1、 1 第四节第四节 基本不等式基本不等式 【最新考纲】【最新考纲】 1.了解基本不等式的证明过程了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式会用基本不等式 解决简单的最大解决简单的最大(小小)值问题值问题 1基本不等式基本不等式 aba b 2 (1)基本不等式成立的条件：基本不等式成立的条件：a0，b0 (2)等号成立的条件：当且仅当等号成立的条件：当且仅当 ab 时等号成立时等号成立 (3)其中其中a b 2 称为正数称为正数 a，b 的的算术平均数算术平均数， ab称为正数称为正数 a，b 的的几何平均数几何平均数 2算术平均数与几何平均数算术平均数与几何平均数 设设 a0，b0，则则
2、a，b 的算术平均数为的算术平均数为a b 2 ，几何平均几何平均数为数为 ab， 基本不等式可叙述为：基本不等式可叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均 数数 3利用基本不等式求最大、最小值问题利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果如果 x，y(0，)，且且 xyP(定值定值) 那么当那么当 xy 时时，xy 有最小值有最小值 2 P.(简简记：记： “积定和最小积定和最小”) (2)如果如果 x，y(0，)，且且 xyS(定值定值) 2 那么当那么当 xy 时时，xy 有最大值有最大值S 2 4 .(简记：简记：“和定积最大和定积最
3、大”) 4几个重要的不等式几个重要的不等式 (1)a2b22ab(a，bR) (2)b a a b 2(a，b 同号同号) (3)ab ab 2 2(a， ，bR) (4)a 2 b2 2 ab 2 2(a， ，bR) 1(质疑夯基质疑夯基)判断下列结论的正误判断下列结论的正误(正确的打正确的打“”“”，错误的错误的 打打“”“”) (1)函数函数 yx1 x的最小值是 的最小值是 2.( ) (2)函数函数 f(x)cos x 4 cos x， ，x 0， 2 的最小值等于的最小值等于 4.( ) (3)x0，y0 是是x y y x 2 的充要条件的充要条件( ) (4)若若 a0，则则
4、a3 1 a2的最小值为 的最小值为 2 a.( ) 答案：答案：(1) (2) (3) (4) 2设设 x0，y0，且且 xy18，则则 xy 的最大值为的最大值为( ) A80 B77 C81 D82 3 解析：解析：xy xy 2 2 18 2 2 81，当且仅当当且仅当 xy9 时等号成立时等号成立 答案：答案：C 3若若 a，bR，且且 ab0，则下列不等式中则下列不等式中，恒成立的是恒成立的是( ) Aa2b22ab Bab2 ab C.1 a 1 b 2 ab D. b a a b 2 解析：解析： a2b22ab(ab)20， A 错误 对于错误 对于 B， C 当当 a0，b
5、0)过点过点(1，1)，则则 ab 的最小值等于的最小值等于( ) A2 B3 C4 D5 解析：解析：因为直线因为直线x a y b 1(a0，b0)过点过点(1，1)，所以所以1 a 1 b 1， 所以所以 ab(ab) 1 a 1 b 2a b b a 22 a b b a 4(当且仅当当且仅当 ab2 时取等号时取等号) 答案：答案：C 5一段长为一段长为 30 m 的篱的篱笆围笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m，则这个矩形的长为则这个矩形的长为_m，宽为宽为_m 时菜园面积最时菜园面积最 4 大大 解析：解析：设矩形的长为设矩形的长为 x m，
6、宽为宽为 y m则则 x2y30，所以所以 S xy1 2x (2y)1 2 x2y 2 2 225 2 ，当且仅当当且仅当 x2y，即即 x15，y15 2 时时 取等号取等号 答案：答案：15 15 2 一种方法一种方法 基本不等式具有将基本不等式具有将“和和式式”转化为转化为“积式积式”和将和将“积式积式”转化为转化为 “和式和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用 于求代数式的最值或取值范围于求代数式的最值或取值范围 如果条件等式中如果条件等式中， 同时含有两个变量同时含有两个变量 的和与积的形式的和与积的形式， 就
