1、从这向东从这向东2000米。米。请问：去宝鸡职院请问：去宝鸡职院怎么走？怎么走？一、极坐标的概念第一节 极坐标与极坐标方程请分析上面这句话，他告诉了问路人请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？什么？从 这 向 东 走从 这 向 东 走 2 0 0 0 米 ！米 ！出发点出发点方向方向距离距离在生活中人们经常用方向和距离来表示在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用一点的位置。这种用方向方向和和距离距离表示平表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。基本思想。1、极坐标系的建立：、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，
2、叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位再选定一个长度单位和和角度单位角度单位及及它的正它的正方向方向（通常取逆时针（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XO2、极坐标系内一点的极坐标的规定、极坐标系内一点的极坐标的规定XOM 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用用 表示线段表示线段OM的长度，的长度，用用 表示从表示从OX到到OM 的的角度，角度， 叫做点叫做点M的的极径极径， 叫做点叫做点M的的极角极角，有序，有序数对数对（ ， ）就叫做就叫做M的的极坐标。极坐标。特别强调：特别强调： 表示线段表示线段O
3、M的长度，即点的长度，即点M到到极点极点O的距离；的距离； 表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。题组一题组一：说出下图中各点的极坐标：说出下图中各点的极坐标ABCDEFGOX46535342 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：特别规定： 当当M在极点时，它的极在极点时，它的极坐标坐标 =0， 可以取任意值。可
4、以取任意值。想一想？想一想？3、点的极坐标的表达式的研究、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，4请说出点请说出点M的极坐标的其的极坐标的其他表达式。他表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。本题点本题点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：4 2k+4 ，极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角(3,0)(6,2 )(3,)245(5,)(3,)(4, )365(6
5、,)3ABCDEFG 题组二：在极坐标系里描出下列各点题组二：在极坐标系里描出下列各点46535342 ABCDEFGOX4、1)、负极径的定义、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）负值。（？）对于点对于点M（ ， ）负极径时的规定：负极径时的规定：1作射线作射线OP，使，使 XOP= 2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM = OXP MOXP = /4M4.2负极径的实例负极径的实例在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点M（3， /4）的位置的位置1作射
6、线作射线OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM = 3说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：A AB BC CD DE EO OX X261211122323454.3、关于负极径的思考、关于负极径的思考“负极径负极径”真是真是“负负”的？的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的的。现在所说的“负极径负极径”中的中的“负负”到底到底是什么意思？是什么意思？ 把负极径时点的确定过程，与正极径时把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什
