1、电磁感应力电综电磁感应力电综 合之双杆模型合之双杆模型在高中电磁感应的教学中在高中电磁感应的教学中, ,双杆模型是检验学生双杆模型是检验学生对电磁感应知识掌握程度的好载体。它涉及高对电磁感应知识掌握程度的好载体。它涉及高中所学的中所学的力学力学、电磁学电磁学、电路电路及及能量能量等方面的等方面的知识知识, ,能力要求很高。双杆模型问题一般都涉及能力要求很高。双杆模型问题一般都涉及最后稳定状态的分析最后稳定状态的分析, ,以下就从几个简单的基本以下就从几个简单的基本模型进行分析和归纳。模型进行分析和归纳。（本节分析了电磁感应中平行等间距与平行不等间距两类典型双杆模型最后的稳定状态,在不计摩擦条件
2、下对给定初速度情景与给定恒定外力情景最后的结论作了归纳,找出这类问题的共性,化繁为简,利于对这类知识本质的掌握.）一、给一、给某杆初速度某杆初速度条件条件稳定状态分析稳定状态分析1.1.平行等间距双杆平行等间距双杆图像分析：图像分析：能量分析：能量分析：动量分析：动量分析：02mvmv02211222Qmvmv 2.2.平行不等间距双杆平行不等间距双杆图像分析：图像分析：能量分析：能量分析：动量分析：动量分析：_102BI Ltmvmv022212111222Qmvmvmv _2BI Ltmv二、给二、给某杆恒定外力某杆恒定外力条件条件稳定状态分析稳定状态分析1.1.平行等间距双杆平行等间距双
3、杆图像分析：图像分析：能量分析：能量分析：动量分析：动量分析：22121122FQWmvmv 12Ftmvmv 2.2.平行不等间距双杆平行不等间距双杆小结：小结：从以上的分析可以看出处理从以上的分析可以看出处理“双杆滑动双杆滑动”问题要注意问题要注意以下几点：以下几点：1 1、在分析双杆切割磁感线产生的感应电动势时，要注意、在分析双杆切割磁感线产生的感应电动势时，要注意是是同向同向还是还是反向反向，可以根据切割磁感线产生的感应电流，可以根据切割磁感线产生的感应电流的方向来确定，若的方向来确定，若同向，回路的电动势是二者相加，反同向，回路的电动势是二者相加，反之二者相减之二者相减。一般地，两杆
4、向同一方向移动切割磁感线。一般地，两杆向同一方向移动切割磁感线运动时，两杆中产生的感应电动势是方向运动时，两杆中产生的感应电动势是方向相反相反的，向反的，向反方向移动切割磁感线时，两杆中产生的感应电动势是方方向移动切割磁感线时，两杆中产生的感应电动势是方向向相同相同的，线圈中的感应电动势是的，线圈中的感应电动势是“同向减，反向加同向减，反向加”。2 2、计算回路的电流时，用闭合电路欧姆定律时，电动势、计算回路的电流时，用闭合电路欧姆定律时，电动势是回路的电动势，是回路的电动势，不是一根导体中的电动势，不是一根导体中的电动势，电阻是回电阻是回路的电阻，而不是一根导体的电阻。路的电阻，而不是一根导
5、体的电阻。3 3、要对导体杆进行两种分析，一是正确的、要对导体杆进行两种分析，一是正确的受力分析受力分析，根，根据楞次定律可知安培力总是阻碍导体杆的相对运动的。据楞次定律可知安培力总是阻碍导体杆的相对运动的。也可先判断出感应电流方向，再用左手定则判断安培力也可先判断出感应电流方向，再用左手定则判断安培力的方向。二是正确的进行的方向。二是正确的进行运动情况分析运动情况分析。这两步是正确。这两步是正确选用物理规律基础。选用物理规律基础。4 4、合理选用物理规律，包括力的、合理选用物理规律，包括力的、动能定理动能定理、动量定理动量定理、动量守恒定律、动量守恒定律、机械能守恒定律、机械能守恒定律、能量
6、守恒定能量守恒定律律、欧姆定律、欧姆定律、焦耳定律焦耳定律、楞次定律、法拉第电磁感应定、楞次定律、法拉第电磁感应定律等。处理这类问题可以利用律等。处理这类问题可以利用力的观点力的观点进行分析，也可以进行分析，也可以利用利用能的观点能的观点进行分析，还可以利用进行分析，还可以利用动量的观点动量的观点进行分析。进行分析。在利用能的观点进行分析时，要在利用能的观点进行分析时，要注意注意导体克服安培力作功导体克服安培力作功的过程是把其它形式的能转化为电能的过程。的过程是把其它形式的能转化为电能的过程。5 5、特别提醒：一定不要忘记画出速度图象，、特别提醒：一定不要忘记画出速度图象， 可以很好的分析其中
7、的过程。可以很好的分析其中的过程。类类型型水平导轨，无水水平导轨，无水平外力平外力不等间距导轨无不等间距导轨无水平外力水平外力水平导轨，受水平导轨，受水平外力水平外力竖直导轨竖直导轨终终态态分分析析两导体棒以相同两导体棒以相同的速度做的速度做匀速匀速运运动动两导体棒以不同两导体棒以不同的速度做的速度做匀速匀速运运动动两导体棒以不两导体棒以不同的速度做加同的速度做加速度相同的速度相同的匀匀加速加速运动运动两导体棒以相两导体棒以相同的速度做加同的速度做加速度相同的速度相同的匀匀加速加速运动运动速速度度图图象象解解题题策策略略动量守恒定律动量守恒定律，能量守恒定律及能量守恒定律及电磁学、运动学电磁学
