1、1 第三章第三章导数及其应用 3.1 导数的概念及运算导数的概念及运算 专题 1 导数的概念与几何 意义 (2015 河南省洛阳市高考数学一模,导数的概念与几何意义,选择题,理 10)曲线 y= (x0)在点 P(x0,y0) 处的切线为 l.若直线 l与 x,y 轴的交点分别为 A,B,则OAB的周长的最小值为( ) A.4+2 B.2 C.2 D.5+2 解析:由 y= ,得 y=- ,则 y =- , 曲线 y= (x0)在点 P(x0,y0)处的切线方程为 y- =- (x-x0). 整理,得 x+ y-2x0=0. 取 y=0,得 x=2x0,取 x=0,得 y= . |AB|= =
2、2 . OAB的周长为|2x0|+| |+2 =2( )+2 (x00) 22 +2 =4+2 . 当且仅当 x0=1 时上式等号成立.故选 A. 答案:A (2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,导数的概念与几何意义,填空题,理 13)已知直线 y=kx+1与曲线 y=x3+ax+b切于点(1,3),则 b的值为 . 解析:把(1,3)代入直线 y=kx+1 中,得到 k=2,对 y=x3+ax+b 求导,得 y=3x2+a,所以 y|x=1=3+a=2,解得 a=-1,把(1,3)及 a=-1 代入曲线方程,得 1-1+b=3,则 b的值为 3. 答案:3 (2015甘肃省河西三校普通
3、高中高三第一次联考,导数的概念与几何意义,选择题,理 9)直线 y= x+b 与曲线 y=- x+ln x 相切,则 b的值为( ) A.-2 B.-1 C.- D.1 解析:设切点坐标为(m,n),由题意知曲线在该点切线斜率为 y|x=m=- ,解得 m=1, 切点(1,n)在曲线 y=- x+ln x 的图象上, n=- , 切点( - )又在直线 y= x+b 上,b=-1.故答案为 B. 答案:B 3.2 导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值 专题 1 导数与函数的单 调性 2 (2015甘肃省民乐一中高三第一次诊断考试,导数与函数的单调性,选择题,理 4)下列
4、函数中,既是偶 函数又在区间(0,+)上单调递减的是( ) A.y= B.y=e-x C.y=-x2+1 D.y=lg|x| 解析:y= 在(0,+)上是减函数,但在定义域内是奇函数,故排除 A;y=e -x在(0,+)上是减函数,但不具备 奇偶性,故排除 B;y=-x2+1是偶函数,且在(0,+)上为减函数,故选 C;y=lg|x|在定义域(-,0)(0,+)上 是偶函数,但在(0,+)上为增函数,故排除 D. 答案:C (2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的单调性,选择题,理 7)函数 f(x)=ax3-x 在 R 上是减函数,则( ) A.a0 B.a0,故函数 f
5、(x)有极小值 f(2).故选 D. 答案:D 专题 3 导数与函数的最 值 (2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,导数与函数的最值,选择题,理 11)已知函数 f(x)=- 若|f(x)|ax,则 a 的取值范围是 ( ) 3 A.(-,0 B.(-,1 C.-2,1 D.-2,0 解析:由题意可作出函数 y=|f(x)|的图象,和函数 y=ax的图象, 由图象可知:函数 y=ax的图象为过原点的直线,直线 l为曲线在 x=0处的切线,当直线介于 l和 x 轴之间符合题意,且此时函数 y=|f(x)|在第二象限的部分解析式为 y=x2-2x, 求其导数可得 y=2x-2,当 x=0 时
6、,y=-2, 故只需直线 y=ax 的斜率 a介于-2 与 0 之间即可,即 a-2,0,故选 D. 答案:D (2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,导数与函数的最值,解答题,理 21)已知函数 f(x)=ex-ax2-bx-1,其中 a,bR,e=2.718 28为自然对数的底数. (1)设 g(x)是函数 f(x)的导函数,求函数 g(x)在区间0,1上的最小值; (2)若 f(1)=0,函数 f(x)在区间(0,1)内有零点,求 a的取值范围. 解:f(x)=ex-ax2-bx-1, g(x)=f(x)=ex-2ax-b, 又 g(x)=ex-2a,x0,1, 1exe, 当
