1、普通高等教育“十一五”国家级规划教材 第二十一章第二十一章 力力 法法第一节 超静定结构的概念第二节 力法的基本概念第三节 超静定次数的确定与基本结构第四节 力法典型方程第五节 力法的计算步骤和举例第六节 超静定结构的位移计算和最后内力图的校核第七节 对称性的利用第八节 支座移动时超静定结构计算 第九节 超静定结构的特性普通高等教育“十一五”国家级规划教材掌握超静定结构概念，能确定超静定次数掌握超静定结构概念，能确定超静定次数掌握力法基本原理掌握力法基本原理掌握力法解一次超静定梁和刚架掌握力法解一次超静定梁和刚架熟悉对称性的利用熟悉对称性的利用普通高等教育“十一五”国家级规划教材 第一节 超静
2、定结构的概念 超静定结构是工程实际中常用的一类结构。前已述及，超静定结构的反力和内力仅用静力平衡条件不能全部求出。如图所示的连续梁，于是也就不能进一步求出其内力。所以，超静定结构的内力计算必须考虑结构的位移条件。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 常见的超静定结构有：超静定梁（图常见的超静定结构有：超静定梁（图a），超静定），超静定刚架（刚架（b），超静定桁架（图），超静定桁架（图c），超静定拱（图），超静定拱（图d），超静定组合结构（图），超静定组合结构（图e），铰接排架（图），铰接排架（图f）等。）等。普通高等教育“十一五”国家级规划教材第二节第二节 力法的基本概念力法的基本概念 下面以
3、图下面以图a所示超静定梁为例，来说明力法的基本概念。所示超静定梁为例，来说明力法的基本概念。 一、力法的基本结构和基本未知量一、力法的基本结构和基本未知量 图图a所示超静定梁，具有一个多余约束，为一次超静定所示超静定梁，具有一个多余约束，为一次超静定结构。结构。 若将支座若将支座B作为多余约束去掉，代之以多余未知力作为多余约束去掉，代之以多余未知力X1，则得到图则得到图b所示的静定结构。所示的静定结构。b基本体系、基本体系、c基本结构。基本结构。如果设法求出多余未知力如果设法求出多余未知力X1，那么原结构的计算问题就，那么原结构的计算问题就可转化为静定结构的计算问题。因此，多余未知力是最可转化
4、为静定结构的计算问题。因此，多余未知力是最基本的未知力，称为力法的基本未知量。基本的未知力，称为力法的基本未知量。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 二、力法的基本方程二、力法的基本方程 用来确定多余未知力X1的位移条件为：基本结构在原有荷载和多余未知力共同作用下，在去掉多余约束处的位移1应与原结构中相应的位移相等，即 011111111X11111X再令表示X1为单位力即时，点B沿X1方向上的位移，则有，于是上式可写为 01111X 这就是一次超静定结构的力法基本方程。 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 现用图乘法计算位移现用图乘法计算位移 和和 。首先，分别绘出。首先，分别绘出M及荷
5、载及荷载FP单独作用于基本结构时的弯矩图（图单独作用于基本结构时的弯矩图（图a、b）。由图乘法）。由图乘法求得求得EIlllEI332213211111EIlFlllFEI48565222113104853313EIlFXEIl代入力法方程得：FX1651 多余未知力求出以后，即可按静力平衡条件求得其反力及内力。最后的弯矩图c）可按叠加原理由下式求得：MXMM11普通高等教育“十一五”国家级规划教材 综上所述可知，力法是以多余未知力作为综上所述可知，力法是以多余未知力作为基本未知量，取去掉多余约束后的静定结构基本未知量，取去掉多余约束后的静定结构为基本结构，并根据基本体系去掉多余约束为基本结构
6、，并根据基本体系去掉多余约束处的已知位移条件建立基本方程，将多余未处的已知位移条件建立基本方程，将多余未知力首先求出，而以后的计算即与静定结构知力首先求出，而以后的计算即与静定结构无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。无异。它可用来分析任何类型的超静定结构。普通高等教育“十一五”国家级规划教材第三节第三节 超静定次数的确定与基本结构超静定次数的确定与基本结构 超静定次数是指超静定结构中多余约束的个数。通常，超静定次数是指超静定结构中多余约束的个数。通常，可以用去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法来确可以用去掉多余约束使原结构变成静定结构的方法来确定超静定次数。如果原结构在去掉定超静定次数。
