1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 51 讲 双曲线 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质 2了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景 3理解数形结合的思想 . 2017 全国卷 ，15 2017 全国卷 ， 9 2017 北京卷， 9 2017 天津卷， 5 2017 江苏卷， 8 1.求解与双曲线定义有关的问题；利用双曲线的定义求轨迹方程；求双曲线的标准方程；确定双曲线焦点的位置 2求双曲线的渐近线；求解与双曲线的范围、对称性有关的问题；求解双曲线的离心率 . 分值： 5 分 1双曲线的定义 平面内与两个定点 F1， F2的 _
2、距离的差的绝对值 _等于常数 (小于 | |F1F2 )的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做 _双曲线的焦点 _，两焦点间的距离叫做 _双曲线的焦距 _ 集合 P M| | | |MF1 | |MF2 2a ， | |F1F2 2c，其中 a， c 为常数，且 a0， c0. (1)当 _a c_时，点 P 的轨迹是双曲线； (2)当 _a c_时，点 P 的轨迹是两条射线； (3)当 _a c_时，点 P 不存在 2双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 x2a2y2b2 1(a 0， b 0) y2a2x2b2 1(a 0， b 0) 图形 性 质 范围 x a 或 x a， y R y a
3、或 y a， x R 对称性 对称轴： _坐标轴 _，对称中心： _原点 _ 顶点 A1_( a,0)_， A2_(a,0)_ A1_(0， a)_， A2_(0， a)_ 渐近线 y bax y abx =【 ;精品教育资源文库 】 = 离心率 e _ca_， e (1， ) a， b， c 的关系 c2 _a2 b2_ 实 虚轴 线段 A1A2叫做双曲线的实轴，它的长 | |A1A2 _2a_；线段 B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长 | |B1B2 _2b_； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 3常用结论 (1)双曲线的焦点到渐近线 x2a2y2b2 0(a 0， b
4、0)的距离为 b.如右图 OFH是分别以边 a， b， c 为边长的直角三角形 (2)如 下图： x2a2y2b2 1(a b 0) x2a2y2b2 1(a 0， b 0) 则有： P1， P2两点坐标都为 ? ?c， b2a ，即 | |FP1 | |FP2 b2a. 1思维辨析 (在括号内打 “” 或 “ ”) (1)平面内到点 F1 (0,4)， F2(0， 4)距离之差等于 6 的点的轨迹是双曲线 ( ) (2)平面内到点 F1(0,4)， F2(0， 4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线 ( ) (3)方程 x2my2n 1(mn 0)表示焦点在 x 轴上的双曲线 (
5、) (4)双曲线方程 x2m2y2n2 (m 0， n 0， 0) 的渐近线方程是x2m2y2n2 0， 即xmyn0.( ) 解析 (1)错误由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部 (2)错误因为 | | |MF1 | |MF2 8 | |F1F2 ，表示的轨迹为两条射线 (3)错误当 m 0， n 0 时表示焦点在 x 轴上 的双曲线，而 m 0， n 0 时则表示焦点=【 ;精品教育资源文库 】 = 在 y 轴上的双曲线 (4)正确因为 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的渐近线方程为 y bax，即x2a2y2b2 0，所以当 0 时， x2m 2y2n 2 1(m
6、 0， n 0)的渐近线方程为x2m 2y2n 2 0，即x2m2y2n2 0，即xmyn 0，同理当 0 时，仍成立，故结论正确 2过双曲线 x2 y2 8 的左焦点 F1有一条弦 PQ 在左支上，若 | |PQ 7， F2是双曲线的右焦点，则 PF2Q 的周长是 ( C ) A 28 B 14 8 2 C 14 8 2 D 8 2 解析 由双曲线定义知， | |PF2 | |PF1 4 2， | |QF2 | |QF1 4 2， | |PF2 | |QF2 (| |PF1 | |QF1 ) 8 2. 又 | |PF1 | |QF1 | |PQ 7， | |PF2 | |QF2 7 8 2.
