1、耦合振动耦合振动 将光滑水平面上的两个弹簧振子用另一根弹簧联结起来时，这种系统称为耦合振子。 为简单计，设两个弹簧振子的劲度系数均为k，振子的质量均为m，另一根弹簧振子的劲度系数为K。如上图所示取弹簧各自的原长处为坐标零点，则运动方程： )(abaaxxKkxxm )(abbbxxKkxxm (1)(2)u由这两个方程的结构可看出，每个振子的加速度都与由这两个方程的结构可看出，每个振子的加速度都与 另一振子的位置有关，它们的运动彼此相关联，另一振子的位置有关，它们的运动彼此相关联， 即即两振子之间存在着耦合两振子之间存在着耦合。 u上述两个方程都不是简单的简谐振动方程，一般来说，即使上述两个方
2、程都不是简单的简谐振动方程，一般来说，即使 是两个全同的耦合振子，每个振子的运动也还是比较复杂的。是两个全同的耦合振子，每个振子的运动也还是比较复杂的。 分别把上述两微分方程相加和相减，得分别把上述两微分方程相加和相减，得:)()(22babaxxmkdtxxd)(2()(22babaxxmKmkdtxxd(3)(4)解以上两微分方程，令解以上两微分方程，令1qxxba2qxxba)(2121qqxa)(2121qqxb(5)(6)(7)(8)则上述两微分方程简化为则上述两微分方程简化为1212qmkdtqd2222)2(qmKmkdtqd(9)(10)这是两个标准的简谐振动之力方程，它们的通
3、解为这是两个标准的简谐振动之力方程，它们的通解为 上式中的上式中的A A1 1 A A2 2 1 1 2由耦合振子的初始条件决定。由耦合振子的初始条件决定。 )cos(1011tAq)cos(21)cos(2122101tAtAxa)cos(222tAq)cos(21)cos(2122101tAtAxb(11)(12)(13)(14)如上所述，在耦合振子系统中，有两个特征圆频率 简正模与简正频率简正模与简正频率 mk0mKmk2对于一定的初始条件，系统的每个振子都能以这两个特征圆频率中的某一个振动。系统中各个振子以相同的频率作简谐振动的方式，称为该系统的简正模简正模。每个简正模所对应的频率，称
4、为简正频率简正频率。 (9)(10)式是关于两个独立变量q1 和q2 的振动方程，描述了耦合振子系统的两种独立的运动，这就是简正模的另一种表述，这两个独立变量q1 和q2就称为简正坐标简正坐标。总之，简正模是一个多自由度运动的一些特殊的组合，是一些集体运动模式，它们彼此相互独立。如果初始运动状态符合某个简正模式，则系统将按此模式振动，其它模式将不激发；如果初始运动状态是任意的，则该系统的运动将是各简正模式按一定比例的叠加。(13)(14)式表明，每一个振子的坐标都可以表示为这两个独立的简正坐标的线性组合。可以证明，若质点系统的可以证明，若质点系统的自由度为自由度为N，则有，则有N个简正模和个简
5、正模和N个相应的简正频率。个相应的简正频率。一般而言，对应于运动的初始条件，系统中原子将以一定方式作N个简谐质点的组合振动组合振动。高阶项22221 )()()()(rUrUaUaUa泰勒展开泰勒展开1、形成一系列互相独立的形成一系列互相独立的格波格波u每一种格波都有一定的频率每一种格波都有一定的频率和波矢和波矢q ，由由色散关系色散关系 (q)决定二者关系决定二者关系该种格波是所有原子都共同参与的集体运动形式，称为该种格波是所有原子都共同参与的集体运动形式，称为:简正振动模式简正振动模式2、 独立格波的总数独立格波的总数=晶体中原子总自由度数晶体中原子总自由度数 u设晶体有设晶体有N个原胞个
6、原胞,每个原胞有每个原胞有S个原子，原子总数个原子，原子总数NS，每个原子，每个原子3个自由度个自由度总自由度总自由度=3NS，总格波数总格波数= 3NS.3、 简正振动模式总数为简正振动模式总数为3NS实际晶体中原子的振动很复杂，但是任何复杂的振动都可实际晶体中原子的振动很复杂，但是任何复杂的振动都可以分解为以分解为若干个简正振动模式的叠加若干个简正振动模式的叠加。或者说实际的振动。或者说实际的振动可以通过所有独立振动模式的某种线性组合来描述，就如可以通过所有独立振动模式的某种线性组合来描述，就如同由化学元素周期表中的各种元素的某种组合可以构成任同由化学元素周期表中的各种元素的某种组合可以构
