1、线性定常微分方程的求解方法有 经典法 拉氏变换法拉氏变换法 计算机求解(matlab) 拉氏变换法求解线性定常微分方程，将微分方程转换为线性代数方程，以简化计算。 步骤：1) 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程。2）由代数方程求出输出量拉氏变换函数的表达式。3）对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。例2-6 若已知 ，且电容上初始电压 ，初始电流 ，电源电压 。试求电路突然接通电源时，电容电压 的变化规律。1H , =1F , 1LCR (0)0.1Vou(0)0.1Ai( )1Viu t 0( )u t解
2、解 已得网络微分方程为 对各个变量取拉氏变换（注意初始条件）( )( )(0)ooodu tLsUsudt222( )( )(0)(0)oooodutLs Ussuudt00( )11(0)( )(0)oottdu tui tidtCC代入整理，得22( )0.10.2( )11ioU ssUsssss L( )i t( )iu tR0( )utC 由于电路是突然接通电源的，因此 可以视为阶跃输入量，即 ，代入求拉式反变换得到网络微分方程的解( )iu t( )1iU ss( )ou t11220.50.510.10.2( )( )(1)11 1.1sin(0.866120 )0.2sin(0
3、.86630 )oototosu tLUsLs ssssetet 部分分式法，或留数法 如果电路突然接通又立即断开，则可看做输入脉冲函数，即 ，代入可求得网络输出的单位脉冲响应，即( )( )1iU sLt11220.50.510.10.2( )( )111.1sin0.8660.2sin(0.86630 )oottosu tLUsLssssetet 22( )0.10.2( )11ioU ssUsssss 另外，利用拉氏变换的初值定理和终值定理，可以从 的表达式中直接求出 的初始值和终值。0( )Us0( )u t 当 时， 的初始值为( )1( )iu tt( )ou t00(0)lim(
4、 )lim( )0.1(V)oottuu ts Us( )ou t 的终值为0( )lim( )lim( )1(V)ooottuu ts Us 切线法（小偏差法）切线法（小偏差法）四四. 非线性模型的线性化非线性模型的线性化非线性元件线性元件非线性元件线性元件实际控制系统稳定实际控制系统稳定运行后，一般都处运行后，一般都处在平衡点附近。确在平衡点附近。确定了控制系统期望定了控制系统期望的平衡点后，可用的平衡点后，可用切线法解决非线性切线法解决非线性问题。问题。五五. 运动的模态（振型）运动的模态（振型）运动形运动形态，齐态，齐次微分次微分方程通方程通解是它解是它们的线们的线性组合。性组合。2-
5、2 复数域（频域）数学模型 微分方程时域模型 优点：1.物理意义直观； 2.借助电子计算机可迅速准确求解； 缺点：手工求解复杂。 传递函数传递函数频域模型 优点：1.表征系统的动态性能； 2.研究系统结构或参数变化对性能的影响。 （根轨迹法、频率法） 3.手工求解简单，便于图解。 缺点：物理意义不直观。（物理性质不同的系统，可以有相同的传递函数）。 本节内容1.传递函数的定义和性质2.传递函数的零点和极点3.传递函数的极点和零点对输出的影响4.典型元部件的传递函数1. 传递函数的定义和性质 定义定义： 零初始条件零初始条件下，输出量的拉氏变换拉氏变换与输入量的拉氏拉氏变换变换之比。)()()(
6、)()()()()(1111011110trbdttdrbdttrdbdttrdbtcadttdcadttcdadttcdammmmmmnnnnnnc(t)为输出量，r(t)为输入量 。零初始条件，取拉氏变换 :)()()()(11101110sRbsbsbsbsCasasasammmmnnnnn阶线性定常系统:则系统的传递函数为 )()()()()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm传递函数与输入、输出之间的关系，可用图表示。 G(s)R(s)C(s)例2-8 求RLC无源网络的传递函数0( )( )iUsU s解解 RLC网络的微分方程为：20
7、02( )( )( )( )idu tdtLCRCu tu tdtdt对上式各项求拉氏变换（假设初始状态为零），得02( )1( )( )1iUsG sU sLCsRCsL( )i t( )iu tR0( )utC传递函数的传递函数的性质：性质：分母阶次高(mn)mn)且所有系数为实数实数。只适于 SISO SISO 线性定常系统线性定常系统。只取决于系统的结构和参数结构和参数，与输入信号的形式无关，与初始条件无关。不完全反映系统的全部内部变量，更不反映系统的实际物理构成。物理性质不同的系统，可以有相同的传递函数。传递函数可以是无量纲的，也可以是有量纲的，视系统的输入、输出量而定。传递函数与微
