1、7.6 圆形薄板的横向振动分析圆形薄板的横向振动，采用分析圆形薄板的横向振动，采用极坐标最方便，如图极坐标最方便，如图7-17所示。所示。极坐标与直角坐标的关系为极坐标与直角坐标的关系为由此得到由此得到7.6 圆形薄板的横向振动利用上述关系，可以得出利用上述关系，可以得出（7-85）7.6 圆形薄板的横向振动同样能得出（7-87）（7-86）7.6 圆形薄板的横向振动于是，式（于是，式（7-46）所示的薄板振动方程）所示的薄板振动方程（7-47）在极坐标系中成为在极坐标系中成为（7-88）其中其中 7.6 圆形薄板的横向振动（7-42）（7-45）7.6 圆形薄板的横向振动（7-89）7.6
2、圆形薄板的横向振动 对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定对于圆形薄板，极坐标系的原点宜建立在圆心，假定圆板半径为圆板半径为a，那么在，那么在r=a处相应的边界条件分类如下处相应的边界条件分类如下固定边固定边简支边简支边自由边自由边（7-90）（7-48）（7-91）（7-49）（7-92）（7-50）7.6 圆形薄板的横向振动现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为现在来讨论圆板的自由振动，设圆板的主振动为（7-93）代入式（代入式（7-88）相应的自由振动方程，仍然得到）相应的自由振动方程，仍然得到其中其中式式(7-88)可改写为可改写为（7-94）（7-95）7.6 圆形薄板的
3、横向振动因而下列两个方程的解是式（因而下列两个方程的解是式（7-94）的解）的解设主振型设主振型（7-96）（7-97）（7-98）7.6 圆形薄板的横向振动为对应于为对应于n=0，振型是轴对称的；对应于，振型是轴对称的；对应于n=1及及n=2，圆板，圆板的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分的环向围线将分别具有一个及两个波，或者说，圆板讲分别有一根及两根径向节线；对应于别有一根及两根径向节线；对应于n=3,4，也以此类推。也以此类推。将式（将式（7-98）代入式（）代入式（7-96）及式（）及式（7-97），得到下列两个），得到下列两个常微分方程：常微分方程：（7-99）（7-1
4、00）7.6 圆形薄板的横向振动式（式（7-99）为）为n阶贝塞尔方程，其通解为阶贝塞尔方程，其通解为（7-101） 式（式（7-100）为）为n阶修正贝塞尔方程，其通解为阶修正贝塞尔方程，其通解为（7-102） 7.6 圆形薄板的横向振动这样，式（这样，式（7-94）的通解为）的通解为（7-103） （7-104）7.6 圆形薄板的横向振动R（r）表示的在）表示的在r=a处的边界条件可以这样得到，将式（处的边界条件可以这样得到，将式（7-98）代入式（）代入式（7-93），然后再代入式（），然后再代入式（7-90）至式（）至式（7-92），得出以下），得出以下边界条件边界条件：固定边固定边简
5、支边简支边自由边自由边（7-105）（7-106）（7-107）7.6 圆形薄板的横向振动例例7.1 试计算外边界固定的实心圆板不出现径向节线（节试计算外边界固定的实心圆板不出现径向节线（节径）时较低的前三阶固有频率。径）时较低的前三阶固有频率。7.6 圆形薄板的横向振动频率方程频率方程:当当n=0时，圆板不出现节径，上式为时，圆板不出现节径，上式为7.6 圆形薄板的横向振动0123456789-50050100150200rf(x)7.6 圆形薄板的横向振动 7.6 圆形薄板的横向振动 圆板的固有频率通常表示为圆板的固有频率通常表示为 7.6 圆形薄板的横向振动7.6 圆形薄板的横向振动7.
6、6 圆形薄板的横向振动7.6 圆形薄板的横向振动7.6 圆形薄板的横向振动7.6 圆形薄板的横向振动221()()(1)0nyxyxyxxnNcos( )( )( )sinnnnn J xJxY xnnNcos( )( )( ) limsinnnnn Nn J xJxY xn220( )( 1)2!1nmmnnmmxJxmnm221( )( )(1)0nyxyxyxx220()2!1nmnnmmxIxmnmnN2sinnnnIxIxKxnnN( )( )2( )limsinnnnnNIxIxKxnxjt tjx( )()nnnIxjJjx( )( )( )nny xAJ xBY x( )( )( )nny xAI xBK x7.6 圆形薄板的横向振动11( )( )2( )nnnJxJxJx112( )( )( )nnnJxJxJxx11( )( )2 ( )nnnYxYxY x112( )( )( )nnnYxYxYxx11( )( )2( )nnnIxIxIx112( )( )( )nnnnIxIxIxx11( )( )2( )nnnKxKxK x112( )( )( )nnnnKxKxKxx
