1、第四节第四节 事件的独立性事件的独立性一、两个事件独立性一、两个事件独立性二、二、多多个事件独立性个事件独立性三、例题讲解三、例题讲解四、小结、作业四、小结、作业 -)()|(BPABp一般地，如果)()|(BPABp).|()|()(.12241ABPABPBPBA，次取到白球”求“第二“第一次取到白球”，个次，每次个黑球，有放回连取个白球、个袋子中有)|(ABp)(Bp.A有影响对事件B发生的概率没发说明：事件生与否)(ABp有引例引例64?B什么关系与A)()(BPAP解解)|(ABp -.)()()(独立，相互独立，简称，则称事件如果满足等式，是两事件，设BABABPAPABPBA说明
2、说明 A与与B 独立独立是指是指其中其中一个事件一个事件 发生的概率发生的概率与与另一事件另一事件是否发生是否发生 无关无关一、两个事件的独立性一、两个事件的独立性 实际中如何判断独立？实际中如何判断独立？二者之间没有联系或联系甚微二者之间没有联系或联系甚微1、定义、定义 -相互独立，BA2、几个重要定理、几个重要定理定理定理1) 0)()()(APBPABP)0)()()(BPAPBAP定理定理2 若若A、B 相互独立，则下列各对事件相互独立，则下列各对事件.也相互独立与，与，与BABABA的逆事件独立与另一事件独立，则其中一个事件与若BA结论结论 -独立，则、思考：若BA)|(BAP)|(
3、BAP)(AP)(AP)|(BAP)|(BAP1 -，等式是三个事件，如果满足，设定义)()()()()()()()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA1 1、三个事件三个事件两两两两独立的定义独立的定义两两相互独立，则称事件CBA二、多个事件相互独立的定义二、多个事件相互独立的定义 -注意注意三个事件三个事件相互相互独立独立三个事件三个事件两两两两独立独立2 2、三事件三事件相互相互独立的定义独立的定义，等式是三个事件，如果满足，设定义)()()()()()()()()()()()()(CPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA相互独立，则称事件C
4、BA -伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体, ,其第一面染成其第一面染成红色红色, ,第第二面染成二面染成白色白色 , ,第三面染成第三面染成黑色黑色 , ,而第四面同时而第四面同时染上染上红、白、黑红、白、黑三种颜色三种颜色. .现以现以A，B，C 分别记分别记投一次四面体出现红投一次四面体出现红,白白,黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件,问问A，B，C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红由于在四面体中红,白白,黑分别出现两面黑分别出现两面 因此因此，42)()()(CPBPAP又由题意知又由题意知,41)()()( ACPBCPABP -故有故有因此因此
5、 A、B、C 不相互独立不相互独立. 414141CPAPACPCPBPBCPBPAPABP 则三事件则三事件A, , B, C 两两独立两两独立. 由于由于41)( ABCP)()()(81CPBPAP -，都有，其中任意一组事件个事件，如果对于是，设)2()2(2121nsAAAnnAAAisiin推广)()()()(2121siiiisiiAPAPAPAAAP.,21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称nAAAn个事件个事件相互相互独立独立n个事件个事件两两两两独立独立等式同时成立？多少个个事件相互独立，应有思考：要使 nnnnnCC32C12nn -相互独立，则，若)2(21nAA
6、An推论：推论：个事件独立得的成它们的对立事件，所将其中任意多个事件换n)2(也相互独立它们中任何一部分事件) 1 (.)()3(立的事件的事件组是相互独后所得的不含相同交、并、求逆事件经某种运算独立与独立，则、例如：设DCABDCBA -三、例题讲解三、例题讲解，则满足，设)()()()(CPBPAPABCPCBA独立，独立，BABCBAA)()(以上结论均不正确独立与)()(DCABCD例例1 1例例2 2独立的是件则下列事件中一定与事的事件，且小于是任意两个概率大于零，ABA1)( )()(BABABBAABADBABAC)()()(C - 例例3 某车间有某车间有3台车床，在台车床，在
7、1小时内小时内不需要不需要工人维护工人维护的概率依次为的概率依次为0.9，0.8，0.85，求，求1小时内小时内3台车床至少台车床至少有一台不需要维护的概率有一台不需要维护的概率. 解解记记 Ai=第第 i 台不需要维护台不需要维护 i =1 , 2 , 3)(321AAAP)(1321AAAP)()()(1321APAPAP997. 015. 02 . 01 . 01 -解解设设 Ai=第第i个投保人发生意外个投保人发生意外 i=1 , 2 , n)() 121nAAAP)(121nAAAP时，当2199. 01)2n说明：说明：小概率事件在大量重复后几乎必然发生小概率事件在大量重复后几乎必