8、分方程一一对应一一对应，容易转换。传递函数的反拉氏变换是系统的单位脉冲响应单位脉冲响应。实际系统存在能量或实际系统存在能量或物质的传递和交换，物质的传递和交换，受其限制，受其限制， mn 例例 2-9 试求例2-2 电枢控制直流电动机的传递函数（考研题型考研题型）解解 微分方程为( )( )( )( )mmmmaccdtTtK u tK Mtdt输入（2个）：输入的电枢电压 ，负载扰动转矩 。多输入单输出系统，分别求传函，叠加。( )au t( )cM t( )0cMt ( )( )( )mmmmadtTtK u tdt( )( )( )mmmmaT sWsWsK Us( )( )( )1mm
9、amWsKG sUsT s( )0au t ( )( )( )( )( )( )( )( )( )1mmmccmmmccmcmcmdtTtK MtdtT sWsWsK MsWsKGsMsT s 电动机转速在电枢电压与负载转矩同时作用下的响应为111112( )( )( )( )11( )( )11( )( )mcmmacmmmcacmmKKtLWsLUsMsT sT sKKLUsLMsT sT stt例例 2-10 若已知例2-1中RLC网络的输入输出传递函数为初始电压 和初始电流 ，试求电容电压 的单位阶跃响应。（考研题型考研题型）(0)ou(0)i( )ou t解解 若为零初始状态，则此题
10、非常易求，即 1122111( )( )11oiu tLU sLLCsRCsLCsRCss因非零初始状态，解法步骤：1.首先利用传递函数与微分方程的相通性，得到系统相应的微分方程。2.考虑初始条件，用拉氏变换法求解微分方程便求得非零初始条件下的解。2( )1( )( )1oiUsG sU sLCsRCs02( )1( )( )1iUsG sU sLCsRCs2002( )( )( )( )idu tdtLCRCu tu tdtdt考虑初始条件，对上式各项求拉氏变换后得2000000( )(0)(0)( )(0)( )( )iLC s UssuuRC sUsuUsU s000022( )(0)(
11、0)(0)( )11iU sLCsuLCuRCuUsLCsRCsLCsRCs000( )(0)1(0),( )itdu tiuU sCsdt对 求拉氏反变换便得到0( )Us11000022110022(0)()(0)1( )( )(1)1(0)()(0)1(1)1LCuLCsRC uu tLUsLs LCsRCsLCsRCsLCuLCsRC uLLs LCsRCsLCsRCs2. 传递函数的零点和极点 首一式首一式 零极点零极点可为复可为复数也可数也可为实数为实数尾一式尾一式注意注意 两种增益的换算关系。两种增益的换算关系。传递函数的零极点分布图 传递函数的极点就是微分方程的特征根，因此它们
12、决定了所描述系统的运动模态。3. 传函零点和极点对输出的影响传函零点和极点对输出的影响4.典型元部件的传递函数时域（微分方程） 复数域（传递函数） 电位器（比例环节）电位器（比例环节）测速发电机（微分环节）测速发电机（微分环节）电枢控制直流伺服电动机（惯性环节）电枢控制直流伺服电动机（惯性环节）无源网络（积分、惯性、振荡环节）无源网络（积分、惯性、振荡环节）延迟环节延迟环节比例环节（无惯性环节）比例环节（无惯性环节） K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。为常数，称为比例环节的放大系数或增益。 测量元件（反馈）测量元件（反馈）比比例例环环节节比比例例环环节节转子角速度转子角速度(角位移角位移
13、)测量元件（反馈）测量元件（反馈）电压电压微微分分环环节节微分环节，微分环节， K称微分时间常数称微分时间常数单位阶跃响应： )()(tKttc 理想微分环节实际上难以实现，因此常采用带有惯性的微分环节。其传递函数： 1)(sTsKTsGdd 实际微分环节的阶跃响应是按指数规律下降，若K值很大而Td 值很小时，实际微分环节就愈接近于理想微分环节。dTtKetc)(单位阶跃响应为： 执行机构执行机构(对被控对象的机械运动快速控制对被控对象的机械运动快速控制)惯性环节惯性环节(非周期环节非周期环节) T：惯性环节的时间常数：惯性环节的时间常数 K：惯性环节的增益或放大系数：惯性环节的增益或放大系数
14、 惯惯性性环环节节当输入为单位阶跃函数时，其单位阶跃响应为 )1 (11)()(111TeKsTsKLsCLtc单位阶跃响应曲线 11/11)()()(TsKRsLRRLssUsIsG 惯性环节实例很多，如图所示的R-L网络，输入为电压u，输出为电感电流i，其传递函数式中 RLT RK1与电枢控制直流伺服电动机是相似系统，重量轻、与电枢控制直流伺服电动机是相似系统，重量轻、惯性小、加速特性好，小功率交流执行机构。惯性小、加速特性好，小功率交流执行机构。惯惯性性环环节节惯惯性性环环节节无源网络（无源网络（RLC元件）元件）（积分、惯性、振荡环节）（积分、惯性、振荡环节） 改善性能改善性能，常引入
