1、2017-2018学年上海市青浦高中高三（上）开学数学试卷一.填空题1（3分）已知全集U=R，集合P=x|4x1|1，则UP= 2（3分）设函数的反函数为f1（x），则f1（x）的值域为 3（3分）向量=（3，4）在向量=（1，1）方向上的投影为 4（3分）已知，则tan= 5（3分）若抛物线x2=ay的焦点与双曲线的焦点重合，则a= 6（3分）若三阶行列式中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15，则|n+mi|（其中i是虚数单位，m、nR）的值是 7（3分）（文）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为 8（3分）五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有
2、种9（3分）在半径为R的球内有一内接正三棱锥，其底面上的三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点返回，则经过的最短路程是 10（3分）已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则= 11（3分）算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3，那么近似公式VL2h相当于
3、将圆锥体积公式中的近似取为 12（3分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x）=，若关于x的方程f（x）2+af（x）+=0，aR有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是 二.选择题13（3分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B之间的距离，李同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（已知角A、B、C所对边分别记作a、b、c）：测量A、C、b；测量a、b、C；测量a、b、A；则一定能确定A、B距离的方案个数为（）A3B2C1D014（3分）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A180B120C90D4515（3分）已知A、B
4、、C是单位圆上三个互不相同的点若，则的最小值是（）A0BCD16（3分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意，R，总有f（+）f（）+f（）=2015，则下列说法正确的是（）Af（x）+1是奇函数Bf（x）1是奇函数Cf（x）+2015是奇函数Df（x）2015是奇函数三.解答题17设在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，BAC=90，E，F依次为C1C，BC的中点（1）求异面直线A1B、EF所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离18已知函数（1）求方程f（x）=0的解集（2）当，求函数y=f（x）的值域19已知Sn为数列an的前n项和，（1）求
5、证：为等差数列；（2）若bn=，问是否存在n0，对于任意k（kN*），不等式bkbn0成立20已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称（）求双曲线C的方程；（）设直线y=mx+1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；（）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程21设h（x）=x+，其中m是不等于零的常数（1）m=1时，直接写出h（x）的值域；（2）求h
6、（x）的单调递增区间；（3）已知函数f（x），xa，b，定义：f1（x）=minf（t）|atx，xa，b，f2（x）=maxf（t）|atx，xa，b，其中，minf（x）|xD表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|xD表示函数f（x）在D上的最大值例如：f（x）=cosx，x0，则f1（x）=cosx，x0，f2（x）=1，x0，当m=1时，|h1（x）h2（x）|n恒成立，求n的取值范围2017-2018学年上海市青浦高中高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1（3分）已知全集U=R，集合P=x|4x1|1，则UP=【分析】根据题意，解|4x1|1可得集合P，由补集
7、的定义计算即可得答案【解答】解：根据题意，P=x|4x1|1=x|x或x0=（，0，+），又由全集U=R，则UP=（0，）；故答案为：（0，）【点评】本题考查集合的补集计算，关键是掌握集合补集的定义与性质2（3分）设函数的反函数为f1（x），则f1（x）的值域为（0，2【分析】反函数y=f（1）（x）值域分别是函数y=f（x）的定义域【解答】解：因为f1（x）的值域为函数的定义域，所以，解得0x2，即f1（x）的值域为 （0，2故答案是：（0，2【点评】本题考查了反函数，反函数y=f（1）（x）的定义域、值域分别是函数y=f（x）的值域、定义域3（3分）向量=（3，4）在向量=（1，1）方向上
8、的投影为【分析】由向量在向量方向上的投影定义，结合平面向量的数量积公式，知向量在向量方向上的投影为|cos，代入计算即可【解答】解：向量，=（1，1）；向量在向量方向上的投影为|cos=|=；故答案为：【点评】本题考查了平面向量在另一向量上的投影问题，是基础题4（3分）已知，则tan=【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，求得tan的值【解答】解：=，则tan=，故答案为：【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题5（3分）若抛物线x2=ay的焦点与双曲线的焦点重合，则a=8【分析】根据题意，求出双曲线的焦点坐标，分析抛物线的焦点坐标，结合题意即可得=2，解可得a的值，即
9、可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为，其焦点在y轴上，则c=2，则其焦点坐标为（0，2），抛物线x2=ay的焦点坐标为（0，），若抛物线的焦点与双曲线的焦点重合，则有=2，解可得a=8，故答案为：8【点评】本题考查双曲线、抛物线的标准方程，关键是求出双曲线的焦点坐标6（3分）若三阶行列式中第1行第2列的元素3的代数余子式的值是15，则|n+mi|（其中i是虚数单位，m、nR）的值是2【分析】表示出三阶行列式的第1行第2列元素的代数余子式，确定出m2+n2=4，再求|n+mi|【解答】解：三阶行列式的第1行第2列元素的代数余子式M12=14（m2+n2）=15，m2+n2=4，|n+mi
