1、第十二章概率与统计12.2古典概型与几何概型专题1古典概型的概率(2015江西南昌一模,古典概型的概率,填空题,理13)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中a没有放入A中的概率是.解析:利用排列组合求出基本事件的个数,代入古典概型的概率公式求解.将四封不同的信随机放入四个不同的信封中,每个信封至少有一封信的放法有A44=24种,其中信a放入A中的结果有A33=6种,故“信a没有放入A中”的概率为1-A33A44=1-624=1-14=34.答案:34专题3几何概型在不同测度中的概率(2015河北石家庄一模,几何概型在不同测度中的概率,选
2、择题,理8)已知O,A,B三地在同一水平面内,A地在O地正东方向2 km处,B地在O地正北方向2 km处,某测绘队员在A,B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点,用测绘仪进行测绘,O地为一磁场,距离其不超过3 km的范围内会对测绘仪等电子仪器形成干扰,使测量结果不准确,则该测绘队员能够得到准确数据的概率是()A.12B.22C.1-22D.1-32解析:以O为原点建立平面直角坐标系,如图,测绘受磁场干扰的范围是以原点为圆心,半径为3的圆及其内部区域,其方程为x2+y2=3,测绘点C所在的轨迹方程为x+y=2(0x2),因此测绘员获得数据不准确的概率为线段AB在圆内的长度与线段AB长度的比值.因
3、为线段AB的长度为22,而O到线段AB的距离为d=22=2,圆O截线段AB所得的弦的长度为2(3)2-(2)2=2,所以测绘员获得准确数据的概率为1-22,故选C.答案:C(2015江西南昌二模,几何概型在不同测度中的概率,填空题,理14)若在圆C:x2+y2=4内任取一点P(x,y),则满足yx2的概率是.解析:不等式组yx2表示的区域的面积为201(1-x2)dx=2x-13x3|01=43,所以其概率为434=13.答案:13(2015河北保定一模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理5)在边长为4的正方形ABCD内任取一点M,则AMB90的概率为()A.8B.1-8C.4D.1-4解
4、析:如图正方形的边长为4,图中白色区域是以AB为直径的半圆,当M落在半圆内时,AMB90,所以使AMB90的概率P=S半圆S正方形=122216=8.故选A.答案:A(2015河北石家庄二中一模,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理8)若从(0,e)内随机取两个数,则这两个数之积不小于e的概率为()A.1-1eB.1-2eC.1eD.2e解析:设这两个数为x,y,则所有基本事件应满足0xe,0ye,满足两个数之积不小于e的区域为0xe,0ye,xye,则其面积为e1e-exdx=(ex-elnx)|e1=e2-2e,所以所求概率为e2-2ee2=1-2e,故选B.答案:B(2015江西九校高
5、三联考,几何概型在不同测度中的概率,选择题,理9)已知P是ABC所在平面内一点,4PB+5PC+3PA=0,现将一粒红豆随机撒在ABC内,则红豆落在PBC内的概率是()A.14B.13C.512D.12解析:依题意,易知点P位于ABC内,作PB1=4PB,PC1=5PC,PA1=3PA,则有PB1+PC1+PA1=0,点P是A1B1C1的重心.SPB1C1=SPC1A1=SPA1B1,而SPBC=1415SPB1C1,SPCA=1315SPC1A1,SPAB=1314SPA1B1,因此SPBCSPCASPAB=345,即SPBCSPBC+SPCA+SPAB=33+4+5=14,即红豆落在PBC
6、内的概率等于14,故选A.答案:A12.4离散型随机变量的均值与方差专题2离散型随机变量的均值与方差(2015河北保定一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)小明参加某项资格测试,现有10道题,其中6道客观题,4道主观题,小明需从10道题中任取3道题作答.(1)求小明至少取到1道主观题的概率;(2)若所取的3道题中有2道客观题,1道主观题,设小明答对每道客观题的概率都是35,答对每道主观题的概率都是45,且各题答对与否相互独立,设X表示小明答对题的个数,求X的分布列和数学期望.解:(1)设事件A=“小明所取的3道题至少有1道主观题”.则有A=“小明所取的3道题都是客观题”.因为P(A
7、)=C61C103=16,所以P(A)=1-P(A)=56.(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=25215=4125;P(X=1)=C2135125115+25245=28125;P(X=2)=35215+C2135125145=57125;P(X=3)=35245=36125.X的分布列为X0123P4125281255712536125所以EX=04125+128125+257125+336125=2.(2015河北石家庄二中一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)在一次考试中,5名同学的数学、物理成绩如下表所示:学生ABCDE数学(x分)8991939597物
8、理(y分)8789899293(1)根据表中数据,求物理分y对数学分x的回归方程;(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选出2名参加一项活动,以X表示选中的同学中物理成绩高于90分的人数,求随机变量X的分布列及数学期望E(X).附:回归方程y=bx+a中,b=i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(xi-x)2,a=y-bx解:(1)x=89+91+93+95+975=93,y=87+89+89+92+935=90,i=15(xi-x)2=(-4)2+(-2)2+02+22+42=40,i=15(xi-x)(yi-y)=(-4)(-3)+(-2)(-1)+0(-1)+22+43=30,b
9、=3040=0.75,a=y-bx=20.25,物理分y对数学分x的回归方程为y=0.75x+20.25.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)=C22C42=16;P(X=1)=C21C21C42=23;P(X=2)=C22C42=16.故X的分布列为X012P162316EX=016+123+216=1.(2015河北衡水中学二模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某校为了解2015届高三毕业班准备报考飞行员学生的身体素质,对他们的体重进行了测量,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右前3个小组的频率之比为124,其中第二小组的频数为