7、a 时,则 2a1,g(x)=e x-2a0, 函数 g(x)在区间0,1上单调递增,g(x)min=g(0)=1-b; 当 1,则 f(x)x的解集是( ) A.(0,1) B.(-1,0)(0,1) C.(1,+) D.(-,-1)(1,+) 6 解析:设 g(x)=f(x)-x,因为 f(1)=1,f(x)1,所以 g(1)=f(1)-1=0,g(x)=f(x)-10,所以 g(x)在 R 上是增函数, 且 g(1)=0.所以 f(x)x的解集即是 g(x)0的解集(1,+).故选 C. 答案:C (2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理 21
8、)已知函 数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d的值; (2)若 x-2 时,f(x)kg(x)恒成立,求 k的取值范围. 解:(1)由题意知 f(0)=2,g(0)=2,f(0)=4,g(0)=4, 而 f(x)=2x+a,g(x)=ex(cx+d+c), 故 b=2,d=2,a=4,d+c=4, 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1), 设 F(x)=kg(x)-f(x)
9、=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 F(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1), 由题设得 F(0)0,即 k1, 令 F(x)=0,得 x1=-ln k,x2=-2, 当 1k0, 即 F(x)在(-2,+)上单调递增,而 F(-2)=0,故当 x-2时,F(x)0,即 f(x)kg(x)恒成立. 当 ke2时,F(x)=2e2(x+2)(ex-e2), F(-2)= - -2 时,f(x)kg(x)不恒成立, 综上,k 的取值范围是1,e2). (2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理 21)已知函 数 h(x)=
10、xln x,(x)= (a0). (1)求 g(x)= (t)dt; (2)设函数 f(x)=h(x)-g(x)-1,试确定 f(x)的单调区间及最大最小值; (3)求证:对于任意的正整数 n,均有 成立. (1)解:g(x)= (t)dt= dt= - . (2)解:h(x)=(xln x)=ln x+1(x0), f(x)=ln x+1- - -1=ln x- - (x0), f(x)= - - - (x0), a0,函数 f(x)在区间(0,a)上单调递减,在区间(a,+)上单调递增, 函数 f(x)的最小值为 f(a)=ln a,函数 f(x)无最大值. (3)证明:取 a=1,由(2
11、)知,f(x)=ln x- - f(1)=0, ln x - =1- ,即 1-ln x=ln ,亦即 , 分别取 x=1,2,n,得 , , 将以上各式相乘,得 . (2015甘肃省河西三校普通高中高三第一次联考,利用导数解决不等式的有关问题,解答题,理 19)设 函数 f(x)=x+ax2+bln x,曲线 y=f(x)过 P(1,0),且在 P点处的切线斜率为 2. (1)求 a,b 的值; (2)证明:f(x)2x-2. (1)解:f(x)=1+2ax+ , 7 由已知条件,得 即, 解之,得 a=-1,b=3. (2)证明:f(x)的定义域为(0,+),由(1)知 f(x)=x-x2
12、+3ln x, 设 g(x)=f(x)-(2x-2)=2-x-x2+3ln x,则 g(x)=-1-2x+ =- - . 当 01 时,g(x)0 时,函数 g(x)0. f(x)2x-2 在(0,+)上恒成立. 专题 4 定积分在物理中的 应用 (2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,定积分在物理中的应用,选择题,理 8)曲线 y= 与直线 y=x-1 及 x=4所围成的封闭图形的面积为( ) A.2ln 2 B.2-ln 2 C.4-ln 2 D.4-2ln 2 解析:令 x=4,代入直线 y=x-1 得 A(4,3),同理得 C( ). 由 =x-1,解得 x=2, 所以曲线 y= 与直线 y=x-1交于点 B(2,1). S阴=S梯形ABEF-SBCFC 而 SBCFE= dx=2ln x =2ln 4-2ln 2=2ln 2. S梯形ABEF= (1+3)2=4, 封闭图形 ABC 的面积 S阴=S梯形ABEF-SBCFE=4-2ln 2,故选 D. 答案:D
