1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 51 讲 双曲线 解密考纲 对双曲线的定义、标准方程及几何性质的考查，通常与平面向量、解三角形方程或不等式综合在一起，以选择题、填空题形式出现，或在解答题中以第一问作考查的第一步 一、选择题 1已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的一个焦点与抛物线 y2 4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于 5，则该双曲线的方程为 ( D ) A 5x2 45y2 1 B x25y24 1 C y25x24 1 D 5x2 54y2 1 解析 抛物线 y2 4x 的焦点为 F(1,0)， c 1， e ca 1a 5，得 a2 15， b2 c2 a2 45
2、，则双曲线的方程为 5x2 54y2 1，故选 D 2已知实数 1， m,9 成等比数列，则圆锥曲线 x2m y2 1 的离心率为 ( C ) A 63 B 2 C 63 或 2 D 22 或 3 解析 根据条件可知 m2 9， m 3. 当 m 3 时， e ca 63 ；当 m 3 时， e 2，故选 C 3双曲线 x22 2y2 1 的渐近线与圆 x2 (y a)2 1 相切，则正实数 a ( C ) A 174 B 17 C 52 D 5 解析 双曲线 x22 2y2 1 的渐近线方程为 y 12x，圆心为 (0， a)，半径为 1， 由渐近线和圆相切，得 |2a|5 1，解得 a 5
3、2 . 4若实数 k 满足 00， b0)的左焦点为 F，离心率为 2.若经过 F 和 P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 ( B ) A x24y24 1 Bx28y28 1 C x24y28 1 Dx28y24 1 解析 由 e 2知，双曲线为等轴双曲线，则其渐近线方程为 y x，由 P(0,4)知左焦点 F 的坐标为 ( 4,0)，所以 c 4，则 a2 b2 c22 8.故选 B 6已知 ab0，椭圆 C1的方程为 x2a2y2b2 1，双曲线 C2的方程为x2a2y2b2 1， C1与 C2的离心率之积为 32 ，则 C2的渐近线方程为 ( A ) A
4、x 2y 0 B 2x y 0 C x2 y 0 D 2x y 0 解析 由已知得 1 ? ?ba 2 1 ? ?ba 2 32 ，解得 ba 12，故选 A 二、填空题 7已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线与直线 l： x 3y 0 垂直， C 的一个焦点到直线 l 的距离为 1，则 C 的方程为 _x2 y23 1_. 解析 双曲线的一条渐近线与直线 l： x 3y 0 垂直， 双曲线的渐近线的斜率为 3，即 ba 3. 由题意知双曲线的焦点在 x 轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为 (c,0)，根据点到直线=【 ;精品教育资源文库 】 = 的距离公式，得 |
5、c|2 1， c 2，即 a2 b2 4. 联立 ，解得 a2 1， b2 3 ， 双曲线的标准方程为 x2 y23 1. 8若双曲线 x2 y2b2 1(b0)的一条渐近线与圆 x2 (y 2)2 1 至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是 _(1,2_ 解析 双曲线的渐近线方程为 y bx，则有 |0 2|1 b21 ，解得 b23 ，则 e2 c2a2 1 b24 ，所以 10， b0)的右支与焦点为 F 的抛物线 x2 2py(p0)交于 A， B 两点若 |AF| |BF| 4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 _y 22 x_. 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y
6、2)，由抛物线的定义可知 |AF| y1 p2， |BF| y2 p2， |OF| p2，由 |AF| |BF| y1 p2 y2 p2 y1 y2 p 4|OF| 2p，得 y1 y2 p. kAB y2 y1x2 x1x222px212px2 x1 x2 x12p . 由? x21a2 y21b2 1，x22a2y22b2 1，得 kAB y2 y1x2 x1 b2 x1 x2a2 y1 y2 b2a2x1 x2p ， 则 b2a2x1 x2p x2 x12p ，所以b2a212?ba22 ， 所以双曲线的渐近线方程为 y 22 x. 三、解答题 10已知双曲线 的中心在原点，焦点 F1，
7、 F2在坐标轴上，离心率为 2，且过点 (4， 10) (1)求双曲线的方程； (2)若点 M(3， m)在双曲线上，求证：点 M 在以 F1F2为直径的圆上 解析 (1) 离心率 e 2， 双曲线为等轴双曲线， =【 ;精品教育资源文库 】 = 可设其方程为 x2 y2 ( 0) ，则由点 (4， 10)在双曲线上， 可得 42 ( 10)2 6， 双曲线方程为 x2 y2 6. (2)证明： 点 M(3， m)在双曲线上， 32 m2 6， m2 3， 又双曲线 x2 y2 6 的焦点为 F1( 2 3， 0)， F2(2 3， 0)， MF1 MF2 ( 2 3 3， m)(2 3 3，
8、 m) ( 3)2 (2 3)2 m2 9 12 3 0， MF1 MF2， 点 M 在以 F1F2为直径的圆上 11设 A， B 分别为双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y 33 x 2 与双曲线的右支交于 M， N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，使 OM ON tOD ，求 t 的值及点 D 的坐标 解析 (1)由题意知 a 2 3，焦点 (c,0)到渐近线 bx ay 0 的距离 bcb2 a2 3，即 b 3， 双曲线方程为 x212y23 1. (2)设 M(x
9、1， y1)， N(x2， y2)， D(x0， y0)， 则 x1 x2 tx0， y1 y2 ty0. 将直线方程代入双曲线方程得 x2 16 3x 84 0， 则 x1 x2 16 3， y1 y2 12. ? x0y0 4 33 ，x2012y203 1， ? x0 4 3，y0 3.由 OM ON tOD ，得 (16 3， 12) (4 3t,3t)， t 4，点 D 的坐标为 (4 3， 3) 12已知双曲线 C： x2 y2 1 及直线 l： y kx 1. (1)若 l 与 C 有两个不同的交点，求实数 k 的取值范围； (2)若 l 与 C 交于 A， B 两点， O 是坐
10、标原点，且 AOB 的面积为 2，求实数 k 的值 解析 (1)双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点，则方程组? x2 y2 1，y kx 1 有两个不同的=【 ;精品教育资源文库 】 = 实数根， 整理得 (1 k2)x2 2kx 2 0. ? 1 k20 ， 4k2 k2 ， 解得 2k 2且 k1. 故双曲线 C 与直线 l 有两个不同的交点时， k 的取值范围是 ( 2， 1) ( 1,1) (1，2) (2)设交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，直线 l 与 y 轴交于点 D(0， 1)， 由 (1)知， C 与 l 联立的方程为 (1 k2)x2 2kx 2 0. ? x1 x2 2k1 k2，x1x2 21 k2. S OAB 12|x1 x2| 2， (x1 x2)2 (2 2)2， 即 ? ? 2k1 k2 2 81 k2 8，解得 k 0 或 k 62 . 又 2k 2，且 k1 ， 当 k 0 或 k 62 时， AOB 的面积为 2.
