1、1981年2019年全国高中数学联赛试题分类汇编立体几何部分2019A7、如图，正方体的一个截面经过顶点及棱上一点，且将正方体分成体积比为的两部分，则的值为 答案：解析：作图延长交于点,连接交于点，则截面为，由于面面，知为棱台，则.不妨设正方体棱长为，则正方体体积为，结合条件知棱台的体积为，设，则，由于所以，解得。所以.2019B 4. 设三棱锥满足，则该三棱锥的体积的最大值为 答案： 解析：设三棱锥的高为取为棱的中点，则，当平面垂直于平面时，取到最大值此时三棱锥的体积取到最大值为。2018A 2、设点到平面的距离为，点在平面上，使得直线与平面所成角不小于且不大于，则这样的点所构成的区域的面积
2、为 答案：解析：设点在平面上的射影为，由条件知，即，所以区域的面积为。2018B 2、已知圆锥的顶点为，底面半径长为，高为在圆锥底面上取一点，使得直线与底面所成角不大于，则满足条件的点所构成的区域的面积为 答案： 解析:记圆锥的顶点在底面的投影为，则为底面中心，且，即，故所以区域的面积为。2017A 5、正三棱锥中，过的平面将其体积平分，则棱与平面所成角的余弦值为 答案： 解析：设的中点分别为，则平面即平面，则中线，则。又棱与平面的射影线是直线，而，所以，即为所求。2017B 5、在正四面体中，分别在棱上，满足，且与面 平行，则的面积为 答案：解析：由条件知，平行于，因为正四面体的各个面是全等
3、的正三角形，故，.由余弦定理得，同理有.作等腰底边上的高，则，故，于是.2016A 5、设为圆锥曲线的顶点，是其地面圆周上的三点，满足，为线段的中点。若，则二面角的大小为 答案：解析：由=90知，AC为底面圆的直径设底面中心为O，则平面ABC，易知，进而设H为M在底面上的射影，则H为AO的中点在底面中作于点K，则由三垂线定理知，从而为二面角MBCA的平面角因，结合与平行知，即，这样故二面角MBCA的大小为2016B 7、已知正四棱锥的高等于长度的一半，是侧棱的中点， 是侧棱上点，满足，则异面直线,所成角的余弦值为 答案：解析：如图，以底面的中心为坐标原点，的方向为轴的正向，建立空间直角坐标系不
4、妨设此时高从而由条件知，因此设异面直线所成的角为，则2015B 4、设正四棱柱的底面是单位正方形，如果二面角的大小为，则 答案： 解析：取BD的中点O，连接OA, OA1 , OC1则A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，因此A1OC1=, 又OA1C1是等边三角形故A1O= A1C1=，所以2014A 5、正四棱锥中，侧面是边长为的正三角形，分别是边的中点，则异面直线与之间的距离为 答案： 解析：设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H。由于PO是底面的垂线，故POCH，又ACCH，所以CH平面POC，故CHPC。因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又，故异
5、面直线MN与PC之间的距离是。2014B 2、在如下图所示的正方体中，二面角等于 答案： （亦可以写成等）解析：设与的交点为，显然，根据三垂线定理，与都垂直于，所以我们所求的角即为不妨设该正方体的棱长为，可以求得,由余弦定理可得，故二面角等于。2013A 4、已知正三棱锥的底面边长为，高为，则其内切球半径为 答案：解析：如图，设球心在面和面内的射影分别是和，中点为，内切球半径为，则共线，共线，且，,所以,解得2013B 4、已知正三棱锥的底面边长为1，高为，则其内切球半径是 答案：解析：如图，设球心在面和面内的射影分别是和，中点为，内切球半径为，则共线，共线，且，,所以,解得2012A 5、设
6、同底的两个正三棱锥和内接于同一个球.若正三棱锥的侧面与底面所成角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值为 答案：解析：如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,则,从而,因为所以即所以,故2012B 6、长方体中，,是的中点，是的中点.若异面直线与所成的角为、距离为，则 答案：解析：如图，取的中点，则，故为异面直线与所成的角，即。因为面,，由三垂线定理得。又，所以，即。又面面，所以点到面的距离等于点到的距离。在中，在点到的距离为，从而点到的距离为，所以。（本题还可以建立空间直角坐标系来接）2011A 6、在
7、四面体中，已知,则在四面体的外接球的半径为 答案： 解析：设四面体的外接球球心为，则在过的外心且垂直于平面的垂线上由题设知，是正三角形，则点为的中心设分别为的中点，则在上，且，因为，设与平面所成角为，可求得在中，由余弦定理得，故四边形的外接圆的直径 故球的半径2010A B7、正三棱柱的条棱长相等，是的中点，二面角的平面角为，则 答案：解析：解法一：以所在直线为轴，线段中点为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则，从而，.设分别与平面、平面垂直的向量是、，则，由此可设 ，所以，即.所以 .解法二：如图， .设与交于点 则 . 从而平面 .过在平面上作,垂足为.连结,则