10、|=2故答案为：2【点评】此题考查了三阶行列式的第1行第2列元素的代数余子式，熟练掌握代数余子式的定义是解本题的关键7（3分）（文）设x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为8【分析】由约束条件左侧可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件左侧可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=3x+z，由图可知，当直线y=3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为32+2=8故答案为：8【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题8（3分）五位同学排成一排，
11、其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有24种【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有22（2+4）=24种情况；故答案为：24【点评】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法9（3分）在
12、半径为R的球内有一内接正三棱锥，其底面上的三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点返回，则经过的最短路程是【分析】球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个圆即可解决【解答】解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后
13、返回，则经过的最短路程为：一个半圆一个 圆，即：=故 答案为：【点评】本题考查球的内接多面体，球面距离，考查空间想象能力，是基础题解答的关键是从整体上考虑球面距离的计算10（3分）已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c=，可得F
14、（，0），渐近线方程为y=2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，），由直线OM：y=x和直线y=2（x），可得M（，），即有=故答案为：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和双曲线的方程的运用，考查向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题11（3分）算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式VL2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取3
15、，那么近似公式VL2h相当于将圆锥体积公式中的近似取为【分析】用L表示出圆锥的底面半径，得出圆锥的体积关于L和h的式子V=，令=，解出的近似值【解答】解：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L=2r，r=，V=令=，得=故答案为：【点评】本题考查了圆锥的体积公式，属于基础题12（3分）已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x）=，若关于x的方程f（x）2+af（x）+=0，aR有且仅有8个不同实数根，则实数a的取值范围是（，）【分析】求出f（x）的单调性，以及极值和值域，可得要使关于x的方程f（x）2+af（x）+=0，aR，有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的
16、两根均在（1，），由二次方程实根的分布，列出不等式组，解得即可【解答】解：当0x2时，y=x2递减，当x2时，y=（）x递增，由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数，则f（x）在（，2）和（0，2）上递减，在（2，0）和（2，+）上递增，当x=0时，函数取得极大值0；当x=2时，取得极小值1当0x2时，y=x21，0当x2时，y=（）x1，）要使关于x的方程f（x）2+af（x）+=0，aR，有且仅有8个不同实数根，设t=f（x），则t2+at+=0的两根均在（1，）则有，即为，解得a即有实数a的取值范围是（，）故答案为：（，）【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主要考查方程与函数的
17、零点的关系，掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题二.选择题13（3分）如图所示，为了测量某湖泊两侧A、B之间的距离，李同学首先选定了与A、B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案（已知角A、B、C所对边分别记作a、b、c）：测量A、C、b；测量a、b、C；测量a、b、A；则一定能确定A、B距离的方案个数为（）A3B2C1D0【分析】根据正余弦定理的使用条件进行判断【解答】解：对于，利用内角和定理先求出B=AC，再利用正弦定理=，解出c，对于，直接利用余弦定理cosC=即可解出c，对于，利用正弦定理=，此时B不唯一，故选：B【点评】本题考查了正余弦定理，即其适用条件，属于中档题14（3
18、分）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A180B120C90D45【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值【解答】解：由题意可得只有第六项的二项式系数最大，n=10故展开式的通项公式为Tr+1=2rx2r=2r，令=0，求得r=2，故展开式中的常数项是 22=180，故选：A【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题15（3分）已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点若，则的最小值是（）A0BCD【分析】由题意可得，点A在BC的垂直平分线
19、上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（x1，y1），+=1，且1y11根据 =22y1，再利用二次函数的性质求得它的最小值【解答】解：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x1，y1），则点C（x1，y1），1y11=（x1，y11），=（x1，y11），+=1=+2y1+1=（1）+2y1+1=22y1，当y1=时，取得最小值为，故选：C【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题16（3分）定义在R上的函数f（x）满足：对任意，R，总有f（+）f（）+f（）=2015
