 比较法证明不等式 比较法证明不等式的步骤 (1)作差 (商 )； (2)变形； (3)判断差的符号 (商与 1 的大小关系 )； (4)下结论，其中 “ 变形 ” 是关键作差比较法中，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负 【例 1】 已知 a， b， x， y (0， ) ，且 1a 1b， x y.求证： xx a yy b. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明 方法一 (作差比较法 ) xx a yy b bx ayx a y
10、b ，又 1a 1b且 a， b (0， ) ， b a 0.又 x y 0， bx ay. bx ayx a y b 0，即 xx a yy b. 方法二 (分析法 ) x， y， a， b (0， ) ， 要证 xx a yy b，只需证明 x(y b) y(x a)， 即证 xb ya. 而由 1a 1b 0， b a 0. 又 x y 0，知 xb ya 显然成立故原不等式成立 二 分析法和综合法证明不等式 分析法和综合法证明不等式的技巧 证明不等式，主要从目标式的结构特征，综合已知条件，借助相关定理公式探索思路，如果这种特征不足以明确解题方法时，就应从目标式开始通过 “ 倒推 ” 分
11、析法，寻找目标式成立的充分条件直至与已知条件吻合，然后从已知条件出发综合写出证明过程 【例 2】 设 a， b， c0，且 ab bc ca 1.求证： a b c 3. 证明 要证 a b c 3， 由于 a， b， c0，因此只需证明 (a b c)23. 即证 a2 b2 c2 2(ab bc ca)3 ， 而 ab bc ca 1， 故需证明 a2 b2 c2 2(ab bc ca)3( ab bc ca) 即证 a2 b2 c2 ab bc ca. 而这可以由 ab bc ca a2 b22 b2 c22 c2 a22 a2 b2 c2 (当且仅当 a b c 时等号成立 )证得 原
12、不等式 成立 另：按照分析法的思路，由下至上写出证明的过程，便是书写更简单的综合法了 三 柯西不等式的应用 柯西不等式的应用类型及解题策略 (1)求表达式的最值依据已知条件，利用柯西不等式求最值，注意等号成立的条件 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)求解析式的值，利用柯西不等式的条件，注意等号成立的条件，进而求得各个量的值，从而求出解析式的值 (3)证明不等式注意所证不等式的结构特征，寻找柯西不等式的条件，然后证明 【例 3】 已知实数 a， b， c， d 满足 a b c d 3， a2 2b2 3c2 6d2 5，求证： 1 a2. 证明 由柯西不等式得 (2b2 3c2 6d2)
13、? ?12 13 16 ( b c d)2，即 2b2 3c2 6d2( b c d)2，由已知可得 2b2 3c2 6d2 5 a2， b c d 3 a， 5 a2(3 a)2，即 1 a2. 当且仅当 2b12 3c13 6d16，即 2b 3c 6d 时等号成立 1设 abc0，则 2a2 1ab 1a a b 10ac 25c2的最小值是 ( D ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 2a2 1ab 1a a b 10ac 25c2 (a 5c)2 a2 ab ab 1ab 1a a b (a 5c)2 ab 1ab a(a b) 1a a b 0 2 2 4. 当且仅当 a 5
14、c 0， ab 1， a(a b) 1 时等号成立， 如取 a 2， b 22 ， c 25 满足条件，故选 D 2若 P x1 x y1 y z1 z(x0， y0， z0)，则 P 与 3 的大小关系为 _P0,1 y0,1 z0， x1 x y1 y z1 za2b ab2. 证明 (a3 b3) (a2b ab2) (a b)(a b)2. 因为 a， b 都是正数，所以 a b0. 又因为 a b，所以 (a b)20.于是 (a b)(a b)20， 即 (a3 b3) (a2b ab2)0，所以 a3 b3a2b ab2. 2已知 a， b， c 都是正数，求证： a2b2 b2
15、c2 c2a2a b c abc. 证明 因为 b2 c22 bc， a20，所以 a2(b2 c2)2 a2bc， 同理， b2(a2 c2)2 ab2c， c2(a2 b2)2 abc2， 相加得 2(a2b2 b2c2 c2a2)2 a2bc 2ab2c 2abc2， 从而 a2b2 b2c2 c2a2 abc(a b c) 由 a， b， c 都是正数，得 a b c0，因此 a2b2 b2c2 c2a2a b c abc. 3 (2017 安徽联考 )已知函数 f(x) |x| |2x 1|，记 f(x) 1 的解集为 M. (1)求 M； (2)已知 a M，比较 a2 a 1 与 1a的大
