1、第8练突难点抽象函数与函数图象题型分析高考展望抽象函数即没有函数关系式，通过对函数性质的描述，对函数相关知识进行考查，此类题目难度较大，也是近几年来高考命题的热点对函数图象问题，以基本函数为主，由基本函数进行简单的图象变换，主要是平行变换和对称变换，这样的题目都离不开函数的单调性与奇偶性体验高考1(2015北京改编)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集是_答案x|1x1解析令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)的图象如图. 由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1f()，则a的取值范围是_答案解析f(x)是偶函数，且在(，0)上
2、单调递增，在(0，)上单调递减，f()f()，f(2|a1|)f()，2|a1|，|a1|，即a1，即a.4(2015浙江)已知函数f(x)则f(f(3)_，f(x)的最小值是_答案023解析f(f(3)f(1)0.当x1时，f(x)x3230，当且仅当x时，取等号；当x1时，f(x)lg(x21)lg 10，当且仅当x0时，取等号f(x)的最小值为23.高考必会题型题型一与函数性质有关的简单的抽象函数问题例1已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的_条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”
3、)答案充要解析f(x)在R上是偶函数，f(x)的图象关于y轴对称f(x)为0,1上的增函数，f(x)为1,0上的减函数又f(x)的周期为2，f(x)为区间14,043,4上的减函数f(x)为3,4上的减函数，且f(x)的周期为2，f(x)为1,0上的减函数又f(x)在R上是偶函数，f(x)为0,1上的增函数由知“f(x)为0,1上的增函数”是“f(x)为3,4上的减函数”的充要条件点评抽象函数的条件具有一般性，对待填空题可用特例法、特值法或赋值法也可由函数一般性质进行推理变式训练1已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足f()f(x1)f(x2)，且当x1时，f(x)0.(1)求f(1)的值
4、；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)2.解(1)令x1x20，代入f()f(x1)f(x2)，得f(1)f(x1)f(x2)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1.当x1时，f(x)0，f0，即f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在区间(0，)上单调递减(3)由ff(x1)f(x2)，得f()f(9)f(3)而f(3)1，f(9)2，原不等式为f(|x|)f(9)函数f(x)在区间(0，)上单调递减，|x|9，x9或x9.不等式的解集为x|x9或x9题型二与抽象函数有关的综合性问题例2对于函数f(x)，若在定
5、义域内存在实数x，满足f(x)f(x)，则称f(x)为“局部奇函数”(1)已知二次函数f(x)ax22x4a(aR)，试判断f(x)是否为“局部奇函数”？并说明理由；(2)若f(x)2xm是定义在区间1,1上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围解f(x)为“局部奇函数”等价于关于x的方程f(x)f(x)0有解(1)当f(x)ax22x4a(aR)时，方程f(x)f(x)0即2a(x24)0.因为方程有解x2，所以f(x)为“局部奇函数”(2)当f(x)2xm时，f(x)f(x)0可化为2x2x2m0，因为f(x)的定义域为1,1，所以方程2x2x2m0在1,1上有解令t2x，2，则2mt.设g
6、(t)t，t，2，则g(t)1，t，2当t时，g(t)0，故g(t)在(0,1)上为减函数；当t(1,2)时，g(t)0，故g(t)在(1,2)上为增函数所以函数g(t)t，t，2的值域为2，由22m，得m1，故实数m的取值范围是，1点评(1)让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质(2)解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等代替函数来解答问题，而导致出错要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数，而不是具体的某一个函数因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法变式训练2已知定义在0,1上
7、的函数f(x)满足：f(0)f(1)0；对所有x，y0,1，且xy，有|f(x)f(y)|xy|.若对所有x，y0,1，|f(x)f(y)|k恒成立，则k的最小值为_答案解析取y0，则|f(x)f(0)|x0|，即|f(x)|x，取y1，则|f(x)f(1)|x1|，即|f(x)|(1x)|f(x)|f(x)|xx，|f(x)|.不妨取f(x)0，则0f(x)，0f(y)，|f(x)f(y)|0，要使|f(x)f(y)|a的解集为_. 答案(0，)解析方法一由f(a1)0得解得a2，则不等式f(x)2或解得0xa的解集为(0，)方法二画出函数f(x)的图象，由图可得a11，即a2.由图象可得不
8、等式f(x)2的解集为(0，)点评(1)求函数图象时首先考虑函数定义域，然后考虑特殊值以及函数变化趋势，特殊值首先考虑坐标轴上的点(2)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质(3)在运用函数图象时要避免只看表象不联系其本质，透过函数的图象要看到它所反映的函数的性质，并以此为依据进行分析、推断，才是正确的做法变式训练3形如y(a0，b0)的函数因其图象类似于汉字中的“囧”字，故生动地称为“囧函数”若当a1，b1时的“囧函数”与函数ylg|x|的交点个数为n，则n_.答案4解析由题意知，当a1，b1时，y在同一坐标系中画出“囧函数
9、”与函数ylg|x|的图象如图所示，易知它们有4个交点高考题型精练1定义域为R的函数f(x)对任意x都有f(2x)f(2x)，且其导函数f(x)满足0，则当2a4时，f(2)，f(2a)，f(log2a)的大小关系为_答案f(2a)f(log2a)f(2)解析由函数f(x)对任意x都有f(2x)f(2x)，得函数f(x)的图象的对称轴为直线x2.因为函数f(x)的导函数f(x)满足0，所以函数f(x)在(2，)上单调递减，(，2)上单调递增因为2a4，所以1log2a242a.又函数f(x)的图象的对称轴为直线x2，所以f(2)f(log2a)f(2a)2两个函数的图象经过平移后能够重合，称这