20、，则下列说法正确的是（）Af（x）+1是奇函数Bf（x）1是奇函数Cf（x）+2015是奇函数Df（x）2015是奇函数【分析】根据抽象函数的表达式，结合函数奇偶性的定义进行判断即可【解答】解：令=0，则f（0）f（0）+f（0）=2015，即f（0）=2015，令=，则f（0）f（）+f（）=2015，即f（）+f（）=4030，则f（）+2015=2015f（）=2015+f（），即f（x）+2015是奇函数，故选：C【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据抽象函数的表达式，利用赋值法是解决本题的关键三.解答题17设在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=AA1=2，BAC=90，E
21、，F依次为C1C，BC的中点（1）求异面直线A1B、EF所成角的大小（用反三角函数值表示）；（2）求点B1到平面AEF的距离【分析】（1）连接C1B，因为C1BEF，异面直线A1B、EF所成角与C1B、A1B所成角相等（2）利用平面AEF的一个法向量，建立空间坐标系，求出求点B1到平面AEF的距离【解答】解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），E（0，2，1），F（1，1，0）（2分）（1），（6分）（2）设平面AEF的一个法向量为，由得令a=1可得（10分），（13分）点B1到平面AEF的距离为（14分）【点评】此题主要考查异面
22、直线的角度及余弦值计算18已知函数（1）求方程f（x）=0的解集（2）当，求函数y=f（x）的值域【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据条件求得sin（x+）=，可得x的值（2）当，x+，利用正弦函数的定义域和值域求得函数y=f（x）的值域【解答】解：（1）函数=sinx+=sin（x+）+，sin（x+）=，x+=2k，或 x+=2k+，求得|x=+2k，或x=2k+，故方程f（x）=0的解集为 x|x=+2k或（2）当，x+，故当x+=时，函数取得最小值为+，当x+=时，函数取得最大值为1+，故函数y=f（x）的值域为 【点评】本题主要考查三角恒等变换，求正弦函数的值，正弦
23、函数的定义域和值域，属于基础题19已知Sn为数列an的前n项和，（1）求证：为等差数列；（2）若bn=，问是否存在n0，对于任意k（kN*），不等式bkbn0成立【分析】（1），可得=0，可得：Sn=2an+2n+1，n=1时，a1=4n2时，an=SnSn1，化为an2an1=2n，进而证明结论（2）由（1）可得：=n1可得bn=（2011n）2n通过作差：bn+1bn=（2009n）2n可得其单调性【解答】（1）证明：，=Sn+2an+2n+1=0，可得：Sn=2an+2n+1，n=1时，a1=4n2时，an=SnSn1=2an+2n+1，an2an1=2n，可得=1为等差数列，公差为1，
24、首项为2（2）解：由（1）可得：=2（n1）=n1an=（n+1）2nbn=（2011n）2n可知：bn+1bn=（2009n）2n可得n2009时，bn+1bn；n2009时，bn+1bnb1b2b2009=b2010b2011b2012存在n0=2009或2010，对于任意k（kN*），不等式bkbn0成立【点评】本题考查了数列递推关系、作差法、数列的单调性、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点为圆心，1为半径的圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y=x对称（）求双曲线C的方程；（）设直线y=mx+
25、1与双曲线C的左支交于A，B两点，另一直线l经过M（2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围；（）若Q是双曲线C上的任一点，F1F2为双曲线C的左，右两个焦点，从F1引F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程【分析】（）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kxy=0，由该直线与圆相切，知双曲线C的两条渐近线方程为y=x由此利用双曲线C的一个焦点为 ，能求出双曲线C的方程（）由，得（1m2）x22mx2=0令f（x）=（1m2）x22mx2直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（，0）上有两个不等实根由此能求出直线l在y轴上的截距b的取值范围（）若Q在双
26、曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|QF1|，若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|由此能求出点N的轨迹方程【解答】解：（）设双曲线C的渐近线方程为y=kx，则kxy=0该直线与圆相切，双曲线C的两条渐近线方程为y=x故设双曲线C的方程为又双曲线C的一个焦点为 2a2=2，a2=1双曲线C的方程为x2y2=1（）由得（1m2）x22mx2=0令f（x）=（1m2）x22mx2直线与双曲线左支交于两点，等价于方程f（x）=0在（，0）上有两个不等实根因此解得又AB中点为，直线l的方程为令x=0，得，（）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使|QT|=|Q
27、F1|，若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使|QT|=|QF1|根据双曲线的定义|TF2|=2，所以点T在以为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是由于点N是线段F1T的中点，设N（x，y），T（xT，yT）则，即代入并整理得点N的轨迹方程为x2+y2=1.【点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点解题时要认真审题，仔细解答21设h（x）=x+，其中m是不等于零的常数（1）m=1时，直接写出h（x）的值域；（2）求h（x）的单调递增区间；（3）已知函数f
28、（x），xa，b，定义：f1（x）=minf（t）|atx，xa，b，f2（x）=maxf（t）|atx，xa，b，其中，minf（x）|xD表示函数f（x）在D上的最小值，maxf（x）|xD表示函数f（x）在D上的最大值例如：f（x）=cosx，x0，则f1（x）=cosx，x0，f2（x）=1，x0，当m=1时，|h1（x）h2（x）|n恒成立，求n的取值范围【分析】（1）将m=1，写出h（x）的解析式，由基本不等式可知h（x）2，h（x）的值域；（2）求导，讨论m取值范围，判断函数的递增区间，（3）通过解不等式，比较出h（x）与h（4x）的大小，求出m（x）的解析式；求出M1（x），M2（x）求出M1（x）M2（x）的值域，求出t，n的范围【解答】解：（1）m=1时，h（x）=x+，x，5，h（x）的值域2，；（2）h，m0时，h（x）在，5递增；0时，h（x）在，5递增；25时，h（x）在，5递增；综上所述：当m0或，增区间为；当，增区间为；（3）依题意可得，h2（x）=h1（x）h2（x）=|h1（x）h2（x）|，【点评】本题考查抽象函数的定义域的求法：知f（x）的定义域为a，b，求f（mx+n）的定义域只要解不等式amx+nb即可、考查研究函数的单调区间时，若含参数一般需要讨论分段函数的处理方法是先分再合的策略，属于难题第19页（共19页）