7、可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进 行转化行转化，然后通过解不等式进行求解然后通过解不等式进行求解 两个变形两个变形 基本不等式的变形基本不等式的变形: 1.a 2 b2 2 ab 2 2 ab(a，bR，当且仅当当且仅当 ab 时取等号时取等号)； 2. a2b2 2 a b 2 ab 2 1 a 1 b (a0，b0，当且仅当当且仅当 ab 时时 取等号取等号) 三点注意三点注意 5 1使用基本不等式求最值使用基本不等式求最值， “一正、二定、三相等一正、二定、三相等”三个条件缺三个条件缺 一不可一不可 2在运用基本不等式时在运用基本不等
8、式时，要特别注意要特别注意“拆拆”“拼拼” “” “凑凑”等技巧，等技巧， 使其满足基本不等式中使其满足基本不等式中“正正” “” “定定” “” “等等”的条件的条件 3多次使用基本不等式时多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能够保证等号一定要注意每次是否能够保证等号 成立成立，并且要注意取等号的条件的一致性并且要注意取等号的条件的一致性 一一、选择题、选择题 1已知已知 x1，则函数则函数 yx 1 x1的最小值为 的最小值为( ) A1 B0 C1 D2 解析：解析：由于由于 x1，则则 x10，所以所以 yx 1 x1 (x1) 1 x1 12 （x1） 1 x1 11，当且仅当当
9、且仅当 x1 1 x1， ，由于由于 x 1，即当即当 x0 时时，上式取等号上式取等号 答案：答案：C 2 (2015 陕西卷陕西卷)设设 f(x)ln x， 0q 6 解析：解析：因为因为 ba0，故故a b 2 ab.又又 f(x)ln x(x0)为增函数为增函数， 所以所以 f ab 2 f( ab)，即即 qp. 又又 r1 2(f(a) f(b)1 2(ln a ln b)ln abp. 答案：答案：B 3设设 a0，b0.若若 3是是 3a与与 32b的等比中项的等比中项，则则2 a 1 b的最小值 的最小值 为为( ) A8 B4 C1 D.1 4 解析：解析：由题意可知由题意
10、可知 33a32b3a 2b， ，即即 a2b1. 因为因为 a0，b0，所以所以 2 a 1 b 2 a 1 b (a2b) a b 4b a 42 a b 4b a 48，当且仅当当且仅当a b 4b a ，即即 a2b1 2时取 时取“” 答案：答案：A 4(2017 郑州外国语学校郑州外国语学校高三一模高三一模)若若 ab1，P lg alg b， Q1 2(lg a lg b)，Rlg ab 2 ，则则( ) AR1，lg alg b0，1 2(lg a lg b) lg alg b， 即即 QP.a b 2 ab，lga b 2 lg ab1 2(lg a lg b)Q，即即 7
11、RQ，P0)若若 mn， 则则 ab 的最大值为的最大值为_ 解析：解析：依题意得依题意得 2a1b，即即 2ab1(a0，b0)，因此因此 1 2ab2 2ab，即即 ab1 8， ，当且仅当当且仅当 2ab1 2时取等号 时取等号，因此因此 ab 的的 最大值是最大值是1 8. 答案：答案：1 8 7已知函数已知函数 f(x)x p x1(p 为常数 为常数，且且 p0)，若若 f(x)在在(1， 8 )上的最小值为上的最小值为 4，则实数则实数 p 的值为的值为_ 解析：解析：由题意得由题意得 x10，f(x)x1 p x1 12 p1，当且当且 仅当仅当 x p1 时取等号时取等号，所