7、如果原结构在去掉n个约束后，就成为个约束后，就成为静定的，则原结构的超静定次数就是静定的，则原结构的超静定次数就是n次。次。 在超静定结构中去掉多余约束的方式有以下几种： 1. 去掉一根支座链杆或切断一根链杆，相当于去掉一个约束。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 2. 拆除一个单铰或去掉一个铰支座，相当于去掉两个约束。 3. 切断一根梁式杆或去掉一个固定端支座，相当于去掉三个约束。 4. 在刚性杆上或固定支座上加一个单铰，相当于去掉一个约束。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 由于去掉多余约束的方式的多样性，所以，在力法计由于去掉多余约束的方式的多样性，所以，在力法计算中，同一结构的基本
8、结构可有各种不同的形式。例如算中，同一结构的基本结构可有各种不同的形式。例如图图a所示结构，基本结构图所示结构，基本结构图b ，也图，也图c 。但应注意，基本。但应注意，基本结构必须是几何不变的，因此，某些约束是绝对不能去结构必须是几何不变的，因此，某些约束是绝对不能去掉的。例如对于上述结构中任一根竖向支座链杆就不能掉的。例如对于上述结构中任一根竖向支座链杆就不能去掉，否则将成为瞬变体系（图去掉，否则将成为瞬变体系（图d） 需要指出，对于同一结构，可用各种不同方式去掉多余约束而得到不同的静定结构。但是，无论哪种方式，所去掉的多余约束的个数必然是相等的。普通高等教育“十一五”国家级规划教材第四节
9、第四节 力法典型方程力法典型方程 用力法计算超静定结构的关键在于根据位移条件建立力法方程，以求解多余未知力。下面以图a所示三次超静定刚架为例，说明如何建立多次超静定结构的力法基本方程。 现去掉支座B的三个多余约束，并以相应的多余未知力X1、X2和X3代替，则基本体系如图b所示。由于原结构在固定支座B处不可能有任何位移，因此，在基本体系上点B沿X1、X2和X3方向上的相应位移1、2和3都应为零。普通高等教育“十一五”国家级规划教材000333323213132323222121213132121111XXXXXXXXX图c、d、e、f为各单位力和荷载FP分别作用于基本结构上时，点B沿各多余未知力
10、方向上的位移.根据叠加原理，可将基本体系应满足的位移条件表示为 这就是求解多余未知力X1、X2和X3所要建立的力法基本方程。其物理意义是基本结构在全部多余未知力和已知荷载共同作用下，在去掉多余约束处的位移应与原结构中相应的位移相等。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 解力法方程得到多余未知力后，超静定结解力法方程得到多余未知力后，超静定结构的内力可根据平衡条件求出，或按下述叠构的内力可根据平衡条件求出，或按下述叠加原理求出弯矩加原理求出弯矩NN22N11NNQQ22Q11QQ2211FXFXFXFFFXFXFXFFMXMXMXMMnnnnnn求出弯矩后，也可以直接应用平衡条件求其剪力和轴力
11、普通高等教育“十一五”国家级规划教材第五节第五节 力法的计算步骤和举例力法的计算步骤和举例 力法的计算步骤归纳如下：力法的计算步骤归纳如下：(1) 去掉原结构的多余约束并代之以多余未知力，去掉原结构的多余约束并代之以多余未知力， 选取基本体系。选取基本体系。 (2) 根据基本结构在多余未知力和原荷载的共同作用根据基本结构在多余未知力和原荷载的共同作用下，在去掉多余约束处的位移应与原结构中相应的下，在去掉多余约束处的位移应与原结构中相应的位移相同的位移条件，建立力法典型方程。位移相同的位移条件，建立力法典型方程。(3) 作出基本结构的单位内力图和荷载内力图，或写作出基本结构的单位内力图和荷载内力
12、图，或写出内力表达式，按求静定结构位移的方法，计算系出内力表达式，按求静定结构位移的方法，计算系数和自由项。数和自由项。(4) 解方程，求解多余未知力。解方程，求解多余未知力。(5) 作内力图。作内力图。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 例例1 用力法计算图用力法计算图a所示刚所示刚架，并作出最后弯矩图。架，并作出最后弯矩图。解 (1) 选取基本体系此刚架为一次超静定结构，选取基本体系图b所示。(2) 建立力法典型方程0022221211212111XXXX0022221211212111XXXX(3) 求系数和自由项 1MM绘出各单位弯矩图和荷载弯矩图如图c、d、所示。 普通高等教育“十
