1、F单元平面向量 F1平面向量的概念及其线性运算10F12013江苏卷 设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_10.解析 如图所示，()，又12，且与不共线，所以1，2，即12.17C5，C8，F12013四川卷 在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC).(1)求sin A的值；(2)若a4 ，b5，求向量在方向上的投影17解：(1)由cos(AB)cos Bsin(AB)sin(AC)，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B.则cos(ABB)，即cos A.
2、又0Ab，则AB，故B.根据余弦定理，有(4 )252c225c，解得c1或c7(负值舍去)故向量在方向上的投影为|cos B.12F12013四川卷 如图16，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_.图16122解析 根据向量运算法则，2，故2.14F1和F32013重庆卷 在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3，1)，(2，k)，则实数k_144解析 因为(1，k1)，且，所以0，即311(k1)0，解得k4.F2平面向量基本定理及向量坐标运算14F22013北京卷 已知点A(1，1)，B(3，0)，C(2，1)若平面区域D由所有满足(12，01)的点P组成，则D的面积为_
3、143解析 设P(x，y)，(x1，y1)，(2，1)，(1，2)，解得又12，01，此不等式组表示的可行域为平行四边形，如图所示，由于A(3，0)，B(5，1)，所以|AB|，点B(5，1)到直线x2y0的距离d，其面积S3.8F22013湖南卷 已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A.1 B.C.1 D.28C解析 由题可知ab0，则ab，又|a|b|1，且|cab|1，不妨令c(x，y)，a(1，0)，b(0，1)，则(x1)2(y1)21.又|c|，故根据几何关系可知|c|max11，选C.12F22013天津卷 在平行四边形ABCD中，AD1
4、，BAD60，E为CD的中点若1，则AB的长为_12.解析 由题意得，所以()2212|11，解之得|或0(舍去)14F2，F32013新课标全国卷 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD中点，则_142解析 如图建立平面直角坐标系，则(1，2)，(2，2)，所以2.图1621F2、F3、H3、H5和H82013重庆卷 如图15所示，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外求PPQ的面积S的最大值，并写出对
5、应的圆Q的标准方程21解：(1)由题意知点A(c，2)在椭圆上，则1，从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4，4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当xx1时取最小值，又因为x1(4，4)，所以上式当x2x0时取最小值，所以x12x0，且|QP|28x.由对称性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|2 |x0|.当x0时，PPQ的面积S取到最大值2 .此时对应的圆Q
6、的圆心坐标为Q(，0)，半径|QP|，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x)2y26，(x)2y26.F3平面向量的数量积及应用12F3、H82013全国卷 已知抛物线C：y28x与点M(2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点若0，则k()A. B.C. D212D解析 抛物线的焦点坐标为(2，0)，设直线l的方程为xty2，与抛物线方程联立得y28ty160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y216，y1y28t，x1x2t(y1y2)48t24，x1x2t2y1y22t(y1y2)416t216t244.(x12，y12)(x22，y22)x1x22(x1
7、x2)4y1y22(y1y2)4416t2841616t416t216t44(2t1)20，解得t，所以k2.14F2，F32013新课标全国卷 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD中点，则_142解析 如图建立平面直角坐标系，则(1，2)，(2，2)，所以2.图162F32013陕西卷 已知向量a(1，m)，b(m，2)，若ab，则实数m等于()A B.C或 D02C解析 因为ab，且a(1，m)，b(m，2)，可得，解得m或.15F32013山东卷 在平面直角坐标系xOy中，已知(1，t)，(2，2)若ABO90，则实数t的值为_155解析 由题意得(3，2t)，又ABO90，232(2