8、为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中，,即 .又 .2008AB 4、若三个棱长均为整数（单位：）的正方体的表面积之和为，则这三个正方体的体积之和为（ ）A. 或 B. C. 或 D. 答案：A解析：设这三个正方体的棱长分别为，则有，即。不妨设，从而，故，只能取9、8、7、6 若，则，易知，得一组解若， 则，但，即，从而或5若，则无解；若，则无解因此c=8时无解若，则，有唯一解，若，则，此时，即。故，但，所以，此时无解综上，共有两组解或，体积为（cm3）或（cm3）。2008A B12、一个半径为的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁
9、的面积为 答案： 解析：如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面/平面，与小球相切于点，则球心为正四面体的中心，垂足为的中心因，故，从而记此时小球与面的切点为，连接，则考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图2记正四面体的棱长为，过作于因，有，故小三角形的边长小球与面不能接触到的部分的面积为（如图2中阴影部分） 又，所以由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为2007*1、如图，在正四棱锥中，则二面角的平面角的余弦值为 A. B. C. D. 答案：B解析：如图，在侧面PAB内，作
10、AMPB，垂足为M。连结CM、AC，则AMC为二面角APBC的平面角。不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。在AMC中，由余弦定理得。2007*9、已知正方体的棱长为，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体表面相交所得到的曲线的长等于 答案：解析：球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面和面上。在面上，交线为弧且在过球心的大圆上，因为，则。同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条。在面上，交线为弧且在距球心为的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以弧的长为。这样的弧也有三条。于
11、是，所得的曲线长为。2006*4、在直三棱柱，。已知与分别为和的中点，和分别为线段和上的动点（不包含端点）。若，则线段的长度的取值范围为 A. B. C. D. 答案：A解析：建立直角坐标系，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，则（），（）。所以，。因为，所以，由此推出 。又，从而有 。2006*10、底面半径为的圆柱形容器里放有四个半径为的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 答案：解析：设四个实心铁球的球心为，其中为下层两球的球心，分别为四个球心在底面的射影。则ABCD是一个边长为的正方形。所以注水高为。故应注水。2005*
12、4、如图，正方体，任作平面与对角线，使得平面与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为，周长为，则 A. 为定值，不为定值 B. 不为定值，为定值 C. 为定值，为定值 D. 不为定值，不为定值答案：B解析：将正方体切去两个正三棱锥和后，得到一个以平行平面与为上下底面的几何体，的每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形的每一条边分别与的底面上的一边平行，将的侧面沿棱剪开，展平在一张平面上，得到一个平行四边形,而多边形的周界展开后便成为一条与平行的线段（如图中）,显然，故为定值。当位于中点时，多边形为正六边形，当位于时，多边形为正三角形，可以求得周长为定值时，它们的面积分别为与，即
13、不为定值。2005*10、如图，四面体的体积为，且满足，则 答案：解析：即又等号当且仅当时成立，这时面，.2004*6、顶点为的圆锥的轴截面是等腰三角形，为底面圆周上的点，是底面圆周内的点，为底面圆心，垂足为，垂足为，且，为的中点，则当三棱锥的体积最大时，的长为 A. B. C. D. 答案：D解析：，得，得面，所以,面面，得面，所以，又，所以面即是三棱锥的高而的面积在时取得最大值此时，得,又解：连线如图，由C为PA中点，故，而 ()记，则，又所以令知，当，即时，取得最大，即三棱锥的体积取得最大时， 所以。2004*9、如图，正方体中，二面角的度数是 答案：解析：解：不妨设，作，则，可得所以所