7、成任何一种物质。何一种物质。描述描述3NS种独立种独立格波格波)(nnnnxxxdtxdm21122 ()it naqnxAe方程特解为：方程特解为：实际运动情况实际运动情况=独立格波线性组合独立格波线性组合运动方程是线性的运动方程是线性的普遍解普遍解=特解线性组合特解线性组合理论依据理论依据1)、格波作用下，晶体的能量：各原子动能、格波作用下，晶体的能量：各原子动能+相相互间的势能。互间的势能。2)、各原子相互间的势能项含有交叉项目。、各原子相互间的势能项含有交叉项目。3)、引进简正坐标消除交叉项，同时刚好转变、引进简正坐标消除交叉项，同时刚好转变为谐振子的形式。为谐振子的形式。4)、量子力
8、学、量子力学 谐振子模型的能量是量子化的。谐振子模型的能量是量子化的。简正振动法分析晶格振动的几大步骤简正振动法分析晶格振动的几大步骤NiNjijrurU)(21)(对于含有对于含有N个原子的三维晶格：个原子的三维晶格：),.,()(321NuuuUrU势能为位移偏移量的函数势能为位移偏移量的函数势能在平衡位置展开：势能在平衡位置展开：只保留只保留 ui 的二次项称作简谐近似。系统总能量中势能项中包含的二次项称作简谐近似。系统总能量中势能项中包含有依赖于两原子坐标的有依赖于两原子坐标的交叉项交叉项，这给理论表述带来了困难，这给理论表述带来了困难，同时，由于同时，由于ui 的变化可以是连续的，所
9、以的变化可以是连续的，所以总能量也是连续的总能量也是连续的。这是经典力学描述的结果。这是经典力学描述的结果。高阶项NjijijiNiiiuuuuUuuUUU31,023100)(21)(0)U(000iuU；jNjiijiuuuuUU31,02)(21势能表达式势能表达式动能表达式动能表达式23121iNiiumTjNjijiiaumQ31u为使系统的势能和动能表示更加简化，引入为使系统的势能和动能表示更加简化，引入简正坐标简正坐标： 简正坐标是数学上的一种处理方式，它是将简正坐标是数学上的一种处理方式，它是将各原子的原始物理坐标进行线性叠加、组合，从而各原子的原始物理坐标进行线性叠加、组合，
10、从而消除各原子的原始坐标的耦合（它反映了物理间的消除各原子的原始坐标的耦合（它反映了物理间的相互作用关系）。如将相互作用关系）。如将x1x2乘积项乘积项转化为转化为Q1和和Q2平方之和平方之和（Q1、Q2分别是分别是x1、X2的线性叠加），的线性叠加），消除物理坐标间的相关性，从而将方程中含有消除物理坐标间的相关性，从而将方程中含有Q1或或Q2分别提取出来，分别求解，数学上处理起来分别提取出来，分别求解，数学上处理起来相当方便简洁。相当方便简洁。简正坐标的意义简正坐标的意义u引入简正坐标的目的引入简正坐标的目的是为了使系统的势能函数和动能函是为了使系统的势能函数和动能函 数具有简单的形式，即化
11、为平方项之和而无交叉项数具有简单的形式，即化为平方项之和而无交叉项。NiiT312Q21NjiiiU31,22Q21iiim其中：u由于动能函数是由于动能函数是正定的正定的，根据线性代数理论，总可以，根据线性代数理论，总可以找到这样的线性变换，使动能和势能函数同时化为平找到这样的线性变换，使动能和势能函数同时化为平方项之和：方项之和：能量表达式的简化能量表达式的简化iiiLpQQNiNjiiii3131,222Q21-Q21U-TL简正坐标下的振动方程简正坐标下的振动方程NiNjiiiiUTE3131,222Q21Q21NiiiipEH31222)Q(21iiiLpQQ简正坐标下的振动方程简正
12、坐标下的振动方程可见，经过变换后的哈密顿量已经不包含交叉项，成为可见，经过变换后的哈密顿量已经不包含交叉项，成为我们所熟知的我们所熟知的经典谐振子经典谐振子哈密顿量之和，也就是说在新的坐哈密顿量之和，也就是说在新的坐标系里，系统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动，即标系里，系统的原子振动可以被描述成简谐振子的运动，即用简正坐标来描述独立的简谐振动。用简正坐标来描述独立的简谐振动。系统振动由系统振动由 3N个独立的谐振子来表述个独立的谐振子来表述任意简正坐标的解：任意简正坐标的解：NiiiiQpH31222)(21NiQQiii3,.3 , 2 , 102 )sin(0 tAQii简正坐标下的