10、11.(1)求该校报考飞行员的总人数;(2)若以该学校的样本数据来估计全省的总体数据,从全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人,设X表示体重超过60 kg的学生人数,求X的数学期望与方差.解:(1)设该校报考飞行员的总人数为n,前三个小组的频率为P1,P2,P3,则P2=2P1,P3=4P1,P1+P2+P3+5(0.017+0.043)=1,解得P1=110,P2=15,P3=25.由于P2=15=11n,故n=55.(2)由(1)知,一个报考学生的体重超过60公斤的概率为P=P3+5(0.017+0.043)=710,由题意知X服从二项分布,即XB3,710.P(X=k)=C3k710
11、k3103-k(k=0,1,2,3).EX=3710=2110,DX=3710310=63100.(2015江西九校高三联考,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某旅游景点推出了自动购票机,为了解游客买票情况及所需时间等情况,随机收集了该景点100位游客的相关数据,如表所示:(将频率视为概率)一次购票1张2张3张4张5张以上游客人数x2530y10所需时间(秒/人)3035404550已知这100位游客中一次购票超过2张的游客占55%.(1)求x,y的值;(2)求游客一次购票所需时间X的分布列和数学期望;(3)某游客去购票时,前面恰有2人在买票,求该游客购票前等候时间超过1.5分钟的概
12、率.解:(1)由题得30+y+10=55,即y=15,所以x=20.(2)X的可能取值为30,35,40,45,50,则P(X=30)=20100=15,P(X=35)=25100=14,P(X=40)=30100=310,P(X=45)=15100=320,P(X=50)=10100=110.则X的分布列为X3035404550P1514310320110即X的数学期望为EX=3015+3514+40310+45320+50110=38.5.(3)记A为事件“该游客购票前等候时间超过1.5分钟”,P(A)=P(x1=45)P(x2=50)+P(x1=50)P(x2=45)+P(x1=50)P
13、(x2=50)=320110+110320+110110=125.(2015河北石家庄一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)集成电路E由3个不同的电子元件组成,现由于元件老化,三个电子元件能正常工作的概率分别降为12,12,23,且每个电子元件能否正常工作相互独立,若三个电子元件中至少有2个正常工作,则E能正常工作,否则就需要维修,且维修集成电路E所需费用为100元.(1)求集成电路E需要维修的概率;(2)若某电子设备共由2个集成电路E组成,设X为该电子设备需要维修集成电路所需的费用,求X的分布列和期望.解:(1)三个电子元件能正常工作分别记为事件A,B,C,则P(A)=12,P(
14、B)=12,P(C)=23.依题意,集成电路E需要维修有两种情形:3个元件都不能正常工作,概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=121213=112;3个元件中的2个不能正常工作,概率为P2=P(ABC+ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=121213+121213+121223=412=13.集成电路E需要维修的概率为P1+P2=112+13=512.(2)设为维修集成电路的个数,则B2,512,而X=100,P(X=100k)=P(=k)=C2k512k7122-k,k=0,1,2.X的分布列为X0100200P49144357225144EX=049
15、144+1003572+20025144=2503或EX=100E=1002512=2503.(2015河北唐山一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)小王在某社交网络的朋友圈中,向在线的甲、乙、丙随机发放红包,每次发放1个.(1)若小王发放5元的红包2个,求甲恰得1个的概率;(2)若小王发放3个红包,其中5元的2个,10元的1个,记乙所得红包的总钱数为X,求X的分布列和期望.解:(1)设“甲恰得一个红包”为事件A,P(A)=C211323=49.(2)X的所有可能值为0,5,10,15,20.P(X=0)=23223=827,P(X=5)=C2113232=827,P(X=10)=
16、13223+23213=627,P(X=15)=C2113223=427,P(X=20)=133=127.X的分布列为X05101520P827827627427127EX=0827+5827+10627+15427+20127=203.(2015江西南昌一模,离散型随机变量的均值与方差,解答题,理18)某市教育局为了了解高三学生体育达标情况,对全市高三学生进行了体能测试,经分析,全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80,2)(满分为100分),已知P(X75)=0.3,P(X95)=0.1,现从该市高三学生中随机抽取三位同学.(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间80,85),85,
17、95),95,100各有一位同学的概率;(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间75,85的人数为,求随机变量的分布列和数学期望E.解:(1)P(80X85)=0.5-P(X75)=0.2,P(85X95)=0.3-0.1=0.2,所以所求概率P=A330.20.20.1=0.024.(2)P(75X85)=1-2P(Xm)=0.3,则P(X6-m)=.解析:因为随机变量X服从正态分布N(3,2),所以曲线关于x=3对称.因为P(Xm)=0.3,所以P(X6-m)=1-P(X6-m)=0.7.答案:0.7(2015江西九校高三联考,正态分布下的概率,填空题,理13)已知随机变量X服从正态分布N(2,2),且P(X4)=0.8,则P(0X2)=.解析:依题意得P(X2)=0.5,P(0X2)=P(2X4)=P(X4)-P(X2)=0.8-0.5=0.3.答案:0.313
