1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 数学归纳法及其应用 一、选择题 1.用数学归纳法证明 “2 n 2n 1 对于 n n0的正整数 n 都成立 ” 时 ， 第一步证明中的起始值 n0应取 ( ) A.2 B.3 C.5 D.6 解析 n 1 时 ， 21 2， 2 1 1 3， 2n 2n 1 不成立； n 2 时 ， 22 4， 2 2 1 5， 2n 2n 1 不成立； n 3 时 ， 23 8， 2 3 1 7， 2n 2n 1 成立 . n 的第一个取值 n0 3. 答案 B 2.某个命题与正整数有关 ， 如果当 n k(k N*)时该命题成立 ， 那么可以推出 n k 1
2、 时该命题 也成立 .现已知 n 5 时该命题成立 ， 那么 ( ) A.n 4 时该命题成立 B.n 4 时该命题不成立 C.n 5， n N*时该命题都成立 D.可能 n 取某个大于 5 的整数时该命题不成立 解析 显然 A， B 错误 ， 由数学归纳法原理知 C 正确 ， D 错 . 答案 C 3.利用数学归纳法证明不等式 “1 12 13 ? 12n 1n2(n2 ， n N )” 的过程中 ， 由 “ n k” 变到 “ n k 1” 时 ， 左边增加了 ( ) A.1 项 B.k 项 C.2k 1项 D.2k项 解析 左边增加的项为 12k 12k 1 ? 12k 1 1共 2k项
3、 ， 故选 D. 答案 D 4.对于不等式 n2 nn 1(n N )， 某同学用数学归纳法证明的过程如下： (1)当 n 1 时 ， 12 11 1，不等式成立 . (2)假设当 n k(k N )时 ， 不等式 k2 kk 1 成立 ， 当 n k 1 时 ， （ k 1） 2 k 1 k2 3k 2 （ k2 3k 2）（ k 2） （ k 2） 2 (k 1) 1. 当 n k 1 时 ， 不等式成立 ， 则上述证法 ( ) A.过程全部正确 B.n 1 验得不正确 C.归纳假设不正确 D.从 n k 到 n k 1 的推理不正确 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 在 n k 1
4、 时 ， 没有应用 n k 时的假设 ， 不是数学归纳法 . 答案 D 5.用数学归纳法证明 1 2 3 ? n2 n4 n22 ， 则当 n k 1 时左端应在 n k 的基础上加上 ( ) A.k2 1 B.(k 1)2 C.（ k 1）4（ k 1） 22 D.(k2 1) (k2 2) ? (k 1)2 解析 当 n k 时 ， 左端 1 2 3 ? k2. 当 n k 1 时 ， 左端 1 2 3 ? k2 (k2 1) (k2 2) ? (k 1)2， 故当 n k 1 时 ， 左端应在 n k 的基础上加上 (k2 1) (k2 2) ? (k 1)2.故选 D. 答案 D 二、
5、填空题 6.设 Sn 1 12 13 14 ? 12n， 则 Sn 1 Sn _. 解析 Sn 1 1 12 ? 12n 12n 1 ? 12n 2n， Sn 1 12 13 14 ? 12n. Sn 1 Sn 12n 1 12n 2 12n 3 ? 12n 2n. 答案 12n 1 12n 2 12n 3 ? 12n 2n 7. (2017宝鸡月考 )数列 an中 ，已知 a1 2， an 1 an3an 1(n N )， 依次计算出 a2， a3，a4， 猜想 an _. 解析 a1 2， a2 23 2 1 27， a3273 27 1 213， a42133 213 1 219.由此
6、， 猜想 an是以分子为 2， 分母是以首项为 1， 公差为 6 的等差数列 . an 26n 5. 答案 26n 5 8.凸 n 多边形有 f(n)条对角线 .则凸 (n 1)边形的对角线的条数 f(n 1)与 f(n)的递推关系式为 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 f(n 1) f(n) (n 2) 1 f(n) n 1. 答案 f(n 1) f(n) n 1 三、解答题 9.用数学归纳法证明： 1 122 132 ? 1n22 1n(n N ， n 2). 证明 (1)当 n 2 时 ， 1 122 542 12 32， 命题成立 . (2)假设 n k 时命题成立 ， 即