7、么相同，有点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？什么不同？4.4、正、负极径时，点的确定过程比较、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP1作射线作射线OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M，使，使 OM = 31作射线作射线OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的上取一点的上取一点M，使，使 OM = 3M画出点画出点 （3， /4） 和（和（3， /4）给定给定,在极坐标系中描点的方法：在极坐标系中描点的方法：先按极角先按极角找到找到极径所在的射线极径所在的射线，后，后按极径的正负和数值按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描
8、点。在这条射线或其反向延长线上描点。M4.5、负极径的实质、负极径的实质 从比较来看，负极径比从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射正极径多了一个操作，将射线线OP“反向延长反向延长”。OXPMOXPM 而反向延长也可以看成而反向延长也可以看成是旋转是旋转 ，因此，所谓因此，所谓“负负极径极径”实质是实质是管方向管方向的。这的。这与数学中通常的习惯一致，与数学中通常的习惯一致，用用“负负”表示表示“反向反向 ”。负极径小结：负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。练习：写出点练习：写出点 的负极径的极坐标的负极径的极坐标（6， ）6答：（答：（6， +）6或（或（6， +）
9、611特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为认为 0 。因为负极径只在极少数情况用。因为负极径只在极少数情况用。5、极坐标系下点的极坐标、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点探索点M（3， /4）的）的所有极坐标所有极坐标1极径是正的时候：极径是正的时候：423k，2极径是负的时候：极径是负的时候：)423k，（6、极坐标系下点与它的极坐标的对、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况应情况1给定（给定（ , ）,就可以在就可以在极坐标极坐标平面内确定唯一的平面内确定唯一的一点一点M。2给定平面上一点给定平面上一点M，但，但却有无数个极坐标与之对却有无
10、数个极坐标与之对应。应。原因在于：极角有无数个。原因在于：极角有无数个。OXPM(,)一般地一般地,若若(,)是一点的极坐标是一点的极坐标,则则(,+2k)、,+(2k+1)都可以都可以作为它的极坐标作为它的极坐标.如果如果限定限定0,02或或 ,那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就可以可以一一对应一一对应了了.2.在极坐标系中在极坐标系中,与与(,)关于极轴对称关于极轴对称的点是的点是( )A.(,) B.(,)C.(,) D.(,)CD题组三题组三 1. 在极坐标系中，与点在极坐标系中，与点(3, )重合重合的点是的点是( )6A.(3, ) B. (3, )
11、 C. (3, ) D. (3, ) 6665653.在极坐标系中在极坐标系中,与点与点(8, )关关于极点对称的点于极点对称的点 的一个坐标是的一个坐标是 ( )6A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ) 656665A二、曲线的极坐标方程1.曲线的极坐标方程的概念,.,xyxy 在平面上的一条曲线 在直角坐标系中可以用含有 和 的方程来表示同样,在极坐标系中,曲线也可以用含有 和 的方程来表示而且有些曲线在直角坐标系中不容易用 和 的方程表示,但在极坐标系中却可简单地用 和 的方程来表示这就要求我们在解决具体的曲线方程问题时 选择建立恰当的坐标系来得出方程.为了区