12、以所以 2 p14，解得解得 p9 4. 答案：答案：9 4 8某公司一年购买某种货物某公司一年购买某种货物 400 吨吨，每次都购买每次都购买 x 吨吨，运费为运费为 4 万元万元/次次，一年的总存储费用为一年的总存储费用为 4x 万元万元，要使一年的总运费与总存要使一年的总运费与总存 储费用之和最小储费用之和最小，则则 x_吨吨 解析：解析：每次都购买每次都购买 x 吨吨，则需要购买则需要购买400 x 次次 运费为运费为 4 万元万元/次次，一年的总存储费用为一年的总存储费用为 4x 万元万元， 一年的总运费与总存储费用之和为一年的总运费与总存储费用之和为 4400 x 4x 万元万元
13、4400 x 4x160，当且仅当当且仅当 4x4 400 x 时取等号时取等号， x20 吨时吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小一年的总运费与总存储费用之和最小 答案：答案：20 9 (2015 山东卷山东卷)定义运算定义运算“ ” ： x yx 2 y2 xy (x， yR， xy0) 当 当 x0，y0 时时，x y(2y) x 的最小值为的最小值为_ 解析：解析：因为因为 x yx 2 y2 xy ，所以所以(2y) x4y 2 x2 2xy . 又又 x0， y0， 故故 x y(2y) xx 2 y2 xy 4y 2 x2 2xy x 2 2y2 2xy 2 2xy 2xy 2
14、，当且仅当当且仅当 x 2y 时时，等号成立等号成立 9 答案：答案： 2 三、解答题三、解答题 10正数正数 x，y 满足满足1 x 9 y 1. (1)求求 xy 的最小值；的最小值； (2)求求 x2y 的最小值的最小值 解：解：(1)由由 11 x 9 y 2 1 x 9 y得 得 xy36，当且仅当当且仅当1 x 9 y， ，即即 y9x18 时取等号时取等号，故故 xy 的最小值为的最小值为 36. (2)由题意可得由题意可得，x2y(x2y) 1 x 9 y 192y x 9x y 192 2y x 9x y 196 2，当且仅当当且仅当2y x 9x y ，即即 9x22y2时
15、取等号时取等号，故故 x 2y 的最小值为的最小值为 196 2. 11已知已知 x0，y0，且且 2x8yxy0，求：求：(1)xy 的最小值；的最小值； (2)xy 的最小值的最小值 解：解：x0，y0，2x8yxy0， (1)xy2x8y2 16xy， xy8， xy64.故故 xy 的最小值为的最小值为 64. (2)由由 2x8yxy，得：得：2 y 8 x 1， xy(xy) 1(xy) 2 y 8 x 10 102x y 8y x 10818. 当且仅当当且仅当2x y 8y x 时时，即即 x12，y6 时等号成立时等号成立 故故 xy 的最小值为的最小值为 18. 不等式及其
16、应用不等式及其应用 本章的主要内容是不等式的性质本章的主要内容是不等式的性质， 一元二次不等式及其解法一元二次不等式及其解法， 简简 单的线性规划问题单的线性规划问题， 基本不等式及其应用 针对不等式具有很强的工基本不等式及其应用 针对不等式具有很强的工 具性具性，应用广泛应用广泛，解法灵活的特点解法灵活的特点，应加强不等式基础知识的复习应加强不等式基础知识的复习， 不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据， 要弄清不等式要弄清不等式 性质的条件与结论； 一元二次不等式、 基本不等式是解决问题的基本性质的条件与结论； 一元二次不等式、 基本不
17、等式是解决问题的基本 工具；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练工具；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与不等式、函数与 方程三者密不可分方程三者密不可分，相互转化相互转化 强化点强化点 1 一元二次不等式的综合应用一元二次不等式的综合应用 11 (1)已知已知 f(x)是定义在是定义在 R上的奇函数 当上的奇函数 当 x0 时时， f(x)x24x，则不等式则不等式 f(x)x 的解集用区间表示为的解集用区间表示为_ (2)已知函数已知函数 f(x) x21，x0， 1，xf(2x) 的的 x 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：(1)由于由于 f(x)为为 R 上的