7、 PF2Q 的周长为 14 8 2. 3双曲线 2x2 y2 8 的实轴长是 ( C ) A 2 B 2 2 C 4 D 4 2 解析 双曲线 2x2 y2 8 的标准方程为 x24y28 1，所以实轴长 2a 4，故选 C 4设双曲线 x2a2y29 1(a 0)的渐近线方程为 3x2 y 0，则 a 的值为 ( C ) A 4 B 3 C 2 D 1 解析 双曲线 x2a2y29 1 的渐近线方程为xay3 0. 整理得 3x ay 0，故 a 2，故选 C 5 (2017 北京卷 )若双曲线 x2 y2m 1 的离心率为 3，则实数 m _2_. 解析 由双曲线的标准方程可知 a2 1，
8、 b2 m，所以 a 1， c 1 m，所以 1 m1 3，解得 m 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 一 双曲线的定义及其标准方程 双曲线的定义和标准方程中的注意点 (1)在解决与双曲线的焦点有关的距离问题时，通常考虑利用双曲线的定义 (2)在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件 “ 差的绝对值 ” ，弄清楚是指整条双曲线还是双曲线的一支 (3)求双曲线方程时一是标准形式的判断；二是注意 a， b， c 的关系易错易混 【例 1】 (1)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，离心率等于 32，则 C 的方程是 ( B ) A x24y25 1 Bx24y25
9、1 C x22y25 1 Dx22y25 1 (2)设 F1， F2是双曲线 x2 y224 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且 3| |PF1 4| |PF2 ，则 PF1F2的面积等于 ( C ) A 4 2 B 8 3 C 24 D 48 (3)已知 F1， F2为双曲线 x25y24 1 的左、右焦点， P(3,1)为双曲线内一点，点 A 在双曲线上，则 |AP| |AF2|的最小值为 ( C ) A 37 4 B 37 4 C 37 2 5 D 37 2 5 解析 (1)由曲线 C 的右焦点为 F(3,0)，知 c 3， 由离心率 e 32，知 ca 32，则 a 2，故 b
10、2 c2 a2 9 4 5， 所以双曲线 C 的方程为 x24y25 1. (2)双曲线的实轴长为 2，焦距为 | |F1F2 25 10.据题意和双曲线的定义知 2 | |PF1 | |PF2 43| |PF2 | |PF2 13| |PF2 ， | |PF2 6， | |PF1 8， | |PF1 2 | |PF2 2 | |F1F2 2， PF1 PF2. =【 ;精品教育资源文库 】 = S PF1F2 12| |PF1 | |PF2 1268 24. (3)|AP| |AF2| |AP| |AF1| 2a，要求 |AP| |AF2|的最小值，只需求 |AP| |AF1|的最小值，当
11、A， P， F1三点共线时，取得最小值，则 |AP| |AF1| |PF1| 37， |AP| |AF2| |AP| |AF1| 2a 37 2 5. 二 双曲线的几何性质及其应用 双曲线中一些几何量的求解方法 (1)求双曲线的离心率 (或范围 )依据题设条件，将问题转化为关于 a， c 的等式 (或不等式 )，解方程 (或不等式 )即可求得 (2)求双曲线的渐近线方程依据题设条件，求双曲线中 a， b 的值或 a 与 b 的比值，进而得出双曲线的渐近线方程 (3)求双曲线的方程依据题设条件求出 a， b 的值或依据双曲线的定义求双曲线的方程 (4)求双曲线的焦点 (焦距 )、实 (虚 )轴的
12、长依题设条件及 a， b， c 之间的关系求解 【例 2】 (1)已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的离心率为52 ，则 C 的渐近线方程为 ( C ) A y 14x B y 13x C y 12x D y x (2)(2017 全国卷 )若双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线被圆 (x 2)2 y2 4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为 ( A ) A 2 B 3 C 2 D 2 33 (3)若双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)右顶点为 A，过其左焦点 F 作 x 轴的垂线交双曲线于 M，N 两点，且 MA NA 0，则该双
13、曲线的离心率的取值范围为 ( B ) A (2， ) B (1,2) C ? ?32， D ? ?1， 32 解析 (1) e ca 52 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = e2 c2a2a2 b2a2 54， a2 4b2， ba 12， 渐近线方程为 y bax，即 y 12x. (2)依题意，双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线方程为 bx ay 0.因为直线bx ay 0 被圆 (x 2)2 y2 4 所截得的弦长为 2，所以 |2b|b2 a2 4 1，所以 3a2 3b24b2，所以 3a2 b2，所以 e 1 b2a2 1 3 2.故选 A (3)由
14、题意，可得 M? ? c， b2a ， N? c， b2a ， A(a,0)， MA ? ?a c， b2a ， NA ?a c， b2a . MA NA 0， (a c)2 b4a2 0， a cb2a 0， 2a2 ac c2 0，即 e2 e 2 0，又 e 1，解得 1 e 2，故选 B 三 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线的位置关系的解决方法 (1)解决此类问题的常用方法是设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程联立，消元后转化成关于 x(或 y)的一元二次方程，利用根与系数的关 系，整体代入 (2)与中点有关的问题常用点差法 (3)根据直线的斜率与渐近线的斜率的关系
15、来判断直线与双曲线的位置关系 【例 3】 若双曲线 E： x2a2 y2 1(a 0)的离心率等于 2，直线 y kx 1 与双曲线 E 的右支交于 A， B 两点 (1)求 k 的取值范围； (2)若 | |AB 6 3，点 C 是双曲线上一点，且 OC m(OA OB )，求 k， m 的值 解析 (1)由? ca 2，a2 c2 1，得? a2 1，c2 2. 故双曲线 E 的方程为 x2 y2 1. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由? y kx 1，x2 y2 1， 得 (1 k2)x2 2kx 2 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为直线与双曲线右支交于 A， B 两点， 故? 2k1 k20且 21 k20， ?2k?2 4?1 k2? ? 2? 0，即 ? k 1， 2 k