12、别这两类曲线方程,我们将曲线在直角坐标系中得出的方程称为标而在极坐标系中得出的方程称为标.直角坐方程,极坐方程利用点的直角坐标与极坐标间的互化公式,可将曲线的直角坐标方程与极坐标方程进行互化.2220.xyaa 将等轴双曲线化为极坐标方程例3,cos ,sin,xy 由公式 10-1 将代入方程 得:222222222cossin,cossin.aa所以 22cos2,a所以22.cos2a即.这就是所给的等轴双曲线的极坐标方程解22200.xyaxa将圆化为极坐标方程例4 ,:由公式 10-1 可得 2222cossin2cos0a所以22cos0,a所以02 cos0.a或0,2 cos0
13、 .a0aa因为表示点圆 与已知矛盾 应舍去 所以所求圆的极坐标方程为 解所以2 sin0,.aa 将化为直角坐标方程 并作出它的图像例52 sin,:a将方程 的两端乘以 得22sin .a又因为222,sin,xyy所以222.xyay即 2220 xyaaa ,0,107.caa 显然 这是一个圆心是半径是 的圆 如图所示图10-7 例5题图形xOyc 解 2.极坐标方程的作图 极坐标方程的作图与直角坐标方程、函数的作图一样，都可用描点法.(1)0 ;(2).2a a 作出下列极坐标方程的图像. 例6(1)0 ,;a aaOa 对于方程可以看出当 取任何值时的取值都是 因此方程的图像是以
14、极点 为圆心, 为半径的圆图10-8 1080a a图 例6题(1) 的图像xOaa,0a解(2),2,2.OBA 对于方程可以看出当 取任何值时 的取值都是因此方程的图像是通过极点且垂直于极轴的直线图10-91092图 例6题(2) 图形xO22AB,. 在极坐标系中 有时方程的形式简单 但所表示的曲线却比较复杂如果只用描点法,则需要求出曲线上相当多的点,才能画出整个曲线.为了作图的方便,我们先来了解曲线 对称性.31411,10 10 ,;,2.MMMMMMM 12 设 是极坐标系中任意一点 图是 关于极点的对称点 是 关于极轴的对称点; 是 关于直线的对称点 图10-10 极坐标系中的对
15、称关系xO21,M 2,M3,M 4,M ,f由以上点的对称关系 可得到曲线的对称关系见表10-1. = f线对称关表10 -1 曲的系以代替 ,方程不变以代替 ,方程不变曲线关于极点对称曲线关于极轴对称 以- 代替 ,同时以-代替 ,方程不变曲线关于 =对称21 cos0.aa作出方程的图像例7 coscos ,. 因为-所以用- 代替方程不变 因此这方程表示的曲线是关于极 轴对称的 0.将与 的对应值列表如下 表10-20对应表10 - 2 与 的值0060.13a40.29a30.5a2a231.5a341.71a561.87a2a解 依照上表作出各点并连成光滑的曲线,再根据对称性就可作
16、出所给方程的全部图像(图10-11),这曲线称为心形线.图10-11 心形线xO23462334562a3.极坐标方程的建立 ,.f 我们知道曲线可以看成是适合某种条件的点的轨迹.如果在极坐标系内用流动坐标将满足的条件表示成一个关系 式则这个关系 式就是曲 线的极 坐标方程 0,.A aa 求经过点,0 且而和极轴垂直的直线的极坐 标方程例8 10-12,.,2MOMOMAOMaOAM 如图所示,设是直线上任意一点.连接,则=又因为所以有c os 即 cosa .这就是所求直线的极坐标方程图10-12 例8图形xO,0A a,M 解OCa 设有一圆经过极点 ,圆心 在极轴上,半径为 ,求它的极
17、坐标方程.例9,10 13 ,2 ,2cos,2MOMMAOMAOMOMAOAaa 设 是圆上任意一点 图连接 及 则 因为 所以 即 2 cosa,这就是所求圆的极坐标方程 它与例4所化成的极坐标方 程一致.图10-13 例9图形xO,M AC解 *4.等速螺线及其方程 当一个动点沿着一条射线做等速运动，而射线又绕着它的端点做等角速旋转时，这个动点的轨迹叫做等速螺线（阿基米德螺线）.下面我们来建立等速螺线的极坐标方程.0010 14,.,0 ,.lOOxMMllO 如图所示 以射线 的端点为极点 射线的初始位置为极轴 设曲线上动点M的坐标为 动点在初始位置 的坐标为 在 上运动的速度为 绕
18、转动的角 速度为 ,t,M可以得出 经过时刻 点的 极径为:0t图10-14 等速螺线的极坐标系xO00,0M,M l:极角为t由于t所以0,:a令得00,0 .aaa为常数 且.这就是等速螺线的极坐标方程00,.,.MOa如果即动点 由极点 开始运动,那么这时 极径 与极角 成正比 0.aa下面我们来作等速螺线的图像,.2在方程中,以- 代替同时以代替方程不变 所以曲线关于直线对称 103 .0 将与 的对应值列表如下 表0 对应表10 - 3 与 的值,0,0,.10310 15,.a 由上表取值可以看出当 时 所以曲线由极点开点 又当 增大时 也随之增大, 每转一圈增加 2 , 也相应增
