1、第九章解析几何9.4直线与圆、圆与圆的位置关系专题1直线与圆的位置关系(2015辽宁鞍山一模,直线与圆的位置关系,选择题,理6)直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.相交或相切解析:由题设知圆心到直线的距离d=|a+b|a2+b2,而(a+b)22(a2+b2),得d2,圆的半径r=2,所以直线ax+by+a+b=0与圆x2+y2=2的位置关系为相交或相切.答案:D9.5椭圆专题3直线与椭圆的位置关系(2015沈阳一模,直线与椭圆的位置关系,解答题,理20)如图所示,椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),其中e=12,焦距为2,过点M(4,
2、0)的直线l与椭圆C交于点A,B,点B在AM之间.又点A,B的中点横坐标为47,且AM=MB.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求实数的值.解:(1)由条件可知,c=1,a=2,故b2=a2-c2=3,椭圆的标准方程是x24+y23=1.(2)由AM=MB,可知A,B,M三点共线,设点A(x1,y1),点B(x2,y2).若直线ABx轴,则x1=x2=4,不合题意.当AB所在直线l的斜率k存在时,设直线l的方程为y=k(x-4).由y=k(x-4),x24+y23=1,消去y,得(3+4k2)x2-32k2x+64k2-12=0.由的判别式=322k4-4(4k2+3)(64k2-12)=144
3、(1-4k2)0,解得k2b0)的离心率等于32,点P(2,3)在椭圆上.(1)求椭圆C的方程.(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B,过点Q(2,0)的动直线l与椭圆C相交于M,N两点,是否存在定直线l:x=t,使得l与AN的交点G总在直线BM上?若存在,求出一个满足条件的t值;若不存在,说明理由.解:(1)椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率等于32,点P(2,3)在椭圆上,ca=32,4a2+3b2=1,a2=b2+c2,解得a2=16,b2=4,c=23.椭圆C的方程为x216+y24=1.(2)当lx轴时,M(2,3),N(2,-3),直线AN,BM的方程分别为y=3-6
4、(x+4),y=32-4(x-4).分别化为3x+6y+43=0,3x+2y-43=0.联立解得G(8,-23).猜测常数t=8.即存在定直线l:x=t,使得l与AN的交点G总在直线BM上.证明:当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-2),M(x1,y1),N(x2,y2),G(8,t).联立y=k(x-2),x2+4y2=16,化为(1+4k2)x2-16k2x+16k2-16=0.x1+x2=16k21+4k2,x1x2=16k2-161+4k2.AG=(12,t),AN=(x2+4,y2),三点A,N,G共线,t(x2+4)-12y2=0,t=12y2x2+4=12k(x2-2)
5、x2+4.由于BG=(4,t),BM=(x1-4,y1),要证明三点B,M,G共线,即证明t(x1-4)-4y1=0,即证明12k(x2-2)(x1-4)x2+4-4k(x1-2)=0,而3(x2-2)(x1-4)-(x1-2)(x2+4)=2x1x2-10(x1+x2)+32=32(k2-1)1+4k2-160k21+4k2+32=0,12k(x2-2)(x1-4)x2+4-4k(x1-2)=0成立.存在定直线l:x=8,使得l与AN的交点G总在直线BM上.综上可知:存在定直线l:x=8,使得l与AN的交点G总在直线BM上.(2015辽宁大连二十四中高考模拟,直线与椭圆的位置关系,解答题,理
6、20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且过点2,22.(1)求椭圆C的方程.(2)设不过原点O的直线l:y=kx+m(k0),与该椭圆交于P,Q两点,直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,满足4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.解:(1)依题意可得(2)2a2+222b2=1,ca=32,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆C的方程是x24+y2=1.(2)当k变化时,m2为定值,证明如下:由y=kx+m,x24+y2=1,得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.设P(x1,y1
7、),Q(x2,y2),则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2.直线OP,OQ的斜率依次为k1,k2,且4k=k1+k2,4k=y1x1+y2x2=kx1+mx1+kx2+mx2,得2kx1x2=m(x1+x2).将代入得m2=12.经检验满足0.9.6双曲线专题1双曲线的定义与标准方程(2015辽宁鞍山一模,双曲线的定义与标准方程,填空题,理16)设A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)和双曲线x2a2-y2b2=1的公共顶点,P,M分别为双曲线和椭圆上异于A,B的两动点,且满足AP+BP=(AM+BM),其中R,|1,设直线AP,BP,AM,BM的斜率