18、奇函数上的奇函数，所以当所以当 x0 时时，f(0)0； 当当 x0，所以所以 f(x)x24xf(x)， 即即 f(x)x24x， 所以所以 f(x) x 2 4x，x0， 0， x0， x24x，xx，可得可得 x24xx， x0 或或 x24xx， x5 或或50，ab5，则则 a1 b3的最的最 大值为大值为_ 解 析 ：解 析 ： 令令 t a1 b3 ， 则则 t2 a 1 b 3 2（a1）（）（b3）92（a1）（）（b3）9a1b3 13ab13518， 当且仅当当且仅当 a1b3 时取等号时取等号，此时此时 a7 2， ，b3 2. tmax 183 2. 答案：答案：3
19、2 角度三角度三 求参数的值或取值范围求参数的值或取值范围 3已知已知 a，b 为正实数为正实数，且且 ab1，若不等式若不等式(xy) a x b y m 对对 任意正实数任意正实数 x，y 恒成立恒成立，则实数则实数 m 的取值范围是的取值范围是( ) A4，) B(，1 C(，4 D(，4) 解析：解析：因为因为 a，b，x，y 为正实数为正实数，所以所以(xy) a x b y abay x bx y ab22 ab24，当且仅当当且仅当 ab， ay x bx y ，即即 ab，x y 时时等号成立等号成立，故只要故只要 mlg x(x0) 19 Bsin x 1 sin x 2(x
20、k，kZ) Cx212|x|(xR) D. 1 x211(x R) 解析：解析：取取 x1 2， ，则则 lg x21 4 lg x，故排除故排除 A；取；取 x3 2， ，则则 sin x1，故排除故排除 B；取；取 x0，则则 1 x21 1，排除排除 D. 答案：答案：C 2(2015 安徽卷安徽卷)已知已知 x，y 满足约束条件满足约束条件 x y0， xy40， y1， 则则 z 2xy 的最大值是的最大值是( ) A1 B2 C5 D1 解析：解析：约束条件下的可行域如图所示约束条件下的可行域如图所示，由由 z2xy 可知可知 y 2xz，当直线当直线 y2xz 过点过点 A(1，
21、1)时截距最大时截距最大，此时此时 z 最大为最大为 1. 答案：答案：A 20 3不等式不等式 4 x2 x2 的解集是的解集是( ) A，0)(2，4 B0，2)4，) C2，4) D(，2(4，) 解析：解析：当当 x20，即即 x2 时时，不等式可化为不等式可化为(x2)24，解得解得 x4； 当当 x23， ，即即2 x 1 2x1 30，即即2 x 13（2x1） 2x1 0， 故不等式可化为故不等式可化为2 x 2 2x10 且不等式且不等式1 a 1 b k ab 0 恒成立恒成立，则实数则实数 k 的的 最小值等于最小值等于( ) A0 B4 C4 D2 21 解析：解析：由
22、由1 a 1 b k ab 0 得得 k（ （ab）2 ab ， 又又（ （ab）2 ab b a a b 24(ab 时取等号时取等号)， 所以所以（ （ab）2 ab 4， 因此要使因此要使 k（ （ab）2 ab 恒成立恒成立，应有应有 k4，即实数即实数 k 的最的最 小值等于小值等于4. 答案：答案：C 6(2015 重庆卷重庆卷)若不等式组若不等式组 x y20， x2y20， xy2m0 表示的平面区域为表示的平面区域为 三角形三角形，且其面积等于且其面积等于4 3， ，则则 m 的值为的值为( ) A3 B1 C.4 3 D 3 解析：解析：作出可行域作出可行域，通过面积建立方
23、程求出参数通过面积建立方程求出参数 m 的的值作出值作出 可行域可行域， 如图中阴影部分所示如图中阴影部分所示， 易求易求 A，B， C，D 的坐标分别为的坐标分别为 A(2， 0)，B(1m，1m)，C 24m 3 ，2 2m 3 ，D(2m，0) S ABC SADB SADC 1 2 |AD| |yB yC| 1 2 (2 2m) 1m2 2m 3 (1m) 1m 2 3 4 3， ， 解得解得 m1 或或 m3(舍舍 去去) 22 答案：答案：B 二、填空题二、填空题 7已知已知 x1，则则 x 4 x1的最小值为 的最小值为_ 解析：解析：x1，x10， x 4 x1 (x1) 4