13、一五”国家级规划教材1384743233321316414231311EIqllqlllqlEIlqlEIP13212111163813441EIlllEIllEI1384743233321316414231311EIqllqlllqlEIlqlEIP(4) 求多余未知力 将系数和自由项代入力法典型解得 2471qlx普通高等教育“十一五”国家级规划教材(5) 作内力图梁端弯矩可按 MXMXMM2211计算，最后弯矩图如图所示。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 例例2 试计算图试计算图a所示桁架各杆的轴力。已知所示桁架各杆的轴力。已知各杆的各杆的EA为常数。为常数。解 (1) 选取基本体系
14、如图b所示。(2) 建立力法典型方程 根据切口两侧截面沿杆轴向的相对线位移应等于零的位移条件。建立力法典型方程如下：01111X普通高等教育“十一五”国家级规划教材(3) 求系数和自由项 分别求出单位力X1=1和荷载单独作用于基本结构时所产生的轴力，如图c、d所示。计算各系数和自由项如下 EAlllEAEAlF21222142112221N11EAlFlFlFEIEAlFF 2222122112NP1N1普通高等教育“十一五”国家级规划教材 (4) 求多余未知力将系数和自由项代入典型方程求解，得FlEAEAlFX22212221111(5) 求各杆的最后轴力N11NNFXFF由公式 求得各杆轴
15、力如图e所示。例如，求BC杆的最后轴力 22221NFFFFBC普通高等教育“十一五”国家级规划教材第六节第六节 超静定结构位移计算和最后内超静定结构位移计算和最后内力图的校核的力图的校核的 一、超静定结构的位移计算一、超静定结构的位移计算 第二十章介绍的应用单位荷载法计算结构的位移第二十章介绍的应用单位荷载法计算结构的位移是一个普遍性的方法，它不仅适用于静定结构，也是一个普遍性的方法，它不仅适用于静定结构，也适用于超静定结构。适用于超静定结构。 从力法的基本原理可知，基本结构在荷载和多余从力法的基本原理可知，基本结构在荷载和多余未知力共同作用下产生的内力和位移与原结构完全未知力共同作用下产生
16、的内力和位移与原结构完全一致。当多余未知力被确定之后，或者说超静定结一致。当多余未知力被确定之后，或者说超静定结构被求解以后，基本体系就完全代表了原结构，不构被求解以后，基本体系就完全代表了原结构，不仅求结构的内力如此，求结构的位移也如此。也就仅求结构的内力如此，求结构的位移也如此。也就是说，求原结构的位移问题可归结为求基本体系的是说，求原结构的位移问题可归结为求基本体系的位移问题。位移问题。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 下面以图下面以图a所示超静定刚架为例，求结点所示超静定刚架为例，求结点C的转角。的转角。CMC假设刚架的最后弯矩图已用力法求出，如图b所示，它即相当于计算位移时的实际
17、弯矩图。现欲求结点C的转角（图21-15c）。利用图乘法得CCC 现欲求结点C的 可在基本结构的C点加一单位力偶M=1，作出单位弯矩图（图c）。利用图乘法得（图21-15c）。利用图乘法得 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 （）EIqlqllqllEIC56282114211322这就是利用基本体系求得的原结构中结点C的转角。M特别指出：由于原结构的内力和位移并不因所取的基本结构不同而改变，因此，可把其最后内力看作是由任意一种基本结构求得的。这样，在计算超静定结构位移时，也就可以将所虚拟的单位力加于任一基本结构作为虚拟状态。如求结点C的转角时，可采用如图d所示的基本结构，相应地作出单位弯矩
18、图EIqlqllqllEIC562183213214211322普通高等教育“十一五”国家级规划教材 二、最后内力图的校核二、最后内力图的校核 最后内力图是结构设计的依据，因此，在求得内最后内力图是结构设计的依据，因此，在求得内力图后应该进行校核，以保证它的正确性。正确的力图后应该进行校核，以保证它的正确性。正确的内力图必须同时满足平衡条件和位移条件。下面以内力图必须同时满足平衡条件和位移条件。下面以图图a所示刚架为例，说明内力图的校核方法。所示刚架为例，说明内力图的校核方法。 1. 平衡条件的校核 结构的内力应满足平衡条件，是指从结构中截取的任何一部分都应满足平衡条件。一般的作法是截取结点或
