1、第第5 5章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识道 路 工 程 测 量道 路 工 程 测 量教学课件w本章的主要内容：w1、测量误差的基本概念；w2、衡量观测值精度的指标（中误差）；w3、误差传播律；w w4、权、算术平均值、加权平均值及其中误差 。 2一、测量误差产生的原因1测量仪器和工具2观测者3外界条件的影响 由于仪器和工具加工制造不完善或校正之后残余误差存在所引起的误差。 由于观测者感觉器官鉴别能力的局限性所引起的误差。 外界条件的变化所引起的误差。5.1 观测误差的概述观测误差的概述3二、二、 观测误差及其分类观测误差及其分类观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测。 观测条件
2、相同的各次观测，称为等精度观测； 人、仪器和外界条件，通常称为观测条件。 在观测结果中，有时还会出现错误，称之为粗差。 粗差在观测结果中是不允许出现的，为了杜绝粗差，除认真仔细作业外，还必须采取必要的检核措施。45.1 观测误差及其分类观测误差及其分类二、测量误差的分类系统误差偶然误差55.1 观测误差及其分类观测误差及其分类1系统误差 在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如果误差出现的符号和大小均相同，或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。 系统误差在测量成果中具有累积性，对测量成果影响较大，但它的符号和大小又具有一定的规律性，一般可采用下列方法消除或减弱其影响。 （1）进行计算改正
3、 （2）选择适当的观测方法 65.1 观测误差及其分类观测误差及其分类2偶然误差 在相同的观测条件下，对某量进行一系列的观测，如果观测误差的符号和大小都不一致，表面上没有任何规律性，这种误差称为偶然误差。75.1 偶然误差的特性偶然误差的特性 偶然误差从表面上看没有任何规律性，但是随着对同一量观测次数的增加，大量的偶然误差就表现出一定的统计规律性，观测次数越多，这种规律性越明显。85.1 偶然误差的特性偶然误差的特性 例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误差，三角形各内角之和l不等于其真值180。用X表示真值，则l与X的差值称为真误差（即偶然误差），即Xl 现在相同的观测条件下
4、观测了217个三角形，计算出217个内角和观测值的真误差。再按绝对值大小，分区间统计相应的误差个数，列入表中。95.1 偶然误差的特性偶然误差的特性 例如，对三角形的三个内角进行测量，由于观测值含有偶然误差，三角形各内角之和l不等于其真值180。用X表示真值，则l与X的差值称为真误差（即偶然误差），即Xl 现在相同的观测条件下观测了217个三角形，计算出217个内角和观测值的真误差。再按绝对值大小，分区间统计相应的误差个数，列入表中。105.1 偶然误差的特性偶然误差的特性 真误差绝对值大小统计结果真误差绝对值大小统计结果误差区间正误差个数负误差个数总计03302959362120416915
5、1833912141630121512102215188816182156112124224242710127以上以上000合计107110217115.1 偶然误差的特性偶然误差的特性 （1）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差个数多； （2）绝对值相等的正负误差的个数大致相等； （3）最大误差不超过27。125.1 偶然误差的特性偶然误差的特性 0lim nn n 21偶然误差的四个特性： （1）在一定观测条件下，偶然误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出该限值的误差出现的概率为零； （2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大； （3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同； （4）
6、同一量的等精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数n的无限增大而趋于零，即式中 偶然误差的代数和，135.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 在测量工作中，常采用以下几种标准评定测量成果的精度。中误差相对中误差极限误差145.2 衡量精度的标准衡量精度的标准中误差 设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复观测，其观测值为l1，l2，ln，相应的真误差为1，2，n。则观测值的中误差m为： nm 式中 真误差的平方和， 22221n 155.2 衡量精度的标准衡量精度的标准 例5-1 ：对 10 个三角形的内角进行了观测，根据观测值中的偶然误差（三角形的角度闭合差，即真误差），计算其中误差。