8、、运动学知识知识动量定理动量定理，能量，能量守恒定律及电磁守恒定律及电磁学、运动学知识学、运动学知识动量定理动量定理, ,能量能量守恒定律及电守恒定律及电磁学、运动学磁学、运动学知识知识 动量定理动量定理, ,能能量守恒定律及量守恒定律及电磁学、运动电磁学、运动学知识学知识例例1.无限长的平行金属轨道无限长的平行金属轨道M、N，相距，相距L=0.5m，且，且水平放置；金属棒水平放置；金属棒b和和c可在轨道上无摩擦地滑动，两可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量金属棒的质量mb=mc=0.1kg，电阻，电阻Rb=RC=1，轨道轨道的电阻不计整个装置放在磁感强度的电阻不计整个装置放在磁感强度B=1
9、T的匀强磁的匀强磁场中，磁场方向与轨道平面垂直场中，磁场方向与轨道平面垂直(如图如图)若使若使b棒以棒以初速度初速度V0=10m/s开始向右运动，求：开始向右运动，求：(1)c棒的最大加速度；棒的最大加速度；(2)c棒的最大速度。棒的最大速度。BMcbN典型例题：典型例题： v v0 0 1 1 2 2 21211212BlvBlvBl( vv )IRRRR012mBlvIRR v v0 0 1 1 2 2 2 22112BB l (vv )FBIlRR v v0 0 1 1 2 2 2012m v( mm)v共21222011m v(mm )vQ22共1122QRQR解析：解析： (1)刚开
10、始运动时回路中的感应电流为：刚开始运动时回路中的感应电流为：ARRBlvRREIcbcb5 . 211105 . 010刚开始运动时刚开始运动时C棒的加速度最大：棒的加速度最大：25 .121 . 05 . 05 . 21smmBIlaccbBMN(2)在磁场力的作用下，在磁场力的作用下，b棒做减速运动，当两棒速棒做减速运动，当两棒速度相等时，度相等时，c棒达到最大速度。取两棒为研究对象，棒达到最大速度。取两棒为研究对象，根据动量守恒定律有：根据动量守恒定律有：vmmvmcbb)(0解得解得c棒的最大速度为：棒的最大速度为：smvvmmmvcbb52100cbBMN v v0 0 1 1 2
11、2 v v2 2 1 1 2 2 v v1 1 例例2:如图所示如图所示,两根间距为两根间距为l的光滑金属导轨的光滑金属导轨(不计电不计电阻阻),由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组由一段圆弧部分与一段无限长的水平段部分组成成.其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场其水平段加有竖直向下方向的匀强磁场,其磁感其磁感应强度为应强度为B,导轨水平段上静止放置一金属棒导轨水平段上静止放置一金属棒cd,质量质量为为2m,电阻为电阻为2r.另一质量为另一质量为m,电阻为电阻为r的金属棒的金属棒ab,从圆弧段从圆弧段M处由静止释放下滑至处由静止释放下滑至N处进入水平段处进入水平段,圆圆弧段弧段MN半径为半径
12、为R,所对圆心角为所对圆心角为60,求：求：（1）ab棒在棒在N处进入磁场区速度多大？此时棒中处进入磁场区速度多大？此时棒中电流是多少？电流是多少？（2） cd棒能达到的最大速度是多大？棒能达到的最大速度是多大？（3）ab棒由静止到达最大速度过程中棒由静止到达最大速度过程中,系统所能释放的热量是多少？系统所能释放的热量是多少？221)60cos1 (mvmgRgRv 解得解得: :进入磁场区瞬间进入磁场区瞬间,回路中电流强度回路中电流强度I为为 rgRBlrrEI32解析解析: :(1)ab棒由静止从M滑下到N的过程中，只有重力做功，机械能守恒,所以到N处速度可求，进而可求ab棒切割磁感线时产
13、生的感应电动势和回路中的感应电流。ab棒由M下滑到N过程中，机械能守恒，故有vmmmv)2(gRv312232121vmmvQmgRQ31(2)(2)设设abab棒与棒与cdcd棒所受安培力的大小为棒所受安培力的大小为F,F,安培力作用时安培力作用时间为间为 t,ab t,ab 棒在安培力作用下做减速运动棒在安培力作用下做减速运动,cd,cd棒在安培棒在安培力作用下做加速运动力作用下做加速运动, ,当两棒速度达到相同速度当两棒速度达到相同速度vv时时, ,电路中电流为零电路中电流为零, ,安培力为零安培力为零,cd,cd达到最大速度达到最大速度. .运用动量守恒定律得：运用动量守恒定律得：解得
