1、第十四章第十四章 轴向压杆稳定轴向压杆稳定第十四章第十四章 轴向压杆的稳定计算轴向压杆的稳定计算本章学习目标：本章学习目标： 了解压杆稳定与失稳的概念；了解压杆稳定与失稳的概念； 理解压杆的临界力和临界应力的概念；理解压杆的临界力和临界应力的概念； 能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力；能采用合适的公式计算各类压杆的临界力和临界应力； 熟悉压杆的稳定条件及其应用；熟悉压杆的稳定条件及其应用； 了解提高压杆稳定性的措施。了解提高压杆稳定性的措施。 14.1 14.1 压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念 14.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力 14.3 14.
2、3 压杆的稳定条件及其应用压杆的稳定条件及其应用 14.4 14.4 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施第十四章第十四章 轴向压杆的稳定计算轴向压杆的稳定计算30mm1m 两根相同材料（松木）制成的杆，两根相同材料（松木）制成的杆，b=20MPa；A10mm30mm短杆长：短杆长：l30mm；FFFF长杆长：长杆长：l1000mm14.1 14.1 压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念14.1 14.1 压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念若按强度条件计算，若按强度条件计算， 两根杆压缩时的极限承载能力两根杆压缩时的极限承载能力均应为：均应为：F= b A=6kN压杆的破坏实验压杆的破坏
3、实验结果结果： （1 1）短杆在压力增加到约为）短杆在压力增加到约为6kN6kN时，时，因木纹出现裂纹而破坏。因木纹出现裂纹而破坏。 （2 2）长杆在压力增加到约）长杆在压力增加到约4kN4kN时突然弯向一侧，时突然弯向一侧，继续增大压力，弯曲迅速增大，杆随即折断继续增大压力，弯曲迅速增大，杆随即折断。 短压杆的破坏属于强短压杆的破坏属于强度问题；度问题；30mm1mFFFF 长压杆的破坏则属于能长压杆的破坏则属于能否保持其原来的直线平衡否保持其原来的直线平衡状态的问题状态的问题结论：结论： 短压杆与长压杆在压缩时的破坏短压杆与长压杆在压缩时的破坏性质完全不同性质完全不同14.1 14.1 压
4、杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念 1、概念、概念压杆稳定性压杆稳定性：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。：压杆保持其原来直线平衡状态的能力。 压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，压杆不能保持其原来直线平衡状态而突然变弯的现象，称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为称为压杆的直线平衡状态丧失了稳定，简称为压杆失稳。压杆失稳。研究压杆稳定性的意义：研究压杆稳定性的意义： 压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆因强度或刚度不足而造成破坏之前一般都有先兆；压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某压杆由于失稳而造成破坏之前没有任何先兆，当压力达到某个临界数值时就
5、会突然破坏，个临界数值时就会突然破坏，因此这种破坏形式在工程上具因此这种破坏形式在工程上具有很大的破坏性。有很大的破坏性。在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中在建筑工程中的受压上弦杆、厂房的柱子等设计中都必须考虑其稳定性要求。都必须考虑其稳定性要求。14.1 14.1 压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念稳定平衡：稳定平衡： 干扰平衡的外力消失后，干扰平衡的外力消失后，物体能自动恢复到原来的平物体能自动恢复到原来的平衡位置的平衡衡位置的平衡不稳定平衡：不稳定平衡： 即使干扰平衡的外力消即使干扰平衡的外力消失后，物体仍继续向远离原失后，物体仍继续向远离原来平衡位置的方向继续运动来平衡位置
6、的方向继续运动的平衡。的平衡。随遇平衡：随遇平衡： 干扰平衡的外力消失后，干扰平衡的外力消失后，物体可在任意位置继续保持物体可在任意位置继续保持平衡。平衡。 显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状显然，随遇平衡是界于稳定平衡与不稳定平衡之间的状态，称为态，称为临界平衡状态临界平衡状态。14.1 14.1 压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念FPFPlFPFPFFFPFPF FPcrFPFPF= FPcrFPFPF FPcr稳定直线平衡状态稳定直线平衡状态不稳定平衡状态不稳定平衡状态临界状态临界状态 压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆处于临界状态时的轴向压力称为压杆的压杆的临界力临界