7、6 . 3 16序号 三内角和的观测值 观测值 L 真误差 平方1 180 00 03 3 9 2 180 00 02 2 4 3 179 59 58 2 4 4 179 59 56 4 16 5 180 00 00 1 1 6 180 00 04 0 0 7 180 00 03 4 16 8 179 59 57 3 9 9 179 59 58 2 4 10 180 00 03 3 9 24 72 中误差 17w相对误差w相对中误差是中误差的绝对值与相应观测结果之比，并化为分子为1的分数，即相对误差用下式求得： 1mKDDm18w例如测量了两段距离，一段为100m，另一段为200m，观测值的中
8、误差均为20mm。显然不能认为两段距离的精度相同，因为距离的测量精度与距离本身长度的大小有关。为了客观地反映观测精度，必须引入一个评定精度的标准，即相对误差。相对误差K就是观测值的中误差绝对值与观测值之比，通常以分子为1的分式表示。相对误差能够确切描述观测量的精确度。191110.0211005000mKD20 2220.02120010000mKD2K1K21w由此可见用相对误差来衡量，就可直观看出后者比前者精度高。w在距离测量中用往返测量结果较差率来进行检验。较差率为wK= 式中：K相对误差显然相对误差越小，观测结果的精度越好。225.2 衡量精度的标准衡量精度的标准m2P m3P 极限误
9、差 在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不应超过的限值，称为极限误差，也称限差或容许误差。或 如果某个观测值的偶然误差超过了容许误差，就可以认为该观测值含有粗差，应舍去不用或返工重测。 23245.3误差传播定律一、误差传播定律一、误差传播定律 观测值的误差对观测值函数的影响。观测值的误差对观测值函数的影响。用观测值的中误差去表征待求量中误差用观测值的中误差去表征待求量中误差的数学模型，则为中误差传播定律。的数学模型，则为中误差传播定律。 25w5.3.1倍数函数中误差w 设倍数函数为 y=Kx (5-8)w式中 K常数（常数无误差）；w X直接观测值。26w【例5-2】在1:500地形图上量得
10、某两点间的距离d=234.5mm,其中误差mD=0.2mm,求该两点的地面水平距离D的值及其中误差mD.。w解: D=500d=5000.2345=117.25mw MD= 500mD=5000.0002=0.10m27w5.3.2 和 、差函数中误差w 设和差函数为y= x 1 + x 2 （5-12）w式中x 1 ,、x 2 是直接观测值，已知其中误差分别为m1 、m 2 , y是x1 、x2 的和、差函数，求y 的中误差my28w【例5-3】： 在水准测量中，读数 a 与 b 的误差分别为 ma= 3mm 与 mb = 4mm ，则高差 h 的中误差 mh等于多少？w解：高差计算公式为：
11、 h=a-b w由函数形式可知其属于和差函数，则根据误差传播定律可知： wm = 29w5.3.3 线性函数w 设线性函数为 y=k1x1 + k2x2 +knxnw设x1， x2， x为独立观测值，其中误差分别为m1、 m2 、 、mn、求函数y的中误差my 。w按推求式（）与式（）的相同方法，得wM2y=k21m21+ k22m22+k2nm2n (5-16)w即线性函数中误差的平方，等于各常数与相应观测值中误差乘积的平方和。30w【例5-6】 对某量等精度观测n次，观测值为L 1、 L2 、 LN，设已知各观测值的中误差m1=m2mn=m,求等精度观测值算术平均值x及其中误差。w解：等精
12、度观测值算术平均值xwXL 1 L2 、 LNnLn （5-17）w 上式可改写为 x=1/n.L 1、+ 1/n.L2 + 、 1/n. LNw根据式（5-15）算术平均值x的中误差Mw M2=1/n2.m21+1/n2.m22+1/n2.m2n=n/n2.m2=1/n.m2w M=m/n1/2 (5-18)w 31w上式表明,算术平均值的中误差比观测值中误差缩小了n1/2倍,即算术平均值的精度比观测值精度提高n1/2倍.测量工作中进行多余观测,取多次观测值的平均值作为最后的结果,就是这个道理.32w5.3.4一般函数w设一般函数为y=f(x1， x2， xn)w已知x1， x2， xn为相
13、互独立的直接观测量，其中误差分别为m 1、 m2 、 、mn、求函数y的中误差my 。则有全微分w由于测量中真误差值都很小，故可用真误差代替上式中的微分量。即w式中、分别是函数y对观测值x1，x2，xn求得偏导数。当函数式与观测值确定后，偏导数均为常数，故上式可视为线性函数的真误差关系式。由式（5-15）可得1221()()()nnfffdydxdxdxxxx1221()()()ynnfffxxx 22221221()()()ynnfffmmmmxxx （5-18）33四、误差传播定律的应用四、误差传播定律的应用 1. 步骤：步骤：w列出正确的函数模型列出正确的函数模型注意注意：模型符合测量事
14、实；观测量各自独立模型符合测量事实；观测量各自独立w非线性函数线性化非线性函数线性化w运用误差传播定律运用误差传播定律 342. 应用举例应用举例例例1：用尺长为：用尺长为l的钢尺丈量距离的钢尺丈量距离S，共丈量，共丈量4个尺段，设个尺段，设丈量一个尺段的中误差为丈量一个尺段的中误差为m，试求，试求S的中误差。的中误差。解解一一：应用误差传播定律得：应用误差传播定律得：llllSmmmmmmS2222235 解解二二： 应用误差传播定律得：应用误差传播定律得： 由两种解算方法的结果可以看出：由两种解算方法的结果可以看出：距离距离S的中误差不的中误差不相等相等，显然，解二的数学模型是错误的。，显