14、解得解得解得(3)系统释放热量应等于系统机械系统释放热量应等于系统机械 能减少量能减少量,故有：故有：三、在竖直导轨上的三、在竖直导轨上的“双杆滑动双杆滑动”问题问题1 1、等间距型：、等间距型：如图1所示，竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强磁场中，两根质量相同的金属棒a和b和导轨紧密接触且可自由滑动，先固定a，释放b，当b速度达到10m/s时，再释放a，经1s时间a的速度达到12m/s，则：（ ）A、当va=12m/s时，vb=18m/sB、当va=12m/s时，vb=22m/sC、若导轨很长，它们最终速度必相同D、它们最终速度不相同，但速度差恒定ACAC解析解析: :因先释
15、放因先释放b b，后释放，后释放a a，所以，所以a a、b b一开始速度是不一开始速度是不相等的，而且相等的，而且b b的速度要大于的速度要大于a a的速度，这就使的速度，这就使a a、b b和和导轨所围的线框面积增大，使穿过这个线圈的磁通量导轨所围的线框面积增大，使穿过这个线圈的磁通量发生变化，使线圈中有感应电流产生，利用楞次定律发生变化，使线圈中有感应电流产生，利用楞次定律和安培定则判断所围线框中的感应电流的方向如图所和安培定则判断所围线框中的感应电流的方向如图所示。再用左手定则判断两杆所受的安培力，对两杆进示。再用左手定则判断两杆所受的安培力，对两杆进行受力分析如图行受力分析如图1 1
16、。开始两者的速度都增大，因安培力。开始两者的速度都增大，因安培力作用使作用使a a的速度增大的快，的速度增大的快，b b的速度增大的慢，线圈所的速度增大的慢，线圈所围的面积越来越小，在线圈中产生了感应电流；当二围的面积越来越小，在线圈中产生了感应电流；当二者的速度相等时，没有感应电流产生，此时的安培力者的速度相等时，没有感应电流产生，此时的安培力也为零，所以最终它们以相同的速度都在重力作用下也为零，所以最终它们以相同的速度都在重力作用下向下做加速度为向下做加速度为g g的匀加速直线运动。的匀加速直线运动。在释放在释放a a后的后的1s1s内对内对a a、b b使用动量定理，这里安培力是个变力，
17、使用动量定理，这里安培力是个变力，但两杆所受安培力总是大小相等、方向相反的，设在但两杆所受安培力总是大小相等、方向相反的，设在1s1s内它的冲内它的冲量大小都为量大小都为I I，选向下的方向为正方向。，选向下的方向为正方向。当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应当棒先向下运动时，在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流，于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者电流，于是棒受到向下的安培力，棒受到向上的安培力，且二者大小相等。释放棒后，经过时间大小相等。释放棒后，经过时间t t，分别以和为研究对象，根据，分别以和为研究对象，根据动量定理，则有：动量定理，则有： 对对
18、a a有：有：( mg + I ) t = m v( mg + I ) t = m va0a0 对对b b有：有：( mg ( mg I ) t = m v I ) t = m vb bm vm vb0b0联立二式解得：联立二式解得：v vb b = 18 m/s = 18 m/s，正确答案为：，正确答案为：A A、C C。在在a a、b b棒向下运动的过程中，棒向下运动的过程中，a a棒产生的加速度，棒产生的加速度，b b棒产生的加速度棒产生的加速度 。当。当a a棒的速度与棒的速度与b b棒接近时，闭棒接近时，闭合回路中的合回路中的 逐渐减小，感应电流也逐渐减小，则安培力也逐渐逐渐减小，感
19、应电流也逐渐减小，则安培力也逐渐减小。最后，两棒以共同的速度向下做加速度为减小。最后，两棒以共同的速度向下做加速度为g g的匀加速运动。的匀加速运动。2 2、不等间距型：、不等间距型：图中图中a a1 1b b1 1c c1 1d d1 1和和a a2 2b b2 2c c2 2d d2 2为在同一竖直平面内的金属导轨，为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为处在磁感应强度为B B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面在的平面( (纸面纸面) )向里。导轨的向里。导轨的a a1 1b b1 1段与段与a a2 2b b2 2段是竖直段是竖直的距离为的距离