7、力Fcr。14.1 14.1 压杆稳定的基本概念压杆稳定的基本概念14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力临界力临界力Fcr的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳的大小反映了压杆失稳的难易，而压杆失稳就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响就是直杆变弯，发生弯曲变形，因此临界力的大小与影响直杆弯曲变形的因素有关：直杆弯曲变形的因素有关：杆的长度杆的长度ll越大越大抵抗变形的能力越小抵抗变形的能力越小容易失稳容易失稳Fcr越小越小抗弯刚度抗弯刚度EIEI越大越大抵抗变形的能力越强抵抗变形的能力越强不易失稳不易失稳Fcr越大越大杆端支承杆端支承越牢固越牢固越不容易发生弯曲变
8、形越不容易发生弯曲变形不易失稳不易失稳Fcr越大越大14.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力式中式中 E材料的弹性模量；材料的弹性模量；I压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；压杆横截面对形心轴的最小惯性矩；l压杆的长度；压杆的长度；长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；长度系数，反映了杆端支承对临界力的影响；l压杆的计算长度。压杆的计算长度。22)( lEIFcr14.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力Fcrl=1 两端铰支两端铰支l一端固定一端固定一端铰支一端铰支Fcr0.3l0.7l=0.7 两端固定两端固定lFcr0.5l0.25l0.25l
9、=0.5 lFcr一端固定一端固定一端自由一端自由=2 14.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力 例例14.1 一根两端铰支的一根两端铰支的20a工字钢细长压杆，长工字钢细长压杆，长l=3m，钢的弹性模量，钢的弹性模量E=200GPa，试计算其临界力，试计算其临界力。 由此可知，若轴向压力达到由此可知，若轴向压力达到346kN时，此杆会失稳。时，此杆会失稳。kN346N10346N310158102003289222lEIFcr解解 查型钢表得查型钢表得Iz=2370cm4，Iy=158cm414.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力 材料及横截面
10、均相同，哪一根最容易失稳，哪一根材料及横截面均相同，哪一根最容易失稳，哪一根最不容易失稳。最不容易失稳。思考思考14.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力 例例14.2 一矩形截面一矩形截面的中心受压的细长木柱，的中心受压的细长木柱，长长l=8m，柱的支承情况，柱的支承情况，在最大刚度平面内弯曲在最大刚度平面内弯曲时为两端铰支（图时为两端铰支（图a）；）；在最小刚度平面内弯曲在最小刚度平面内弯曲时为两端固定（图时为两端固定（图b）。）。木材的弹性模量木材的弹性模量E=10GPa，试求木柱的，试求木柱的临界力。临界力。Fcr120200zyFcr8m200zy12014.2
11、 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力解解 由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支由于最大刚度平面与最小刚度平面内的支承承情况不同，所以需分别计算。情况不同，所以需分别计算。（1）计算最大刚度平面内的临界力）计算最大刚度平面内的临界力两端铰支，长度系数两端铰支，长度系数=1454743m108mm108mm12200120yIkN123N10123N)81 (108101014. 3)(3259222lEIFycr截面的惯性矩为截面的惯性矩为Fcr8m200zy12014.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力（2）计算最小刚度平面内的临界力。）计算最小刚度
12、平面内的临界力。454743m1088. 2mm1088. 2mm12120200ZI两端固定，长度系数两端固定，长度系数=0.5kN177N10177N)85 . 0(1088. 2101014. 3)(3259222lEIFZcr由图由图16-4b,截面惯性矩为截面惯性矩为Fcr120200zy14.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力 比较计算结果可知比较计算结果可知，第一种情况的临界力，第一种情况的临界力小，所以压杆失稳时将小，所以压杆失稳时将在最大刚度平面内产生在最大刚度平面内产生弯曲。此例说明，弯曲。此例说明，当在当在最小刚度平面与最大刚最小刚度平面与最大刚度