14、以,代入数据可得，得2003*6、在四面体中，设，直线与的距离为，夹角为，则四面体的体积等于 A. B. C. D. 答案：B解析：如图，把四面体补成平行六面体，则此平行六面体的体积为，而四面体的体积为故选B2003*11、将八个半径都为的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于为 答案：解析：如图，记是下层四个球的球心，是上层的四个球心每个球心与其相切的球的球心距离为在平面上的射影是一个正方形是把正方形绕其中心旋转而得设的射影为，则,.故所求圆柱的高为2002*9、如图，点分别是四面体顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组
15、（）有 个。答案：解析：首先，在每个侧面上除点外尚有五个点，其中任意三点组添加点后组成的四点组都在同一个平面，这样三点组有个，三个侧面共有个。其次，含的每条棱上三点组添加底面与它异面的那条棱上的中点组成的四点组也在一个平面上，这样的四点组有个，共有个。2001*2、命题1：长方体中，必存在到各顶点距离相等的点; 命题2：长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题3：长方体中，必存在到各面距离相等的点. 以上三个命题中正确的有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个答案：B解析：可以借助长方体的外接球、与棱相切的球、与面相切球的存在与否判断可得只有命题1对 2001*9、正方体的棱长为，则直线与
16、的距离是 答案：解析：作正方体的截面，则面设与交于点，在面内作，为垂足，则为与的公垂线显然等于直角三角形斜边上高的一半，即2000*11、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为，则这个球的体积是_.答案：解析：取球心与任一棱的距离即为所求球的半径如图，由得，可得.1999*4、给定下列两个关于异面直线的命题：命题：若平面上的直线与平面上的直线为异面直线，直线是与的交线，那么，至多与,中的一条相交；命题：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。那么，( )A.命题正确，命题不正确 B.命题正确，命题不正确C.两个命题都正确 D.两个命题都不正确答案：D解析：作一个长方
17、体，选定好直线和平面，即可判断命题、命题均不正确。1999*12、已知三棱锥的底面是正三角形，点在侧面上的射影是的垂心，二面角的平面角等于, 。那么三棱锥的体积为_答案：解析：由题设，面.作于.由三垂线定理可知，.故面.设在面内射影为，则面.由三垂线定理之逆定理，可知于.同理，.故为的垂心.又因为是等边三角形，故为的中心，从而.因为，是在面上的射影，由三垂线定理，.所以， 是二面角的平面角.故，又，.又，故. 所以，.1998*5、设分别是正四面体的棱的中点，则的大小是( ) A. B. C. D. 答案：D解析：取中点，则，于是在平面上设，则分别为中点，且，得，,所以是二面角的平面角设，则，
18、故选D1998*12、在中，,，是的中点，将沿折起，使两点间的距离为，此时三棱锥的体积等于_.答案：解析：由已知，得，由为等边三角形，取中点，则，交于，则，折起后，由，知，. ,于是又，得平面，即是三棱锥的高，,所以，。1997*2、如图，正四面体中，在棱上，在棱上，使得，记其中表示与所成的角，表示与所成的角，则（ ）A. 在上单调增加 B. 在上单调减少C. 在上单调增加，而在上单调减少 D. 在上为常数答案：D解析：作交于，连，则，故故，但，故故为常数选D1997*6、如果空间三条直线两两成异面直线，那么与都相交的直线有（ ）A.条 B.条 C.多于的有限条 D. 无穷多条答案：D解析：在
19、上取三条线段，作一个平行六面体，在上取线段上一点，过作一个平面，与交于、与交于，则，于是不与平行，但与共面故与相交由于可以取无穷多个点故选D1997*10、已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰三角形，设四点均在以为球心的某个球面上，则点到平面的距离为 答案：解析：，可得在面上的射影为中点，所以平面所以上任意一点到的距离相等又，在面内作的垂直平分线与交于，则为的外接球球心， ，即为与平面的距离1996*6、高为的圆台内有一个半径为的球, 球心在圆台的轴上. 球与圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一个半径为的球, 使得球与球、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球, 圆台内最多还能放入半径为