15、然，解二的数学模型是错误的。lllllS4mmmS442236例：设有函数例：设有函数 。若。若 X、Y为独为独立观测量，其观测值中误差为立观测量，其观测值中误差为mx、my ，试求，试求U的中的中误差。误差。 解解一一：由线性中误差传播定律，显然有：由线性中误差传播定律，显然有：则有：则有：YXZZYXU3,而2222222)3(yxzzyxUmmmmmmm，而22210yxUmmm37解解二二：由于由于 应用线性函数中误差传播定律，得：应用线性函数中误差传播定律，得：即：即： 显然，这两种解法中至少有一种解法是显然，这两种解法中至少有一种解法是错误错误的。解法一的。解法一中由于未考虑观测量
16、的中由于未考虑观测量的独立性独立性，显然是错误的。，显然是错误的。222)2()4(yxUmmm22416yxUmmmYXZYXU24385.4 算术平均值算术平均值 nlnlllLn 21算术平均值 在相同的观测条件下，对某量进行多次重复观测，根据偶然误差特性，可取其算术平均值作为最终观测结果。 设对某量进行了n次等精度观测，观测值分别为，l1,l2,ln，其算术平均值为：395.4 算术平均值及其观测中误差算术平均值及其观测中误差 设观测量的真值为X，观测值为li，则观测值的真误差为： XlXlXlnn2211 将上式内各式两边相加，并除以n，得 Xnln nXL nlL 根据偶然误差的特
17、性，当观测次数n无限增大时，则有 0lim nnXLn lim 算术平均值较观测值更接近于真值。将最接近于真值的算术平均值称为最或然值或最可靠值。405.4 算术平均值算术平均值观测值中误差 观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数，用v表示。当观测次数为n时，有 nnlLvlLvlLv2211将上式内各式两边相加，得 lnLv 将 nlL 代入上式，得 0 v 对于等精度观测，观测值改正数的总和为零。415.4 算术平均值及其观测中误差算术平均值及其观测中误差 1 nvvm )1( nnvvnmM由观测值改正数计算观测值中误差算术平均值的中误差425.4 算术平均值及其观测中误差算术
18、平均值及其观测中误差 例例5-2 某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。测测次次 观测值观测值/ m 观测值观测值改正数改正数v/ m m vv 计计 算算 123456平平均均148.643148.590148.610148.624148.654148.647 m628.148 nlL148.628 1 nvvm-15+38+18+4-26-19 0 v 1 nnvvM2251444324166763613046163046mm1 .10
19、DMK m628.148m0101. 0 43习题与思考题习题与思考题44本章小结本章小结 本章主要介绍了在测量工作中存在的各种测量误差。测量误差产生的原因概括起来有仪器误差、观测者和外界条件的影响三个方面。 通常把观测误差来源的三个方面称为观测条件,观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系.一般情况下,观测误差的大小受观测条件的制约。观测条件好时，误差就小，所获得的观测结果的质量就高；反之，误差就大，观测结果的质量就低。45本章小结本章小结 按获得观测者的方式、观测值之间的关系、观测值的可靠度可将观测分为直接观测与间接观测、独立观测与相关观测、必要观测与多余观测和等精度观测与不等精度观测
20、四个类型。 测量误差按其性质可分为系统误差和偶然误差两类。偶然误差具有以下四个特性：有限性，聚中性，对称性，抵消性。46本章小结本章小结 采用中误差作为评定观测精度的标准；对于观测次数较少的测量工作，多数采用2倍中误差作为极限误差。对于某些观测成果，用中误差还不能完全判断观测精度的优劣。为了能客观反映实际精度，通常用相对误差来表示边长观测值的精度。 在观测中有一些未知量不能直接测定，但与观测值有一定的函数关系，通过间接求得建立独立观测中误差与观测值函数中误差之间的函数关系式，测量中称为误差传播定律。47习习 题题 例一、偶然误差具有四个特性，分别是 ： _、_、 _、 _。 有限性有限性 聚中
21、性聚中性 对称性对称性 抵消性抵消性 例二、有一矩形，丈量两条边的长度试求矩形周长P及其中误差 。 解：矩形的周长为：解：矩形的周长为：mbaP00.120)00.202()00.402(22由公式得：由公式得：mmmmbaP07. 0)02. 0(4)03. 0(4)2()2(222248习习 题题 例一例一. .用用30m30m钢尺丈量钢尺丈量120m120m距离距离, ,共分共分4 4个尺段进行丈量个尺段进行丈量, ,若每尺段丈量中误差若每尺段丈量中误差m m3030为为 mmmm问全长中误差问全长中误差m m120120是多少是多少? ?3解:根据公式得: mmmnm63430120 例二。用一台经纬仪测量水平角，每测回角度中误差例二。用一台经纬仪测量水平角，每测回角度中误差为为 。今用这台仪器测一角度，要求测角中误差不超过。今用这台仪器测一角度，要求测角中误差不超过 ，问至少需要观测几个测回？问至少需要观测几个测回？解：因为 所以, 5, 10Mm测回45102222Mmn4950祝同学们学习进步51