8、然发生绝不能轻视小概率事件绝不能轻视小概率事件 例例4 （保险赔付）设有（保险赔付）设有n个人向保险公司购买人身意个人向保险公司购买人身意外保险（保险期外保险（保险期1年），假定投保人在年），假定投保人在1年内发生意外年内发生意外的概率为的概率为0.01，求：（，求：（1）该保险公司）该保险公司赔付赔付的概率；的概率； （2）多大的）多大的n使得以上的赔付概率超过使得以上的赔付概率超过1/2.16.68499lg22lgnn99. 01 -例例5 设有设有n个个元件分别依元件分别依串联串联、并联并联两种情形组成两种情形组成系统系统1和和2，已知，已知每个元件每个元件正常工作的概率为正常工作的概
9、率为p，分，分别求系统别求系统1、2的可靠性的可靠性.12n12n系统系统1系统系统2解解串联串联：niiAi，个元件正常工作”“第设事件21)(21nAAAPnp并联并联：)(21nAAAPnp)1 (1)(121nAAAP -串联串联：)(21nAAAPnp并联并联：)(21nAAAPnp)1 (1npp)1 (1)1 (11ppCpnnnkknknppC)1 ( 正数nnpp)1 (，1)1 (nnpp，即nnpp)1 (1np)1 ( 结论：并联可靠性高于串联结论：并联可靠性高于串联可靠性：可靠性： -思考思考：两事件：两事件独立独立与两事件与两事件互斥互斥的关系的关系两事件独立两事件
10、独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥ABAB21)(,21)( BPAP若若AB)(ABPA、B独立但不互斥独立但不互斥例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系)()(BPAP41 -AB)()()(BPAPABP 故故A、B互斥但不独立互斥但不独立. 0)(ABPAB则，412121)()(BPAP而互斥与独立是没有关系的两个互斥与独立是没有关系的两个“关系关系”独立一般不互斥独立一般不互斥 - 设设A、B为为互斥互斥事件，且事件，且 P(A)0，P(B)0，下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：根据对独立与互斥理解、掌握，根据对独立与互斥理解、掌握，(
11、A) P(B|A)0 (B) P(A|B)=P(A)(C) P(A|B)=0 (D) P(AB)=P(A)P(B) 设设A、B为为独立独立事件，且事件，且 P(A)0，P(B)0，下面四个结论中，正确的是：下面四个结论中，正确的是：(A) P(B|A)0 (B) P(A|B)=P(A)(C) P(A|B)=0 (D) P(AB)=P(A)P(B)请你做个小练习请你做个小练习. -小结小结成立个事件独立的定义，需（、12)21nnnn论、几个重要的定理、推2的判断、实际应用中独立事件3没有联系或联系甚微、独立与互斥的关系4 事件事件独立独立性是概率论中的一个性是概率论中的一个重要概念重要概念.
12、不难不难发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，发现，当事件相互独立时，乘法公式变得十分简单，因而也就特别重要和有用因而也就特别重要和有用. - 练习练习 某种仪器由某种仪器由三个部件三个部件组装而成，假设各部件组装而成，假设各部件质量质量互不影响互不影响且优质品率依次为且优质品率依次为0.8,0.7,0.9.已知如果已知如果3个个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有有1个个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0.2,；如果有；如果有2个个为为0.6；如果；如果3个个都不是都不是为为0.9.
13、 求求(1)仪器的不合格率仪器的不合格率; ; (2)如果已发现一台仪器不合如果已发现一台仪器不合格，问它有格，问它有1 1个部件不是优质品个部件不是优质品的概率多大？的概率多大？设设 B = 仪器不合格仪器不合格 ，解解Ai=仪器上有仪器上有i个部件不是优质品个部件不是优质品, , i=0，1, ,2, ,3A0 ，A1 ，A2 ，A3 构成完备事件组构成完备事件组 -P(B)=P(A0)P(B |A0)+ P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B |A2)+ P(A3)P(B |A3)P(B |A0)=0, ,P(A0)=0.80.70.9=0.504P(B|A1)=0.2, ,P(
14、B |A2)=0.6, , P(B |A3)=0.9, ,P(A1)=0.20.70.9+0.80.30.9+0.80.70.1=0.398P(A2)=0.20.30.9+0.20.70.1+0.80.30.1=0.092P(A3)=0.20.30.1=0.006P(B)=00.054+0.3980.2+0.0920.6+0.0060.9=0.1402所以所以 B=BA0 +BA1 +BA2 +AB3 -P(B)=00.054+0.3980.2+0.0920.6+0.0060.9=0.1402P(A1|B)=)()(1BPBAP3011)()()|()(kkkBAPBPBAPBP14027961402. 02 . 0398. 0 -