20、的球的个数是_.A. B. C. D. 答案：B解析：与下底距离为，与距离为，与轴距离为，问题转化为在以为半径的圆周上，能放几个距离为的点？右图中，由，即，即此圆上还可再放下个满足要求的点故选B1996*10、已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该六面体的最短棱的长为, 则最远的两个顶点间的距离是_答案：解析：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为，侧棱为取中点，则，E，故是二面角的平面角由，作平面棱交于，则为二面角的平面角，由，得 ，即，从而，即最远的两个顶点距离为1995*6、 设是正三棱锥底面三角形的中心，过的动平面与交于，与，
21、的延长线分别交于，则和式（ ）A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值C.既有最大值又有最小值，两者不等 D.是一个与面无关的常数答案：D解析：到面的距离相等设，则 (其中为与各侧面的距离) 又(其中为与面的夹角) 为定值故选D1995*8、 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为_答案：解析：设球半径为，其内接圆锥的底半径为，高为，作轴截面，则 ，即所求比为1994*5、在正棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 答案：A解析：设相邻两侧面所成的二面角为，易得大于正n边形的一个内角，当棱锥的高趋于0时，趋于，故选A1994*11、已知一平面与一
22、正方体的条棱的夹角都等于，则_ _答案：解析：12条棱只有三个方向，故只要取如图中与平面所成角即可设，则，平面，被平面、三等分于是1993*13、（本题满分20分）三棱锥中，侧棱两两互相垂直，为三角形的重心，为的中点，作与平行的直线证明：(1) 与相交；(2)设与的交点为，则为三棱锥的外接球球心证明： 证明： ，故共面 面，即面，面 在面内与相交，故直线与相交 两两互相垂直， 面， ， ， 为的重心， 取中点，连则，所以平面四边形是矩形 ，由三线合一定理，知同理，即以为球心为半径作球则均在此球上即为三棱锥的外接球球心1992*3、设四面体四个面的面积分别为，它们的最大值为，记，则一定满足( )
23、A. B. C. D. 答案：A解析：，故，又当与最大面相对的顶点向此面无限接近时，接近，故选A1992*9、从正方体的棱和各个面上的对角线中选出条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则的最大值是_答案：解析：正方体共有8个顶点，若选出的条线两两异面，则不能共顶点，即至多可选出4条，又可以选出4条两两异面的线(如图)，故所求的最大值为41992*14、 (本题满分20分) 设是两条异面直线，在上有 三点，且 ，过分别作的垂线，垂足依次是 ，已知，求与的距离解析：过作平面，作于，与确定平面，作，垂足为，则，且与的距离 连，则由三垂线定理之逆，知都 ，当在同侧时:，所以，得当不全在同侧时
24、，所以无实解综上，与距离为1991*1由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为( )A B C D答案：B解析：每个正方形的顶点对应着一个正三角形故选B1991*13设正三棱锥的高为，为的中点，过作与棱平行的平面，将三棱锥截为上、下两部分，试求此两部分的体积比 解析：是中点，延长与交于点，则为中点，连，由于在平面内，故延长与相交，设交点为题中截面与面交于过的直线，分别在上由于截面，在面中，被直线截，故，但，,所以而截面分此三棱锥所成两部分可看成是有顶点的两个棱锥及故二者体积比为1990*15、设棱锥的底面为正方形，且，如果的面积为，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径。解析：取中点，则，
25、所以平面， 平面平面 平面 平面平面 ，故平面， 平面平面， 平面，平面平面设，则，取的内切圆圆心，作、，由于平面与平面、均垂直，则分别与平面、垂直从而以此内切圆半径为半径的球与平面、都相切， 设此球的半径为，则等号当且仅当，即时成立作，由于，故平面，故球心与平面的距离为，当，即与平面的距离，同理与平面的距离故球是放入此棱锥的最大球 所求的最大球半径为1989*4.以长方体个顶点中任意个为顶点的所有三角形中，锐角三角形的个数为（ ）A. B. C. D.答案：C解析：以不相邻的4个顶点为顶点的四面体的8个面都是锐角三角形其余的三角形都不是锐角三角形选C1989*14(本题满分20分)已知正三棱