24、x1 1415， 当且仅当当且仅当 x1 4 x1即 即 x3 时等号成立时等号成立 答案：答案：5 8(2016 石家庄一模石家庄一模)若不等式组若不等式组 x y30， ykx3， 0x3 表示的区域为表示的区域为 一个锐角三角形及其内部一个锐角三角形及其内部，则实数则实数 k 的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：如图如图，作出可行域知作出可行域知，要使可行域为一个锐角三角形及其要使可行域为一个锐角三角形及其 23 内部内部，需要直线需要直线 ykx3 的斜率在的斜率在 0 与与 1 之间之间，即即 k(0，1) 答案：答案：(0，1) 9设设 0，不等式不等式 8x2(8sin )x
25、cos 20 对对 xR 恒成立恒成立，则则 的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：由题意由题意，要使要使 8x2(8sin )xcos 20 对对 xR 恒成恒成 立立，需需 64sin232cos 20， 化简化简得得 cos 21 2. 又又 0，02 3 或或5 3 22， 解得解得 0 6 或或5 6 . 答案：答案： 0， 6 5 6 ， 三、解答题三、解答题 10已知不等式已知不等式ax 1 x1 0(aR) 24 (1)解这个关于解这个关于 x 的不等式；的不等式； (2)若若 xa 时不等式成立时不等式成立，求求 a 的取值范围的取值范围 解：解：(1)原不等式等价于原不等
26、式等价于(ax1)(x1)0. 当当 a0 时时，由由(x1)0，得得 x0 时时，不等式化为不等式化为 x1 a (x1)0，解得解得 x1 a； ； 当当 a0，即即a11，即即 a 的取值范围为的取值范围为 a1. 11某单位在国家科研部门的支持下某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关把二氧进行技术攻关把二氧 化碳转化为一种可利用的化工产品 已知该单位每月的处理量最少为化碳转化为一种可利用的化工产品 已知该单位每月的处理量最少为 25 400 吨吨，最多为最多为 600 吨吨，月处理成月处理成本本 y(元元)与月处理量与月处理量 x(吨吨)之间的函之间的函 数关系可近似地表示为数关系
27、可近似地表示为 y1 2x 2 200x80 000， 且每处理一吨二氧化且每处理一吨二氧化 碳得到可利用的化工产品价值为碳得到可利用的化工产品价值为 100 元元 (1)该单位每月处理量为多少吨时该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本才能使每吨的平均处理成本 最低？最低？ (2)该单位每月能否获利？如果获利该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获求出最大利润；如果不获 利利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？ 解：解：(1)由题意可知由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为二氧化碳每吨的平均处理成本为y x 1
28、2x 80 000 x 2002 1 2x 80 000 x 200200， 当且仅当当且仅当1 2x 80 000 x ，即即 x400 时等号成立时等号成立， 故该单位月处理量为故该单位月处理量为 400 吨时吨时，才能使每吨的平均处理成本最才能使每吨的平均处理成本最 低低，最低成本为最低成本为 200 元元 (2)不获利设该单位每月获利为不获利设该单位每月获利为 S 元元， 则则 S100xy100x(1 2x 2 200x80 000) 1 2x 2 300x80 0001 2(x 300)235 000， 因为因为 x400，600， 所以所以 S80 000，40 000 故该单位每月不获利故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不元才能不 亏损亏损