19、加 2 依照表可作出曲线如图所示 图中虚线表示 为负值时的曲线004a42a234a34a54a5432a3274a742 a2图10-15 等速螺线OxABCDCDEABCCOCCDEEAABCABCABCCDE如图10-16所示,一凸轮的轮廓线由和两段曲线组成. 为启动时从动杆与凸轮的接触点,凸轮轴心 与 点的距离为100mm.当凸轮按箭头方向做等角速转动时,要求:段推动从动杆向右做等速直线运动,其最大推程为10mm;当从动杆接触到轮廓线上点 时,由于弹簧的作用从动杆就向左移动到 ,开始与凸轮的段相接触,从动杆接触段时不动,试求凸轮的轮廓线段和段的极坐标例10 方程.图10-16 例10图
20、形10010OABCEDOOC 取凸轮轴心 为极点,以 为极轴,建立极坐标系. 因为CDE段的作用是将凸轮的等角速转动化为从动杆的等速直线运动,故曲线为等速螺线,设CDE段的 极坐标方程为0a100,0110,.,CE由于点和在曲线上 因此这两点的坐标都满足上述方程把它们分别代入方程 得下 列方程组:00,a100=110=:解此方程组得010100,.a解:CDE所以段的极坐标方程为10100,0, ,100,:ABCABC又因为从动杆接触段时不动 故段应为半径等于圆心在极点的圆弧 它的极坐标方程为100,2习 题思考题：课堂练习题：1.极坐标系是如何建立的？什么叫极坐标方程？2.平面上的点
21、极坐标如何表示？极角取值范围？21. 2,4,6,.63ABC在极坐标系中作出点: 2. 3, 3, 16 2 sin . ;0MNaa极把点化成直角坐标;把化成把极坐标方程化成直标角坐标方程坐3. ,0 , .c aa把圆心是半径是的圆化成极坐标方程答 案答 案答 案答 案答 案第二节 参 数 方 程,.,0.,x,yf x,yg 前面我们介绍了如何在直角坐标系或极坐标系内用流动坐标或来表示平面内一些曲线的方程但在实际问题中,有些曲线用以上的方法来表示比较困难,也就是说很难找到曲线所满足的0或的式子为此 我们将引入一个新变量来表示曲线方程,即:参数方程.一、参数方程的概念先来看下面的一个例子
22、.,.0以初速度并与水平面成 角发射炮弹 若不计空气的阻力求炮弹运动的轨迹方程 10 17,0.,.,M x yxyf x,yxyttTOTtTM0 如图所示 建立直角坐标系 设点为炮弹在运动中的任意一位置,可以看出,要用 和 之间的直接关系来表示炮弹运动的轨迹方程是比较困难的但是我们知道 炮弹运动的轨迹是由炮弹在各个时刻的位置所决定的.下面就来分析炮弹在任意位置的坐标 和 分别与时刻 之间的关系.如果不考虑地心引力,则经过时刻 ,炮弹运动到 ,于是=但事实上炮弹受地心引力的影响 不在点 而在点2.1cos ,sin,:2Mttgt00由于点的横坐标为纵坐标为因此我们就以方程组12cos01s
23、in2xtttytgt 00 ，2111,.0,.0,.gtttM x yttM x y来表示炮弹运动的轨迹方程 其中 是重力加速度 g=9.8m/s是炮弹落地的时刻对应于 的每一个值 就确定了炮弹相应的每一个位置因此 在上连续变化时就描出了炮弹运动的轨迹图10-17 炮弹运动规律的轨迹OxyTQ0cosv t0sinv t0v t,M x y,:M x yxyt从这个例子可以看出曲线上动点的轨迹可以用流动坐标 和 分别与另一个变量 的一组方程 11 3xx tatbyy t ， . !.来表示参数方程一般形式,Mt 同样 在极坐标系中曲线上的动点的轨迹可以用流动坐标 和 分别与另一个变量的
24、一组方程 11-4ttt ， .来表示 方程组（10-3）和方程组（10-4）叫做曲线的参数方程.变量t叫做参数. 在用参数方程表示曲线时，方程中的参数不一定是时间，也可以是其他的量，应当根据问题的具体条件适当地选定. 为了与曲线的参数方程有所区别，我们把表示曲线上点的坐标之间的直接关系的方程叫做曲线的普通方程.二、参数方程的作图在所给曲线的参数方程 x= x tatby= y t ，,中 先给参数t以某些可能取的值,求出x和y的对应值,这样就确定了曲线上的点,将这些点连成光滑的曲线,就是参数方程的图像.作出参数方程例1 x=tt y= t2，-+2.的图像.tt,xy 这里 可以取一切实数.