7、 1 122 132 ? 1k22 1k. 当 n k 1 时 ， 1 122 132 ? 1k2 1（ k 1） 22 1k 1（ k 1） 22 1k 1k（ k 1） 2 1k 1k 1k 1 2 1k 1， 命题成立 . 由 (1)(2)知原不等式在 n N ， n 2 时均成立 . 10.数列 an满足 Sn 2n an(n N ). (1)计算 a1， a2， a3， a4， 并由此猜想通项公式 an； (2)证明 (1)中的猜想 . (1)解 当 n 1 时 ， a1 S1 2 a1， a1 1； 当 n 2 时 ， a1 a2 S2 22 a2， a2 32； 当 n 3 时
8、， a1 a2 a3 S3 23 a3， a3 74； 当 n 4 时 ， a1 a2 a3 a4 S4 24 a4， a4 158. 由此猜想 an 2n 12n 1 (n N ). (2)证明 当 n 1 时 ， a1 1， 结论成立 . 假设 n k(k1 且 k N )时 ， 结论成立 ， 即 ak 2k 12k 1 ， 那么 n k 1 时 ， ak 1 Sk 1 Sk 2(k 1) ak 1 2k ak 2 ak ak 1， 2ak 1 2 ak. ak 1 2 ak2 2 2k 12k 12 2k 1 12k . 所以当 n k 1 时 ， 结论成立 . =【 ;精品教育资源文库
9、 】 = 由 知猜想 an 2n 12n 1 (n N )成立 . 11.(2017 昆明诊断 )设 n 为正整数 ， f(n) 1 12 13 ? 1n， 经计算得 f(2) 32， f(4) 2， f(8) 52， f(16) 3， f(32) 72， 观察上述结果 ， 可推测出一般结论 ( ) A.f(2n) 2n 12 B.f(n2) n 22 C.f(2n) n 22 D.以上都不对 解析 因为 f(22) 42， f(23) 52， f(24) 62， f(25) 72， 所以当 n1 时 ， 有 f(2n) n 22 . 答案 C 12.设 f(x)是定义在正整数集上的函数 ，
10、且 f(x)满足： “ 当 f(k) k2 成立时 ， 总可推出f(k 1)( k 1)2成立 ”. 那么 ， 下列命题总成立的是 ( ) A.若 f(1)1 成立 ， 则 f(10)100 成立 B.若 f(2)4 成立 ， 则 f(1)1 成立 C.若 f(3)9 成立 ， 则当 k1 时 ， 均有 f(k) k2成立 D.若 f(4)16 成立 ， 则当 k4 时 ， 均有 f(k) k2成立 解析 选项 A， B 的答案与题设中不等号方向不同 ， 故 A， B 错；选项 C 中 ， 应该是 k3时 ， 均有 f(k) k2成立；对于选项 D， 满足数学归纳法原理 ， 该命 题成立 .
11、答案 D 13.设平面上 n 个圆周最多把平面分成 f(n)片 (平面区域 )， 则 f(2) _， f(n)_.(n1 ， n N ) 解 析 易知 2 个圆周最多把平面分成 4 片； n 个圆周最多把平面分成 f(n)片 ， 再放入第 n 1 个圆周 ， 为使得到尽可能多的平面区域 ， 第 n 1 个应与前面 n 个都相交且交点均不同 ，有 n 条公共弦 ， 其端点把第 n 1 个圆周分成 2n 段 ， 每段都把已知的某一片划分成 2 片 ，即 f(n 1) f(n) 2n(n1) ， 所以 f(n) f(1) n(n 1)， 而 f(1) 2， 从而 f(n) n2 n 2. 答案 4
12、n2 n 2 14.数列 xn满足 x1 0， xn 1 x2n xn c(n N ). (1)证明： xn是递减数列的充要条件是 c 0； (2)若 0 c 14， 证明数列 xn是递增数列 . 证明 (1)充分性：若 c 0， 由于 xn 1 x2n xn c xn c xn， 数列 xn是递减数列 . 必要性：若 xn是递减数列 ， 则 x2 x1， 且 x1 0. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 x2 x21 x1 c c， c 0. 故 xn是递减数列的充要条件是 c 0. (2)若 0 c 14， 要证 xn是递增数列 . 即 xn 1 xn x2n c 0， 即证 xn c对任意 n1 成立 . 下面用数学归纳法证明： 当 0 c 14时 ， xn c对任意 n1 成立 . 当 n 1 时 ， x1 0 c 12， 结论成立 . 假设当 n k(k1 ， k N )时结论成立 ， 即 xk c. 因 为函数 f(x) x2 x c在区间 ? ? ， 12 内单调递增 ， 所以 xk 1 f(xk) f( c) c， 当 n k 1 时 ， xk 1 c成立 . 由 ， 知 ， xn c对任意 n 1， n N 成立 . 因此 ， xn 1 xn x2n c xn， 即 xn是递增数列 .