19、杆件，检查是否满足平衡条件。普通高等教育“十一五”国家级规划教材例如，在图21-16a所示刚架中截取结点B（图21-16e），有0mkN201232BM0kN426464250kN35 . 15 . 4yxFF截取结点B（图e），再取杆件ABC（图f)均满足平衡条件。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 2. 位移条件的校核 只有平衡条件的校核，还不能保证超静定结构的内力图一定正确，因为多余未知力是通过位移条件求得的，其计算是否有误，必须通过位移条件来校核。 位移条件校核的方法是：根据最后内力图验算沿任一多余未知力Xi（i=1,2,n）方向的位移，看是否与实际相符。对于在荷载作用下的刚架，只考
20、虑弯矩的影响，可采用下式校核0dsEIMMii式中iM为基本结构在单位力Xi=1作用下的弯矩，M为最后的弯矩。普通高等教育“十一五”国家级规划教材KM例如，为了校核图a所示的弯矩图，可选图g所示的单位弯矩图 由于在单位力XK=1作用下，只有封闭框格ABED部分产生弯矩 =1，因此，得上式说明：当结构只受荷载作用时，任何封闭框格的最后弯矩图的面积除以相应刚度后的代数和应等于零。KM0MEIAdsEIMdsEIMMKK普通高等教育“十一五”国家级规划教材第七节第七节 对称性的利用对称性的利用 在工程中，很多结构是对称的。所谓对称在工程中，很多结构是对称的。所谓对称结构就是指：（结构就是指：（1）结
21、构的几何形状和支承情）结构的几何形状和支承情况对某一轴线对称；（况对某一轴线对称；（2）杆件的截面和材料）杆件的截面和材料性质也对此轴对称。如图所示的结构都是对性质也对此轴对称。如图所示的结构都是对称结构。称结构。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 作用在对称结构上的任何荷载（图作用在对称结构上的任何荷载（图a）都可）都可分解为两组：一组是正对称荷载（图分解为两组：一组是正对称荷载（图b），另），另一组是反对称荷载（图一组是反对称荷载（图c）。）。 利用对称性，可使计算工作得到简化。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 经过分析得出结论经过分析得出结论: (1)对称结构在正对称荷载作用下，只
22、有对称的多对称结构在正对称荷载作用下，只有对称的多余未知力存在，而反对称的多余未知力必为零。也余未知力存在，而反对称的多余未知力必为零。也就是说，基本体系上的荷载和多余未知力都是对称就是说，基本体系上的荷载和多余未知力都是对称的，故原结构的受力和变形也必是对称的，没有反的，故原结构的受力和变形也必是对称的，没有反对称的内力和位移。对称的内力和位移。 (2)对称结构在反对称荷载作用下，只有反对称的对称结构在反对称荷载作用下，只有反对称的多余未知力存在，而正对称的多余未知力必为零。多余未知力存在，而正对称的多余未知力必为零。也就是说，基本体系上的荷载和多余未知力都是反也就是说，基本体系上的荷载和多
23、余未知力都是反对称的，故原结构的受力和变形也必是反对称的，对称的，故原结构的受力和变形也必是反对称的，没有对称的内力和位移。没有对称的内力和位移。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 利用上述结论，可截取对称结构的一半来利用上述结论，可截取对称结构的一半来进行计算。下图为对称结构在正对称荷载和进行计算。下图为对称结构在正对称荷载和反对称荷载作用下奇数跨半结构的取法。反对称荷载作用下奇数跨半结构的取法。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 下图为对称结构在正对称荷载和反对称荷下图为对称结构在正对称荷载和反对称荷载作用下偶数跨半结构的取法。载作用下偶数跨半结构的取法。普通高等教育“十一五”国家级规
24、划教材 当按上述方法取出半结构后，即可按解超静定结构当按上述方法取出半结构后，即可按解超静定结构的方法绘出其内力图，然后再根据对称关系绘出另外的方法绘出其内力图，然后再根据对称关系绘出另外半边结构的内力图。半边结构的内力图。 例 利用对称性，计算图a所示刚架，并绘最后弯矩图。解 此刚架为三次超静定，且为双轴对称结构，荷载也具有双轴对称性，可取如图b所示四分之一结构计算。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 (1) 选取基本体系 图b所示结构为一次超静定，选取图c所示的基本体系 (2) 建立力法典型方程01111X(3) 求系数和自由项绘出 图及 如图 d、e所示。 1MMEIllEI21121