25、将 和 的对应值列表如下 表10-4 解t,x,y对应表表1 1 0 0 - - 4 4 的的值值txy描点作图时,可以不管表里第一行的数值,只需根据 和的值,就可以确定点的位置,图10-18就是所给参数方程 的图像.210182x tyt=图 参数方程的图像Oxy24yxtxy396244112000112443962三、化曲线的参数方程为普通方程曲线的参数方程： x= x tatby= y t ，.txytxy是通过参数 来间接表示 与 之间的关系如果从这两个方程能消去参数 ,那么就得到表示 与 间的直接关系的普通方程.例如,上面所述的炮弹运动的参数方程可以化为普通方程.已知炮弹运动的参数
26、方程为:12cos01sin2x=tttytgt 00，11 511 6105,:t从式解出 得cosxt0106 ,:代入式得21sincos2cosxxyg000化简得222tan2cosgyxx0.这就是炮弹运动轨迹的普通方程这个方程的右边是x的二次式,轨迹是抛物线,抛物线的名称就是由此而来的.把参数方程例2 2sin,cosxttyt=为参数=107108,.化为普通方程 并说明它表示什么曲线将式 10-7 两边平方,得: 22sin10-9xt 109:再将式与式 10-8 两边相加得222sincos1.xytt:得普通方程21xy即2y=x 1-2,0,1 ,.cos,yytx显
27、然 它的图像是抛物线 顶点在对称轴为 轴 开口向下由于恒为正值或零 故参数方程的图像仅为 轴上方的部分,如图10-19所示.解2222,0,1,sec,sectanF x yx yxyxat tabxaty=bt 与曲线的参数方和化为普通方程的情况相反 若已知曲线的普通方程并给出某指定参变量分别与的函数关系 则曲线的普通方程也可化为参数方程.例如,已知双曲线设是参数将代入双曲线的普通方程,可得,因此:sectanx= aty=bt 就是所给双曲线的参数方程.(!参数方程是否一定可化为普通方程?反之呢?)2sin1019cosx =ty =t图 参数方程的图像11Oxy10,1四、曲线参数方程的
28、建立,txyt建立曲线的参数方程 除去由曲线的普通方程化为参数方程以外,通常是把曲线看作动点的轨迹,选取适当的参数 ,使曲线上点的流动坐标 与 或 与分别用与参数 的关系式来表示,下面我们来介绍一些常见曲线的参 数方程.1.椭圆的参数方程22221.,.,:xyM x,yababa, bMMAxAAOAAOxt设是椭圆上的任意一点.以原点为圆心,分别以 为半径作两个辅助圆 图10-20过 作直线 垂直于 轴 垂足为 交大辅助圆于 连接 设 则 图10-20 辅助圆作法示意OxyBBtAAMcos .,:sin .xOAatyA Mbt代入上述椭圆方程 得因此cossinx= atty=bt ，
29、-这是所给椭圆的参数方程.tM参数 叫做椭圆上点的偏心角 或离心角a=b当时,即得到圆的参数方程为：cossinx= atty= at ，-,1021 .atM x,yOMx它的圆心在原点 半径为 , 其中参数 通过圆上动点 半径 与 轴的正半轴所成的角 图 2.圆的渐开线的参数方程1022,MM如图所示 把一根没有伸缩性的绳子绕在一个固定的圆圈上,然后在绳子的端点处将绳子拉紧并逐渐拉开(这时绳的拉直部分和圆保持相切),这时绳 子的端点的轨迹叫做圆渐开线, 这个圆叫做渐开 圆 线的的基.x = aty = atcos图10-21 参数方程的图像sinOxyxtay,P x y图10-22 圆的
30、渐开线OxytrtNADMBC 下面我们分别在直角坐标系与极坐标系内建立圆的渐开线的参数方程.(1)O,r,A.OOAx直角坐标参数方程 如图10-22所示,设基圆的圆心为半径为 绳子全部绕在圆圈上时,端点为 取 为原点,过 的直线为 轴,建立直角 坐标系.M x,yBMOBBOx=tBM = BA=rt 设是渐开线上任意一点, 是切线,连接 ,取 为参数.由渐开线的定义,得 ,.MDxBNxMCBNMBCtM作轴,轴,则于是点的坐标为x=OD=ON+ND=ON+CM,y= DM = NC= NB-CB,cossinON = rt,NB= rt.因为sinsin ,coscosCMBMtrtt