13、振动方程简正坐标下的振动方程Njjijiiamu31Q1jNjijiiaumQ31格波的振动是格波的振动是3N个简正振动的线性叠加个简正振动的线性叠加)sin(Q0tAmamaujiijjiijiqqnaiqnetAtu)()()(qqnaineqNmqu)()(Q1)()()(tiqqeAtAtiqqeANmqQ)(qqnaineqQNqum)()(1)(qqnaineqQNmqu)()(1)(jNjijiiQaum31inqanqeNa1212)(2121nnnnnuuumUTEqqnaineqQNqum)()(1)(tiqqeANmqQ)(tiqqeANmqQ)(qqAAqq)()(qQ
14、qQ两个关系式的证明两个关系式的证明-qq ,-qq1)(1NnqqinaeN01)1 (1)(1111/22/2/21/21)(NnNliliNlinNliNnNlinNnqqinaeeeNeNeNeNNnqqqqinaeN1,)(1时：-qq =1NnqqqqinaeNqQqQ1,)(1)()() (2)1)()(21) ()()(12121qqnqqinanqinaqqinaqnneNqQqQeqQeqQNmmumTqqnaineqNmqu)()(Q1)(qqqQqQqQT2)(21)()(21 )1 () ( )1 ()(121)(21)(212121qiaqinaqnqiaqinaq
15、nnnnnneeqQeeqQNmuuuuUqqnaineqNmqu)()(Q1)( qiaqiaqnqqinaqqiaqiaqeqQeqQmeNeqQeqQmU)1)()1)(21)1)()1)(2) (22)(21)cos(22(2)()()1)(1 (2)()(qQaqmqQqQeemqQqQUqqqqiaqiaq qqqQqQH)()(21222u谐振子的解是大家熟知的：谐振子的解是大家熟知的：独立谐振子能量量子化是量子力学的结论独立谐振子能量量子化是量子力学的结论u而系统本征态的能量为而系统本征态的能量为.3 , 2 , 1 , 0)21( iiiinn.3 , 2 , 1 , 0)2
16、1(11 iNiiiNiinnE能量量子化能量量子化NiQQiii3,.3 , 2 , 102 通过经典力学，我们已经获得晶格振动频率通过经典力学，我们已经获得晶格振动频率的表达式。的表达式。可见，从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐可见，从量子力学的观点看，表征原子集体运动的简谐振子振子的能量是量子化的。的能量是量子化的。每个振动模式能量的最小单位每个振动模式能量的最小单位 被称为被称为声子声子（PhononPhonon）。）。这是晶格振动这是晶格振动量子理论量子理论最重要的结论。最重要的结论。 在经典理论中，势能函数是连续的，量子理论修正了这在经典理论中，势能函数是连续的，量子理论修
17、正了这个错误，而保留了经典理论中原子振动要用个错误，而保留了经典理论中原子振动要用集体运动集体运动方式方式描述的观点，描述的观点，因而按经典力学求出的因而按经典力学求出的色散关系色散关系是正确的，是正确的，量子理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的量子理论并没有改变其结论，只是对各模式振幅的取值取值做做了了量子化量子化的规定。的规定。.3 , 2 , 1 , 0)21(iiiinniEnergy, Eu 量子化u 固定的能级间隙.3 , 2 , 1 , 0)21( iiiinn谐振子的基态能量并不为谐振子的基态能量并不为0，而是大于，而是大于0:这个这个E0称为称为零零点能点能。当温度趋于绝