13、平面内支承情况不同度平面内支承情况不同时，压杆不一定在最小时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳，必须刚度平面内失稳，必须经过具体计算后才能确经过具体计算后才能确定。定。Fcr120200zyFcr8m200zy12014.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力2IiAl i令AIlEAFcr22cr)(22Ecr 压杆的压杆的柔度柔度（长细比），是无量纲的量。（长细比），是无量纲的量。l i22222)()(ilElEicr （1）综合反映了压杆的长度（）综合反映了压杆的长度（l）、杆端支承情况（）、杆端支承情况（）、截面形状和尺）、截面形状和尺寸（寸（I、A、i）对临界应力
14、的影响。）对临界应力的影响。 （2）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即，柔度越大压杆临）压杆的临界应力与压杆柔度的平方成反比，即，柔度越大压杆临界应力越小，压杆越容易失稳。界应力越小，压杆越容易失稳。14.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力 只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧只有当压杆的临界应力不超过材料的比例极限时，欧拉公式才适用，即：拉公式才适用，即：对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质对应于材料比例极限时的柔度，只与材料的性质有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。有关，与压杆的截面形状和尺寸无关。pp的压杆的压杆大柔度杆（细长杆）大柔度杆（细长
15、杆）欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）欧拉公式只适用于大柔度杆（细长杆）pcrE22ppE14.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力 压杆的应力超出比例极限时（压杆的应力超出比例极限时（p），这类杆件工程），这类杆件工程上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。上称为中柔度杆，此类压杆的稳定称弹塑性稳定。抛物线公式（经验公式）抛物线公式（经验公式）cr= a - b2式中，式中，为压杆的柔度，为压杆的柔度，a、b与材料有关的常数与材料有关的常数例如：对于例如：对于Q235钢及钢及16Mn钢分别有钢分别有 cr=（235-0.006682）MPacr=（345-0.014
16、22）MPa14.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力 注意：注意：图中以图中以c c=123=123而不是以而不是以p p=100=100作为二曲作为二曲线的线的分界点分界点. . 由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，由式可知，压杆不论处于弹性阶段还是弹塑性阶段，其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力其临界应力均为压杆柔度的函数，临界应力cr与柔度与柔度的的函数曲线称为函数曲线称为临界应力总图。临界应力总图。 对对Q235Q235钢制成的压杆钢制成的压杆 , ,当当c c，按欧拉公式计，按欧拉公式计算临界应力或临界力算临界应力或临界力; ;当当123123时用
17、经验公式计算时用经验公式计算14.2 14.2 压杆的临界力和临界应力压杆的临界力和临界应力14.3 压杆的稳定条件及其应用压杆的稳定条件及其应用 st 式中式中 st称为稳定许用应力，其值为称为稳定许用应力，其值为 stcrstn式中式中nst为压杆的稳定安全系数为压杆的稳定安全系数 14.3 14.3 压杆稳定条件及其应用压杆稳定条件及其应用稳定许用应力值可写成下列形式稳定许用应力值可写成下列形式 st式中式中强度计算时的许用应力；强度计算时的许用应力； 折减系数。折减系数。 压杆稳定条件可写为压杆稳定条件可写为 AFN 式中式中A为横截面的毛面积。为横截面的毛面积。 （1）折减系数是柔度
18、）折减系数是柔度的函数，随柔度的函数，随柔度的变化而的变化而变化，柔度变化，柔度越大，折减系数越小；越大，折减系数越小； （2）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷载）折减系数是各种影响因素的综合反映（如荷载偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）；偏心、材料不均匀、初始曲率、安全储备等）； （3）由于）由于 st总是小于总是小于，因此折减系数是一个小，因此折减系数是一个小于于1的数。的数。14.3 14.3 压杆稳定条件及其应用压杆稳定条件及其应用1.1.稳定校核。稳定校核。3.3.确定稳定许用荷载。确定稳定许用荷载。 2.2.设计截面。设计截面。14.3 14.3 压杆稳定条件及其应用压