26、锥的高，底面边长为，过点向其所对侧面作垂线，垂足为O，在上取一点，使，求经过点且平行于底面的截面的面积解析：正三棱锥SABC的高为SO，故AOBC，设AO交BC于E，连SE则可证BC面AES故面AES面SBC由AO面SBC于O，则AO在面AES内，O在SE上AO与SO相交于点F ABC为正三角形，AB=6，故AE=3，OE= SO=3， tanOES=，E=60 OE=AEcos60=作OG平面ABC，则垂足G在AE上OG=OEsin60= =8， =，PH=2设过P与底面平行的截面面积为s，截面与顶点S的距离=32=1 SABC=62=9 =()2，故s=1988*10、（本题满分15分）长
27、为，宽为的矩形，以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周，求得到的旋转体的体积。解析：过轴所在对角线中点作交边、于，作于，则旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥，底面半径其体积同样，旋转所得旋转体的体积为其重叠部分也是两个圆锥，由，其体积为 所求体积为1987*8.现有边长为的三角形两个，边长为的三角形四个，边长为的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成 个四面体(江西供题)来源:21世纪教育网答案：解析：用四个三角形拼成四面体，每种边长至少要在两个三角形中出现因此以上三种三角形如果要用，就用偶数个由于第类边长为的三角形与第类边长为的三角形都是直角三角形，而第类边长为的三角形为钝角三角形因此，用
28、个后两种三角形都不能单独拼成四面体(四个面全等的四面体是等腰四面体，其各面都是锐角三角形)情况：4个三角形中有两个类三角形，如图，取两个类三角形，则斜边上的高且，则于是(*)若再取两个类三角形时，由于，满足(*)式，故可以构成四面体若再取两个类三角形时，由于，不满足(*)式，故不可以构成四面体情况：两个类，两个类此时取，于是斜边上的高且，则于是由于，不满足(*)式，故不可以构成四面体 只能构成1个四面体1986*4、如果四面体的每一个免都不是等腰三角形，那么其长度不等的棱的条数最少为（ ）A. B. C. D.答案：A解析：不妨取等腰四面体，其棱长至多2种长度棱长少于3时，必出现等腰三角形选A
29、1986*7、在底面半径为的圆柱内，有两个半径也为的球面，其球心距为，若作一平面与这二球面相切，且与圆柱面交成一个椭圆，则这个椭圆的长轴长与短轴长之和是 答案：解析：易得，于是椭圆长轴为13，短轴为12所求和为251985*2、为经过抛物线焦点的任一弦，为在准线上的射影，绕一周所得旋转面面积为，以为直径的球面积为，则下面结论中，正确的是( )A B C D有时，有时，有时答案：解析：设与轴夹角为，且，则，则， ，当且仅当时等号成立选C1985*二、如图，在正方体中，是的中点，在上，且.求平面与地面所成的二面角。解析：设，则，故，而在平面上的射影面积为，即所求角为又解：设平面与平面交于，(在上)
30、，则由平面平面，得于是，延长、交于，则为截面与平面的公共点，故为所求二面角的棱，作于，则平面作，连则为所求二面角的平面角 ，即所求角=1984*8、 若四面体的一条棱长是，其余棱长都是，体积是，则函数在其定义域上（ ）A是增函数但无最大值 B是增函数且有最大值 C不是增函数但无最大值 D不是增函数但有最大值答案：D解析：易得定义域为，当时，最大，故选D1984*二、(本题满分10分)已知两条异面直线所成的角为，它们的公垂线的长度为，在直线上分别取点，设，求 (在直线上，在直线上)解析：(课本公式，有证明过程)1983*11、一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为的正三角形，这样两个
31、多面体的内切球半径之比是一个既约分数，那么积是 答案：解析：此六面体可看成是由两个正四面体粘成每个正四面体的高，于是，利用体积可得，同样，正八面体可看成两个四棱锥粘成，每个四棱锥的高，又可得， 1983*四、(本题满分16分)在六条棱长分别为的所有四面体中，最大体积是多少？证明你的结论。解析：边长为2的三角形，其余两边可能是： 3，3； 3，4； 4，5； 5，5按这几条棱的组合情况，以2为公共棱的两个侧面可能是： ，； ，； ，先考虑较特殊的情况：由于32+42=52，即图中平面，；情况：由于此情况的底面与情况相同，但不与底垂直，故高，于是得情况：高，底面积为 最大体积为1982*9、(本题16分)已知四面体中，,（）, （）,以为棱的二面角的平面角为求证：证明：在上取点，使，在面、内分别作，分别交于，连则为二面角的平面角即由，知，由，得，由，得代入数据得 1981*5、 给出长方体，下列12条直线：， ，中有多少对异面直线？（ ）A对 B对 C对 D对答案：A解析：每条面上的对角线都与5条面上的对角线异面故共有对选A