18、对零度时，晶格。当温度趋于绝对零度时，晶格振动处于基态，但按照量子力学的观点，作为量子谐振振动处于基态，但按照量子力学的观点，作为量子谐振子，它们依然振动着。子，它们依然振动着。能量量子化和零点能能量量子化和零点能的存在是量的存在是量子振子区别于经典振子的两大特点，它们都是粒子波动子振子区别于经典振子的两大特点，它们都是粒子波动性的体现。能量量子化由于粒子性的体现。能量量子化由于粒子de Broglie波的自身干波的自身干涉；零点能的存在是源于粒子涉；零点能的存在是源于粒子de Broglie波所固有的不波所固有的不确定关系。就平均而言，当粒子数越大，量子结果和经确定关系。就平均而言，当粒子数
19、越大，量子结果和经典结果越接近。典结果越接近。210E零点能零点能.3 , 2 , 1 , 0)21(iiiinnii21认为认为 为为ni个能量为个能量为 的激发态的量子作用在能量的激发态的量子作用在能量为为 的基态上所得到的激发态的能量的基态上所得到的激发态的能量i量子跃迁：212112nn12nn 吸收或者放出的吸收或者放出的声子声子声声 子子0)(qnj2n3n激发激发3倍倍 激发，过程产生了激发，过程产生了3个声子个声子1个个 损失（消灭）了损失（消灭）了1个声子个声子)(qj用声子来描述晶体与外界反应变化简单，方便，形象用声子来描述晶体与外界反应变化简单，方便，形象 比如光子进来，
20、激发晶体某种频率的格波比如光子进来，激发晶体某种频率的格波能级能级不稳定不稳定,接着跃迁接着跃迁数学上处理方便，物理概念清楚数学上处理方便，物理概念清楚)(qjjqp2、声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不、声子只是反映晶体原子集体运动状态的激发单元，它不 能脱离固体而单独存在，（与电子不同）它并不是一种真能脱离固体而单独存在，（与电子不同）它并不是一种真 实的粒子实的粒子, 为处理问题方便而引入的，只是一种为处理问题方便而引入的，只是一种准粒子。准粒子。1、当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是、当电子或光子与晶格振动相互作用时，总是以以 为为 能量单元交换能量。最小激发能量单元
21、能量单元交换能量。最小激发能量单元-元激发元激发3、声子的作用过程遵从能量守恒和、声子的作用过程遵从能量守恒和准动量守恒准动量守恒( )。准准 动动 量量NnnummvqP1)()(tqnainAeuNniqnatiemAeiqP1)(Nalq2NnNnlitiemAei12012)1(2122NlieNliNnNnlieeeli又因为又因为所以所以0)(qP声子不携带真实的物理动量声子不携带真实的物理动量qp经典角度，运动，有速度，有经典角度，运动，有速度，有动量动量vm格波：所有原子参与的集体行动的行波格波：所有原子参与的集体行动的行波不具备不具备vm正，负（半波长）相互抵消正，负（半波长
22、）相互抵消h光子（光子（photon）声子声子(phonon)统计特性统计特性玻色系统玻色系统玻色系统玻色系统粒子性粒子性电磁场的粒子电磁场的粒子晶体的机械能场的准粒子晶体的机械能场的准粒子波矢波矢kq动量动量 准动量准动量 能量能量 kqh声子的等价性声子的等价性)(tRqinleAnlu)(2)()()(tRqinmitRqinRKitRqintRKqinlllmllmeAeeAeeAeAnlu（因此因此nlunlu波矢相差为倒格矢的声子是等价的波矢相差为倒格矢的声子是等价的.3 , 2 , 1 , 0)21(11 iNiiiNiinnE声子振动与晶体的温度声子振动与晶体的温度（1）声子数
23、量越多，晶体温度越高）声子数量越多，晶体温度越高（2）高能量的声子数量越多，晶体温度越多）高能量的声子数量越多，晶体温度越多 TkEbe-玻尔兹曼统计分布：玻尔兹曼统计分布：11)11ln()()ln()(/0/0/0/TkTkBnTknbnTknnTknBBbbbeeTkddeTkddenen因此因此玻色爱因斯坦分布玻色爱因斯坦分布11/TkBenTkeBTkB1（1）温度为）温度为0K时，不存在声子时，不存在声子（2）当温度很高时，平均声子数与温度成正比，与频率成反比）当温度很高时，平均声子数与温度成正比，与频率成反比 TknB)(12)21(TkiiiiBienTkBi iBTkiBTk