10、两个函数为“同根函数”，给出四个函数：f1(x)2log2(x1)，f2(x)log2(x2)，f3(x)log2x2，f4(x)log2(2x)，则“同根函数”是_答案f2(x)与f4(x)解析f4(x)log2(2x)1log2x，f2(x)log2(x2)，将f2(x)的图象沿着x轴先向右平移2个单位得到ylog2x的图象，然后再沿着y轴向上平移1个单位可得到f4(x)的图象，故f2(x)与f4(x)为“同根函数”3设函数f(x)x|xa|，若对x1，x23，)，x1x2，不等式0恒成立，则实数a的取值范围是_答案(，3解析由题意分析可知条件等价于f(x)在3，)上单调递增，又f(x)x
11、|xa|，当a0时，结论显然成立；当a0时，f(x)f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(a，)上单调递增，0a3.综上，实数a的取值范围是(，34在平面直角坐标系中，若两点P，Q满足条件：(1)P，Q都在函数yf(x)的图象上；(2)P，Q两点关于直线yx对称，则称点对P，Q是函数yf(x)的一对“和谐点对”(注：点对P，Q与Q，P看作同一对“和谐点对”)已知函数f(x)则此函数的“和谐点对”有_对答案2解析作出函数f(x)的图象，然后作出f(x)log2x(x0)关于直线yx对称的函数的图象，与函数f(x)x23x2(x0)的图象有2个不同交点，所以函数的“和谐点对”有2对5对定义在0,
12、1上，并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为M函数：(1)对任意的x0,1，恒有f(x)0；(2)当x10，x20，x1x21时，总有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立则下列3个函数中不是M函数的个数是_f(x)x2；f(x)x21；f(x)2x1.答案1解析在0,1上，3个函数都满足f(x)0.当x10，x20，x1x21时：对于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2(xx)2x1x20，满足；对于，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)21(x1)(x1)2x1x210，不满足；对于，f(x1x2)f(x1)f(x2) ，满足综上，3个函数中不是M函数的个数是1
13、.6已知函数f(x)m|x|有三个零点，则实数m的取值范围为_答案(1，)解析函数f(x)有三个零点等价于方程m|x|有且仅有三个实根m|x|x|(x2)，作函数y|x|(x2)的图象，如图所示由图象可知m应满足：01，故m1.7设函数yf(x1)是定义在(，0)(0，)上的偶函数，在区间(，0)是减函数，且图象过点(1,0)，则不等式(x1)f(x)0的解集为_答案(，0(1,2解析yf(x1)的图象向右平移1个单位得到yf(x)的图象，由已知可得f(x)的图象的对称轴为x1，过定点(2,0)，定义域为(，1)(1，)，且函数在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，则f(x)的大致图象如
14、图所示不等式(x1)f(x)0可化为或由图可知符合条件的解集为(，0(1,28设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR恒有f(x1)f(x1)，已知当x0,1时，f(x)2x，则有2是函数f(x)的周期；函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是_答案解析在f(x1)f(x1)中，令x1t，则有f(t2)f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故正确；当x0,1时，f(x)2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在1,0上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增
15、函数，故正确；由知f(x)在0,2上的最大值f(x)maxf(1)2，f(x)的最小值f(x)minf(0)f(2)201，且f(x)是周期为2的周期函数，f(x)的最大值是2，最小值是1，故错误综上，所有正确命题的符号是.9已知函数yf(x)(xR)为奇函数，且对定义域内的任意x都有f(1x)f(1x)当x(2,3)时，f(x)log2(x1)，给出以下4个结论：函数yf(x)的图象关于点(k,0)(kZ)成中心对称；函数yf(x)是以2为周期的周期函数；当x(1,0)时，f(x)log2(1x)；函数yf(|x|)在(k，k1)(kZ)上单调递增，则正确结论的序号是_答案解析因为f(1x)
16、f(1x)，yf(x)(xR)为奇函数，所以f(1x)f(x1)，则f(2x)f(x)，所以yf(x)(xR)是以2为周期的周期函数，正确；所以f(2kx)f(x)，f(xk)f(xk)f(kx)，所以f(xk)f(kx)，即函数yf(x)的图象关于点(k,0)(kZ)成中心对称，正确；由知，函数f(x)的图象关于点(2,0)成中心对称，即f(x2)f(2x)又因为当x(1,0)时，2x(2,3)，所以f(x)f(x2)f(2x)log2(2x1)log2(1x)，正确；函数yf(|x|)是偶函数，在关于原点对称的区间上的单调性相反，所以不正确综上，正确结论的序号是.10已知g(x)x24，f
17、(x)为二次函数，满足f(x)g(x)f(x)g(x)0，且f(x)在1,2上的最大值为7，则f(x)的解析式为_答案f(x)x22x4或f(x)x2x4解析设f(x)ax2bxc(a0)，则由题意可得f(x)g(x)f(x)g(x)2ax22c2x280，得a1，c4.显然二次函数f(x)在区间1,2上的最大值只能在x1时或x2时取得当x1函数取得最大值7时，解得b2；当x2函数取得最大值7时，解得b，所以f(x)x22x4或f(x)x2x4.11已知函数f(x)|x24x3|.(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合Mm|使方程f(x)m有四个不相等的实根解f(x)作出
18、函数图象如图(1)函数的增区间为(1,2)，(3，)；函数的减区间为(，1)，(2,3)(2)在同一坐标系中作出yf(x)和ym的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)由图知0m1，Mm|0m112函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)f(x)为偶函数证明：令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x，有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)在D上为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数，0|x1|16，解得15x17且x1.x的取值范围是x|15x17且x1