31、 CBBMtrtt所以 cossinsincosx= rt+rttty= rt rtt，为参数-这就是圆的渐开线的直角坐标参数方程.(2),.OAMBMOBBOM =tBM = BA=rt 极坐标参数方程 如图10-23所示,取基圆的圆心 为极点,使极轴通过 点,建立极坐标系.设 为渐开线上任意一点 是基圆的切线,连接 、 ,取为参数.由渐开线的定义,得 ,OBM在直角三角形中,tancosrBMrtttan ,tan.rtrttt所以即于是得到圆的渐开线的极坐标参数方程为:costanrttt1023,0.2,.ttttMM 由图可知 极角 和极径都是随着 的变化而变化的 参数的取值范围是用
32、圆的渐开线作齿形曲线时, 叫做压力角.它的大小和点的位置有关,愈大点离轮心愈远压力角也愈大图10-23 极坐标系中圆的渐开线xAOB,M tr3.摆线的参数方程.rM设有一半径为 的圆,在一直线上滚动而无滑动.当圆滚动时,圆 周上定点的轨迹叫做摆线或 轮线 下面我们来建立它 的方程旋1024,.,.,.:,.,sin ,cos ,xMCxAMx yMBACMCBtMxODOADAOAMByDMACBCOA= AMrt ACr MBrtBCrt如图所示 取定直线为 轴 圆开始滚动时 点的位置为原点设圆在运动中任一位置时圆心为 并与 轴相切于 点圆上的定点 的坐标为作 为参数于是得点 的坐标为因为
33、 所以sin1 cosxr ttt xt tMrrtM 参数 是圆的半径所转过的角度 叫做滚动角.当在原点时,0;当圆向 轴正向滚动时,0;当圆向 轴负向滚动时,0.当由0变到2 时点就画出了摆线的一支 称为一拱 拱高为2 ,宽为2,当由2 变到时点又画了相同的一支.因此摆线是由无限多支彼此相同的分支所组成.图10-24 摆线xOytMDABCrrr2 r习 题思考题：课堂练习题： ,.xf ttyg tt在参数方程或中的参数应如何理解2321.2xttyt把参数方程 ( 为参数)化为普通方程.2cos2.,sinxtyt把化为普通方程 并说出图象情况.22223. 1, csc .xyxat
34、tab已知为参数 写出参数方程答 案答 案答 案答 案*第三节 数学实验二 利用Mathematica绘制一元函数图形一元函数图形的绘制1.学会Mathematica命令 （1）Mathematica的绘图命令调用格式为Plot表达式，自变量，下限，上限，可选项，其中表达式是需要绘制其图形的函数的表达式，下限和上限表示自变量的取值范围. Plot表达式1，表达式2,，自变量，下限，上限，可选项，在一个坐标系中绘制由表达式1、表达式2等表示的若干个函数的图形. 可选项可以有也可以没有，没有可选项时系统按默认值处理.它的表示方法是：可选项名可选项的值比如可选项PlotRange,它表示坐标轴的显示
35、范围，系统默认值是Automatic可以指定坐标轴的显示范围：,yyxxyy PlotRange轴最小值轴最大值或PlotRange轴最小值轴最大值轴最小值, 轴最大值可选顶AspectRatio表示坐标轴的纵横比例，即纵坐标轴长度单位，横坐标轴长度单位 (2)x t ,y ttx= xy= y t ParametricPlot可以绘制二维参数图形 Parametri-cPlot, ,下限,上限,可选项,绘制由参数方程t所确定函数的图形.ParametricPlot和Plot具有一 样的可选项.(3) 使用Show函数可以重绘或修改原来的函数图形,如Show%. 2.绘制一元函数图形tanyx
36、 画出 =的图像.例1 xx 输入命令:Plot Tan, ,-2Pi,2Pi解tan.yx执行后可得函数 =的图像 图10-26图10-26 例1示意xOy2462461020301020302ln2ln1.yxyxx 在同一坐标系中画出函数 =ln 和的图形例2 2 ,2 1, 3,3xxxx 输入命令:PlotLog AbsLogLogSqrt解2ln2,ln1( 1027).yxyxx执行后可得 =ln的图形 图图10-27 例2示意xOy123321112323log3xy xx5研究函数 =e在区间 -2,2 上图形的特性.例3 532,3, 2,2xxxx 输入命令: PlotE