8、分别为k1,k2,k3,k4且k1+k2=5,则k3+k4=.解析:如图所示,AP+BP=(AM+BM),其中R,|1,-2PO=(-2MO),O,M,P三点共线.设P(x1,y1),M(x2,y2),y1x1=y2x2=k0,则x12a2-y12b2=1,x22a2+y22b2=1,x12-a2a2=y12b2,x22-a2a2=-y22b2.k1+k2=5,5=y1x1+a+y1x1-a=2x1y1x12-a2=2x1y1a2y12b2=2b2a21k.k3+k4=y2x2+a+y2x2-a=2x2y2x22-a2=-2b2a21k=-5.答案:-5专题2双曲线的几何性质(2015沈阳一模
9、,双曲线的几何性质,填空题,理13)若双曲线E的标准方程是x24-y2=1,则双曲线E的渐近线的方程是.解析:双曲线E的标准方程是x24-y2=1,则a=2,b=1.即渐近线方程为y=bax,即为y=12x.答案:y=12x(2015辽宁抚顺重点高中协作体高考模拟,双曲线的几何性质,选择题,理4)若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线方程为y=3x,则双曲线的离心率为()A.3B.2C.5D.7解析:由题意,ba=3,故双曲线的离心率e=ca=1+ba2=2.答案:B(2015辽宁大连二十四中高考模拟,双曲线的几何性质,选择题,理10)已知F1,F2分别是双曲线x2a2-y2b2
10、=1(a0,b0)的左、右焦点,过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M,若点M在以线段F1F2为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2)B.(3,+)C.(3,2)D.(2,+)解析:双曲线x2a2-y2b2=1的渐近线方程为y=bax,不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=ba(x-c),与y=-bax联立,可得交点Mc2,-bc2a,点M在以线段F1F2为直径的圆外,|OM|OF2|,即有c24+b2c24a2c2,b23a2,c2-a23a2,即c2a.则e=ca2.双曲线离心率的取值范围是(2,+).答案:D(2015东北哈尔滨
11、师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,双曲线的几何性质,选择题,理8)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,焦点F到一条渐近线的距离为d,若|FB|3d,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,2B.2,+)C.(1,3D.3,+)解析:设F(c,0),B(0,b),一条渐近线的方程为bx+ay=0,则d=bcb2+a2=b,|FB|=b2+c2.因为|FB|3d,所以b2+c23b,所以c22c2-2a2,所以2a2c2,所以10)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为.解析:如图,抛物线C的方程为y2=2px(p0),焦点F坐标
12、为p2,0,可得|OF|=p2.以MF为直径的圆过点(0,2),设A(0,2),可得AFAM.在RtAOF中,|AF|=4+p24,sinOAF=|OF|AF|=p24+p24.根据抛物线的定义,得直线AO切以MF为直径的圆于A点,OAF=AMF,可得RtAMF中,sinAMF=|AF|MF|=p24+p24,|MF|=5,|AF|=4+p24,4+p245=p24+p24,整理得4+p24=5p2,解之可得p=2或p=8.因此,抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x.答案:y2=4x或y2=16x(2015东北哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校一模,抛物线的几何性质,选择题,
13、理3)点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,则a的值为()A.14B.-112C.14或-112D.-14或112解析:抛物线y=ax2化为标准形式为x2=1ay,它的准线方程为y=-14a.点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,可得1+14a=2,解得a=14或-112.答案:C9.8直线与圆锥曲线专题4圆锥曲线中的存在、探索性问题(2015辽宁鞍山一模,圆锥曲线中的存在、探索性问题,解答题,理20)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1,F2,短轴两个端点为A,B,且四边形F1AF2B是边长为2的正方形.(1)求椭圆的方程.(2)若C,D分别
14、是椭圆的左、右端点,动点M满足MDCD,连接CM,交椭圆于点P.证明OMOP为定值.(3)在(2)的条件下,试问x轴上是否存在异于点C的定点Q,使得以MP为直径的圆恒过直线DP,MQ的交点?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)a=2,b=c,a2=b2+c2,b2=2.椭圆方程为x24+y22=1.(2)C(-2,0),D(2,0),设M(2,y0),P(x1,y1),则OP=(x1,y1),OM=(2,y0).直线CM:y=y04(x+2),即y=y04x+12y0,代入椭圆方程x2+2y2=4,得1+y028x2+12y02x+12y02-4=0.x1=-124(y02-8)y02+8,x1=-2(y02-8)y02+8,y1=8y0y02+8,OP=-2(y02-8)y02+8,8y0y02+8.OPOM=-4(y02-8)y02+8+8y02y02+8=4y02+32y02+8=4(定值).(3)设存在Q(m,0)满足条件,则MQDP.MQ=(m-2,-y0),DP=-4y02y02+8,8y0y02+8.则由MQDP=0得-4y02y02+8(m-2)-8y02y02+8=0,从而得m=0.存在Q(0,0)满足条件.11