20、为L L1 1，c c1 1d d1 1段与段与c c2 2d d2 2段也是竖直的，距离为段也是竖直的，距离为L L2 2。 与与 为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为质量分别为m m1 1和和m m2 2，它们都垂直于导轨，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为成的回路的总电阻为R R。F F为作用于金属为作用于金属杆杆 上的竖直向上的恒力。已知两杆运上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功
21、率的大小求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。和回路电阻上的热功率。(04(04全国全国2)2)11x y22x y11x y解析解析:设杆向上运动的速度为设杆向上运动的速度为V，因杆的运动，两杆与导，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉轨构成的回路的面积减少，从而磁通量也减少。由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小 回路中的电流回路中的电流 电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作电流沿顺时针方向。两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆用于杆 的安培力为的安培力为 方向向上，作用于杆方向向
22、上，作用于杆 的安培力的安培力 方向向下。当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有方向向下。当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有 解以上各式，得解以上各式，得 21()EB ll vEIR11x y11fBl I22x y22fBl I12120Fm gm gff1221()()FmmgIB ll122221()()FmmgvRBll作用于两杆的重力的功率的大小 电阻上的热功率 由、式，可得12()Pmm gv2QI R12122221()()()FmmgPR mmgBll21221()()Fmm gQRB ll四、绳连的四、绳连的“双杆滑动双杆滑动”问题问题两金属杆两金属杆ab和和cd长均为长均
23、为l ，电阻均为，电阻均为R，质量分别为，质量分别为M和和m，Mm，用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔，用两根质量和电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平光滑不导电软导线将它们连成闭合回路，并悬挂在水平光滑不导电的圆棒两侧，两金属杆处在水平位置，如图的圆棒两侧，两金属杆处在水平位置，如图4所示，整所示，整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感强个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中，磁感强度为度为B，若金属杆，若金属杆ab正好匀速向下运动，求运动速度。正好匀速向下运动，求运动速度。解析：解析：设磁场垂直纸面向里，设磁场垂直纸面向里，ab杆匀速向下运动时，
24、杆匀速向下运动时，cd杆匀速向上运动，这时两杆切割磁感线运动产生同方向杆匀速向上运动，这时两杆切割磁感线运动产生同方向的感应电动势和电流，两棒都受到与运动方向相反的安的感应电动势和电流，两棒都受到与运动方向相反的安培力，如图培力，如图5所示，速度越大，电流越大，安培力也越所示，速度越大，电流越大，安培力也越大，最后大，最后ab和和cd达到力的平衡时作匀速直线运动。达到力的平衡时作匀速直线运动。回路中的感应电动势：回路中的感应电动势：回路中的电流为：回路中的电流为：ab受安培力向上，受安培力向上，cd受安培力向下，受安培力向下，大小都为：大小都为：设软导线对两杆的拉力为设软导线对两杆的拉力为T，由力的平，由力的平衡条件：衡条件：对对ab有：有：T + F = Mg 对对cd有：有：T = mg F所以有：所以有： ，解得：，解得：122EEEBlv2EBlvIRR2 2B l vFBIlR2 22()B l vMm gR2 2()2Mm gRvB l