19、杆稳定条件及其应用 例例14-3 图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆图示两端铰支（球形铰）的矩形截面木杆，杆端作用轴向压力端作用轴向压力Fp。已知。已知l=3.6m，Fp=40kN，木材的强度，木材的强度等级为等级为TC13，许用应力，许用应力=10MPa，试校核该压杆的稳定。，试校核该压杆的稳定。mm64.34mm1212012123bbhhbAIiy解解 矩形截面的惯性半径矩形截面的惯性半径Fcr8m120160yz14.3 14.3 压杆稳定条件及其应用压杆稳定条件及其应用因为因为91259. 01042800280022所以该压杆满足稳定条件。所以该压杆满足稳定条件。两端铰支时长
20、度系数两端铰支时长度系数=1=11041064.346 . 313il MPa00. 8MPa160120259. 010403NAFAF14.3 14.3 压杆稳定条件及其应用压杆稳定条件及其应用14.4 14.4 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施从柔度计算式从柔度计算式il 在条件允许的情况下，应在条件允许的情况下，应尽量使压杆的长度减小，或者尽量使压杆的长度减小，或者在压杆中间增加支撑。在压杆中间增加支撑。 减小压杆的长度是降低压杆柔减小压杆的长度是降低压杆柔度，提高压杆稳定性的有效方法度，提高压杆稳定性的有效方法之一。之一。ll2l214.4 14.4 提高压杆稳定性的措施提高
21、压杆稳定性的措施 杆端约束刚性越强杆端约束刚性越强, ,压杆的长度系数越小压杆的长度系数越小, ,相应的柔度相应的柔度就越低就越低, ,临界力就越大临界力就越大, ,因此尽可能加强杆端约束的刚性因此尽可能加强杆端约束的刚性, ,可使压可使压 杆的稳定性得到提高杆的稳定性得到提高. . 50.21FcrFcrFcr14.4 14.4 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 当截面面积相同的情况下，增大惯性矩当截面面积相同的情况下，增大惯性矩I，从而达到增从而达到增大惯性半径大惯性半径i，减小柔度，减小柔度，提高压杆的临界应力。，提高压杆的临界应力。 14.4 14.4 提高压杆稳定性的措施提高
22、压杆稳定性的措施 当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，当压杆在各个弯曲平面内的支承条件相同时，压杆的压杆的稳定性是由稳定性是由Imin方向的临界应力控制。因此，方向的临界应力控制。因此，应尽量使截应尽量使截面对任一形心主轴的惯性矩相同，面对任一形心主轴的惯性矩相同，这样可使压杆在各个这样可使压杆在各个弯曲平面内具有相同的稳定性。弯曲平面内具有相同的稳定性。 例如由两根槽钢组合而成的压杆例如由两根槽钢组合而成的压杆采用哪采用哪种形式种形式好？好？14.4 14.4 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时，当压杆在两个相互垂直平面内的支承条件不同时
23、，可采用可采用IzIy的截面来与相应的支承条件配合，的截面来与相应的支承条件配合，使压杆在使压杆在两相互垂直平面内的柔度值相等两相互垂直平面内的柔度值相等，即即z=y，这样保证，这样保证压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。压杆在这两个方向上具有相同的稳定性。 14.4 14.4 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施 对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量对于大柔度杆，临界应力与材料的弹性模量E有关，有关，由于各种钢材的弹性模量由于各种钢材的弹性模量E值相差不大。所以，值相差不大。所以，对大柔度对大柔度杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大杆来说，选用优质钢材对提高临界应力意义不大。 对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越对于中柔度杆，其临界应力与材料强度有关，强度越高的材料，临界应力越高。所以，高的材料，临界应力越高。所以，对中柔度杆而言，选择对中柔度杆而言，选择优质钢材将有助于提高压杆的稳定性优质钢材将有助于提高压杆的稳定性。14.4 14.4 提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施本章结束本章结束第十四章第十四章 轴向压杆的稳定计算轴向压杆的稳定计算