37、Log解223log33log32,2xxy xxy xx55 执行后可得 =e在区间 -2,2 上图形(图10-28),从图形上看,曲线沿x轴正向上升,因而函数 =e在区间上单调增加.图10-28 例3示意xOy112040203.y= xx7 画出函数在区间 -5,5 上的图形例473, 5,5xx x Plot解1029,:%,10,10 x 从图上看 该曲线似乎沿 轴正向上升 事实上重新设定坐标轴的显示范围可以看出这是不对的 ShowPlotRange 图10-29 例4示意xOy24242004006006004002001030,如图所示 可见只根据函数图形来给出结论是不一定正确的
38、 这是因为任何软件都有局限性.作图范围选得太大,图形失真的可能性就会越大.我们在绘制函数图形的过程中要注意多取几个不同的范围,以便考察函数图形 的真正特征.图10-30 例4示意xOy24242.557.5102.557.53.绘制参数方程所确定函数的图形2cos2sinxt yt 画出圆 =, =的图形.例5 Cos,2Sin, ,0,2tttParametricPlot2Pi解 1031,.从图上看是一椭圆 这是因为横坐标轴和纵坐标轴的长度单位不同.重新设定坐标轴的纵横比例,可以看出这是一个半径为2的圆 图10 -32 %,1 ShowAspectRatio图10-31 例5示意xOy12
39、121212图10-32 例5示意xOy12121212习 题思考题：课堂练习题： 利用Mathematica软件绘图命令调用格式是什么：下限、上限是什么意思.Plot表达是数学意义的函数吗？在计算机操作学会Mathematica命令.答 案答 案 部 分思考题解答：1. , ,(); ,0 ,. . OOXF 在平面内任取一定点引一条射线再取定一个单位长度和角的正方向 通常取逆时针方向 这样就构成一个极坐标系 平面内的一条曲线可以用含有,这两个变量的方程来表示 这种方程叫曲线的极坐标方程必要时,也可取负值 返 回思考题解答：2. , , 0, 0 . ,2 M 平面上任一点极坐标,其叫极径
40、一般都是叫极角在取值返 回课堂练习题解答：1.,如图 也可用极坐标纸画.x436ABC返 回课堂练习题解答：cos2., 3cos,3sin.sin66xxyy 223 33,.22tan,0 xyMyxx直角坐标又由223312.tan.3 1111=2,2,.666NN又 是第四象限的点, 极坐标2sin2sin .aa 将方程 =2两边同乘以 ,2220 xyay a得出直角坐标方程.返 回3.,2 ,cos ,2 co s .O,AOAa MOMAMOMOAa 由已知圆心在极轴上,圆过极点设圆与极轴另一交点为则为圆上任一点.如图 得即极坐标方程: =OMxAC2a课堂练习题解答：返 回
41、:1.,.2.3.4.,.t应从以下几个方面理解参数一般用 它可是物理 几何等意义的变量 也可是没有明显意义变量参数方程在物理中称运动方程参变量要注意取值范围消去参数可得到普通方程反之 选择适当参数也可把普通方程化为参数方程思考题解答：返 回课堂练习题解答：23632623 1. 2 8 , 2 4 ,1 2 . xtxtytytyx将立方得将平方得两式相除返 回22. cos sin xtyt把平方后与相加得:221, sin0.xyyt又 .x它是仅在轴上方的抛物线部分课堂练习题解答：返 回2223. csc1, cot .ytybtb代入即csc:.cotxatybt参数方程为课堂练习题
42、解答：返 回Mathematica软件绘制图命令调用格式为:,;Plot 表达式,自变量,下限,上限 可选项Mathematica系统里的函数Plot用于画一元函数的图形.它不是一个具有数学意义的函数,而是一个能够完成一些工作的操作. :sin,2pisin0,2.xxf xx如:In 1Plot就得到一元函数在上的图形其中下限和上限表示自变量的取值范围思考题解答：返 回3一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极坐标有否统一的表达式？小结小结1建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。它的正方向。2极坐标系内一点的极坐标有多少种极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。无数，极径有正有负；极角有无数个。有。（有。（，2k+）作作 业业优化设计优化设计P13 1,2,3,4预习：预习： 极坐标与直角坐标极坐标与直角坐标的互化的互化