8、t)0，解得t5.9F32013辽宁卷 已知点O(0，0)，A(0，b)，B(a，a3)若OAB为直角三角形，则必有()Aba3Bba3C(ba3)ba30D|ba3|ba309C解析 由题意知当三角形ABC为直角三角形时，分为两类，OAB，OBA分别为直角，当OAB为直角时ba3，当OBA为直角时，0，则(a，a3)(a，a3b)0，所以ba30，所以(ba3)ba30，故选C.7F32013湖北卷 已知点A(1，1)，B(1，2)，C(2，1)，D(3，4)，则向量在方向上的投影为()A. B. C D7A解析 (2，1)，(5，5)，|cos ，.3F32013全国卷 已知向量m(1，1
9、)，n(2，2)，若(mn)(mn)，则()A4 B3 C2 D13B解析 (mn)(mn)(mn)(mn)0m2n2，所以(1)212(2)222，解得3.13F32013安徽卷 若非零向量a，b满足|a|3|b|a2b|，则a与b夹角的余弦值为_13解析 设|b|1，则|a|3，|a2b|3，两端平方得a24ab4b29，即912cosa，b49，解得cosa，b.16F3，C42013陕西卷 已知向量a，b(sin x，cos 2x)，xR，设函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在上的最大值和最小值16解： f(x)(sin x，cos 2x)cos xsin
10、 xcos 2xsin 2xcos 2xcos sin 2xsin cos 2xsin .(1)f(x)的最小正周期为T，即函数f(x)的最小正周期为.(2)0x，2x.由正弦函数的性质，当2x，即x时，f(x)取得最大值1.当2x，即x0时，f(0)，当2x，即x时，f，f(x)的最小值为.因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是.13F32013新课标全国卷 已知两个单位向量a，b的夹角为60，cta(1t)b，若bc0，则t_132解析 bcbta(1t)btab(1t)b2t(1t)1t0，即t2.21F2、F3、H3、H5和H82013重庆卷 如图15所示，椭圆的中心为原点O，长轴
11、在x轴上，离心率e，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，A两点，|AA|4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，P，过P，P作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外求PPQ的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程图1521解：(1)由题意知点A(c，2)在椭圆上，则1，从而e21.由e得b28，从而a216.故该椭圆的标准方程为1.(2)由椭圆的对称性，可设Q(x0，0)，又设M(x，y)是椭圆上任意一点，则|QM|2(xx0)2y2x22x0xx8(x2x0)2x8(x4，4)设P(x1，y1)，由题意，P是椭圆上到Q的距离最小的点，因此，上式当
12、xx1时取最小值，又因为x1(4，4)，所以上式当x2x0时取最小值，所以x12x0，且|QP|28x.由对称性知P(x1，y1)，故|PP|2y1|，所以S|2y1|x1x0|2 |x0|.当x0时，PPQ的面积S取到最大值2 .此时对应的圆Q的圆心坐标为Q(，0)，半径|QP|，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x)2y26，(x)2y26.14F1和F32013重庆卷 在OA为边，OB为对角线的矩形中，(3，1)，(2，k)，则实数k_144解析 因为(1，k1)，且，所以0，即311(k1)0，解得k4.F4单元综合10F42013福建卷 在四边形ABCD中，(1，2)，(4，2
13、)，则该四边形的面积为()A. B2 C5 D1010C解析 1(4)220，面积S|5，故选C.10F42013广东卷 设a是已知的平面向量且a0，关于向量a的分解，有如下四个命题：给定向量b，总存在向量c，使abc；给定向量b和c，总存在实数和，使abc；给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使abc；给定正数和，总存在单位向量b和单位向量c，使abc.上述命题中的向量b，c和a在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是()A1 B2 C3 D410B解析 作a，b，如图(1)，连接AB，只要c即可，故对；是对的，因为b和c不共线，所以可以作为一组基底来表示平面内任一向量；是错的，如图(2)，作a，b，c，则|，即点C的轨迹是圆(去掉和a共线的两个点)，过点A作OB的平行线，则可能与圆无交点，即可能无法将a沿，方向分解；不一定对，如图(3)，作a，b，c，则点B，C的轨迹是圆(去掉和a共线的两个点)，但不一定有abc.综上，选B.17F42013浙江卷 设e1，e2为单位向量，非零向量bxe1ye2，x，yR.若e1，e2的夹角为，则的最大值等于_172解析 2.
