1、1 第十一节第十一节 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 【最新考纲】【最新考纲】 1.了解函数的单调性与导了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数数的关系；能利用导数 研究函数的单调性；会求函数的单调区间研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三其中多项式函数不超过三 次次).2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求 函数的极大值、极小值函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上；会求闭区间上 函数的最大值、最小值函数的最大值、最小值(其中多项式函数
2、不超过三次其中多项式函数不超过三次) 1函数的导数与单调性的关系函数的导数与单调性的关系 函数函数 yf(x)在某个区间内可导在某个区间内可导，则则 (1)若若 f(x)0，则则 f(x)在这个区间内在这个区间内单调递增单调递增； (2)若若 f(x)0，右侧右侧 f(x)0.( ) (2)函数的极大值一定比极小值大函数的极大值一定比极小值大( ) (3)对可导函数对可导函数 f(x)， f(x0)0 是是 x0为极值点的充要条件为极值点的充要条件 ( ) (4)函数的最大值不一定是极大值函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极函数的最小值也不一定是极 小值小值( ) 答案：答案：
3、(1) (2) (3) (4) 2(2014 课标全国课标全国卷卷)若函数若函数 f(x)kxln x 在区间在区间(1，) 单调递增单调递增，则则 k 的取值范围是的取值范围是( ) A(，2 B(，1 C2，) D1，) 解析：解析： 由由 f(x)k1 x， ， 又又 f(x)在在(1， )上单调递增上单调递增， 则则 f(x)0 在在 x(1，)上恒成立上恒成立， 3 即即 k1 x在 在 x(1，)上恒成立上恒成立 又当又当 x(1，)时时，00； (2)存在存在 xA，f(x)0f(x)max0. 2在实在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只际问题中，如果函数在区间内
4、只有一个极值点，那么只 要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可， 不必再与端点的函数要根据实际意义判定是最大值还是最小值即可， 不必再与端点的函数 值比较值比较 三个条件三个条件 1在某区间内在某区间内 f(x)0(f(x)0，所以所以 x1 时时，ymin1 e. 答案：答案：C 4设函数设函数 f(x)在在 R 上可导上可导，其导函数为其导函数为 f(x)，且函数且函数 f(x)在在 x 2 处取得极小值处取得极小值，则函数则函数 yxf(x)的图象可能是的图象可能是( ) 7 解解析：析：f(x)在在 x2 处取得极小值处取得极小值， 当当 x0. 当当 x0； 当当 x2 时时，yx
5、f(x)0； 当当20.结合选项中图象知选结合选项中图象知选 C. 答案：答案：C 5 (2017 云南师大附中月考云南师大附中月考)若函数若函数 f(x)x3tx23x 在区间在区间1， 4上单调递减上单调递减，则实数则实数 t 的取值范围是的取值范围是( ) A(，51 8 B(，3 C51 8 ，) D3，) 解析：解析：f(x)3x22tx3，由于由于 f(x)在区间在区间1，4上单调递减上单调递减， 则有则有 f(x)0 在在1，4上恒成立上恒成立，即即 3x22tx30，即即 t3 2(x 1 x) 在在1，4上恒成立上恒成立 因为因为 y3 2(x 1 x)在 在1，4上单调递增
6、上单调递增， 所以所以 t3 2(4 1 4) 51 8 . 答案：答案：C 二、填空题二、填空题 6函数函数 f(x)1xsin x 在在(0，2)上的单调情况是上的单调情况是_ 解析：解析：在在(0，2)上有上有 f(x)1cos x0， 所以所以 f(x)在在(0，2)上单调递增上单调递增 8 答案：答案：单调递增单调递增 7 已知函数已知函数 f(x)x312x8 在区间在区间3， 3上的最大值与最小上的最大值与最小 值分别为值分别为 M，m，则则 Mm_ 解：解：由题意由题意，得得 f(x)3x212，令令 f(x)0，得得 x 2，又又 f( 3)17，f(2)24，f(2)8，f
7、(3)1，所以所以 M24，m8， Mm32. 答案：答案：32 8设函数设函数 f(x)x3x 2 2 2x5，若对任意的若对任意的 x1，2，都有都有 f(x)a，则实数则实数 a 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：f(x)3x2x2， 令令 f(x)0，得得 3x2x20， 解得解得 x1 或或 x2 3， ， 又又 f(1)7 2， ，f 2 3 157 27 ， f(1)11 2 ，f(2)7， 故故 f(x)min7 2， ，a0)，若函数若函数 f(x)在在 x1 处与直线处与直线 y1 2相切 相切， (1)求实数求实数 a，b 的值；的值； (2)求函数求函数 f(x)
8、在在 1 e， ，e 上的最大值上的最大值 解：解：(1)f(x)a x 2bx， 函数函数 f(x)在在 x1 处与直线处与直线 y1 2相切 相切， 11 f （1）a2b0， f（1）b1 2， ， 解得解得 a 1， b1 2. (2)f(x)ln x1 2x 2， ， f(x)1 x x1 x2 x . 当当1 e xe 时时，令令 f(x)0 得得1 e x0) (1)求求 f(x)的定义的定义域域，并讨论并讨论 f(x)的单调性；的单调性； (2)若若a r 400，求求 f(x)在在(0，)内的极值内的极值 解：解：(1)由题意知由题意知 xr，所求的定义域为所求的定义域为(，
9、r)(r， ) f(x) ax （xr）2 ax x22rxr2， ， f(x)a（ （x22rxr2）ax（2x2r） （x22rxr2）2 a（ （rx）（）（xr） （xr）4 ， 所以当所以当 xr 时时，f(x)0. 当当rx0. 因此因此，f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为(，r)，(r，)；f(x)的单的单 12 调递增区间为调递增区间为(r，r) (2)由由(1)的解答可知的解答可知 f(r)0，f(x)在在(0，r)上单调递增上单调递增，在在(r， )上单调递减上单调递减 因此因此，xr 是是 f(x)的极大值点的极大值点，所以所以 f(x)在在(0，)内的极大值内的极大值 为为 f(r) ar （2r）2 a 4r 400 4 100.