25、11EIqllqlEIlqlEIP1212831112813221普通高等教育“十一五”国家级规划教材(4) 求多余未知力 代入力法方程，得1221111qlX(5) 绘制最后弯矩图MXMM11四分之一结构中各杆杆端弯矩可按 计算，其弯矩图如图f所示，根据对称性，绘出最后弯矩图如图f所示。 普通高等教育“十一五”国家级规划教材第八节第八节 支座移动时超静定结构计算支座移动时超静定结构计算 由于超静定结构具有多余约束，因此，凡能使结构产由于超静定结构具有多余约束，因此，凡能使结构产生变形的因素都将导致结构产生内力。生变形的因素都将导致结构产生内力。 用力法计算超静定结构在支座移动作用下的内力时，
26、用力法计算超静定结构在支座移动作用下的内力时，力法的基本原理和步骤并没有改变，所不同的是力法典力法的基本原理和步骤并没有改变，所不同的是力法典型方程中自由项的计算。下面通过例题来说明。型方程中自由项的计算。下面通过例题来说明。例21-8 图a所示为一等截面梁，已知支座A转动角度为 支座B下沉位移为 ，试作该梁的弯矩图。a普通高等教育“十一五”国家级规划教材 解 (1) 此梁为一次超静定，取基本结构为悬臂梁，基本体系如图b所示。(2) 建立力法典型方程aXc1111(3) 计算系数和自由项11 与外因无关，其计算同前，自由项 计算公式为 11c1cFicR绘出基本结构在 作用下的弯矩图 并求出相
27、应的反力（图c），利用位移公式求得 11XEIl33111M普通高等教育“十一五”国家级规划教材EIl3311lc1(4) 求多余未知力将系数和自由项代入力法典型方程，得 alXEIl133解方程得 lalEIX213(5) 绘制弯矩图 因为基本结构是静定结构，支座移动并不产生内力，故最后内力是由多余未知力引起的。因此，最后弯矩 按 计算，弯矩图如图d所示。 11XMM 普通高等教育“十一五”国家级规划教材第九节第九节 超静定结构的特性超静定结构的特性 与静定结构比较，超静定结构具有以下重要特性：与静定结构比较，超静定结构具有以下重要特性：1. 在静定结构中，除了荷载以外，其它任何因素，在静定
28、结构中，除了荷载以外，其它任何因素，如温度改变、支座移动、制造误差、材料收缩等，如温度改变、支座移动、制造误差、材料收缩等，都不会引起内力。但是在超静定结构中，任何因素都不会引起内力。但是在超静定结构中，任何因素都可能引起内力。这是因为任何因素引起的超静定都可能引起内力。这是因为任何因素引起的超静定结构的变形，在其发生过程中，受得多余约束的作结构的变形，在其发生过程中，受得多余约束的作用，因而相应地产生了内力。用，因而相应地产生了内力。2. 静定结构的内力只要利用静力平衡条件就可以确静定结构的内力只要利用静力平衡条件就可以确定，其值与结构的材料性质和截面尺寸无关；而超定，其值与结构的材料性质和
29、截面尺寸无关；而超静定结构内力只由静力平衡条件无法完全确定，还静定结构内力只由静力平衡条件无法完全确定，还必须考虑位移条件才能得出解答，故与结构的材料必须考虑位移条件才能得出解答，故与结构的材料性质和截面尺寸有关。性质和截面尺寸有关。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 3. 超静定结构由于具有多余约束，一般地说，超静定结构由于具有多余约束，一般地说，其内力分布比较均匀，变形较小，刚度比相应的其内力分布比较均匀，变形较小，刚度比相应的静定结构要大些。例如图静定结构要大些。例如图a为两跨连续梁，图为两跨连续梁，图b为为相应的两跨静定梁，在相同荷载作用下，前者的相应的两跨静定梁，在相同荷载作用下，前者的最大挠度及弯矩峰值都较后者为小。最大挠度及弯矩峰值都较后者为小。普通高等教育“十一五”国家级规划教材 4. 从军事及抗震方面来看，超静定结构具有从军事及抗震方面来看，超静定结构具有较好的抵抗破坏的能力。因为超静定结构在较好的抵抗破坏的能力。因为超静定结构在多余约束被破坏后，仍能维持几何不变性，多余约束被破坏后，仍能维持几何不变性，但静定结构在任一约束被破坏后，即变成可但静定结构在任一约束被破坏后，即变成可变体系而失去承载能力。变体系而失去承载能力。