15、无源网络作为，常引入无源网络作为校正元件校正元件。 求传函的两种方法：求传函的两种方法： 1.1.微分方程拉氏变换法微分方程拉氏变换法（推荐）：（推荐）： 写微分方程，在写微分方程，在零初始条件下拉氏变换，得传函。零初始条件下拉氏变换，得传函。 2. 2. 复阻抗法：用复阻抗直接列代数方程，求传函。复阻抗法：用复阻抗直接列代数方程，求传函。积分环节积分环节 输入ui(t)，输出u0(t)sTRCssUsUsGii11)()()(0式中： Ti = RC（积分时间常数 ）dttrTtcti0)(1)(积分环节的单位阶跃响应为 tTtCi1)(它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止，输出维持不
16、变，故积分环节具有记忆功能。输入为 ，输出 )()()()(00202tutudttduRCdttudLCi20222( )1( )( )12ninnU tG sU tLCsRCsss0( )u t( )iu tLCn1LCR2式中，振荡环节振荡环节(二阶惯性环节二阶惯性环节) 为阻尼比无阻尼自然振荡角频率单位阶跃响应曲线具有延迟性质的元部件具有延迟性质的元部件（延迟环节，时滞环节（延迟环节，时滞环节) 皮带或管道输送、管道混合，多设备串联及测量系统等。迟延过大使控制效果恶化，甚至系统失去稳定。 输入信号加入后，输出延输出延迟迟后重现输入信号)()(trtc超越函数 sesRsCsG)()()
17、(式中：延迟时间 惯惯性性环环节节有有延延迟迟的的惯惯性性环环节节有有延延迟迟的的振振荡荡环环节节 抛开具体结构和物理特点，控制系统元部件可为比例、积分、微分、惯性、振荡、延迟环节或几种环节的组合。典型环节（1）比例环节（2）积分环节（3）惯性环节（4）微分环节（5）振荡环节（6）延迟环节（7）一阶微分（8）二阶微分 KsG ssG1 11TssG ssG 12122TssTsG sesG 1 ssG 1222sssG2-3 控制系统的结构图与信号流图 简便的数学模型； 结构图（或称方框图，方块图）和信号流图：将各部件功能及联系用图形表示； 信号流图符号简单，只适用于线性系统；结构图也可用于非
18、线性系统； 从系统的结构图或信号流图中可以方便的求得系统的传递函数。信号线信号线 . 带有箭头的直线带有箭头的直线,箭头表示信号的流向箭头表示信号的流向,在直线旁标记在直线旁标记信号的时间函数或象函数，信号的时间函数或象函数，(a);引出点引出点(测量点，分支点测量点，分支点) . 信号引出或测量的位置信号引出或测量的位置,从同一位置从同一位置引出的信号在引出的信号在数值和性质方面完全相同数值和性质方面完全相同，这一点与电路图是不，这一点与电路图是不同的，同的，(b); 比较点比较点(综合点综合点) . 两个以上信号进行加减运算两个以上信号进行加减运算, “+”+”号表示相号表示相加，加，“-
19、”-”号表示相减，号表示相减，“+”号可省略，输出信号等于所有输号可省略，输出信号等于所有输入信号代数和，入信号代数和，(c);方框方框(环节环节) . 对信号进行的数学变换对信号进行的数学变换, 框内为传递函数框内为传递函数,(d).方框可方框可视作单向运算的算子，输出量等于输入与框内传递函数乘积视作单向运算的算子，输出量等于输入与框内传递函数乘积, C(s)=G(s)U(s)。1.系统结构图的组成和绘制系统结构图的组成和绘制1. 绘制系统结构图时，首先列写系统各元部件的微分方程或者传递函数，并将它们用方框表示。2. 然后，根据各元部件的信号流向，用信号线依次将个方框连接便得到系统的结构图。
20、绘制结构图绘制结构图步骤：注：注：结构图中的方框与实际元部件并非一一对结构图中的方框与实际元部件并非一一对应。（一个实际元部件可用一个或几个方框表应。（一个实际元部件可用一个或几个方框表示；一个方框也可代表几个元部件或是一个子示；一个方框也可代表几个元部件或是一个子系统，或是一个大的复杂系统。系统，或是一个大的复杂系统。)例例2-1 绘制如绘制如RC 无源网络的结构图无源网络的结构图 解解 将无源网络视为一个将无源网络视为一个系统，组成网络的元件就对系统，组成网络的元件就对应于系统的元部件。设电路应于系统的元部件。设电路中各变量如图中所示，应用中各变量如图中所示，应用复阻抗概念，根据基尔霍夫复
21、阻抗概念，根据基尔霍夫定律写出以下方程：定律写出以下方程： 按照这些方程可分别绘制按照这些方程可分别绘制相应元件的方框图。然后用相应元件的方框图。然后用信号线按信号流向依次将各信号线按信号流向依次将各方框连接起来，便得到无源方框连接起来，便得到无源网络的结构图网络的结构图.狭长好些狭长好些同一系统方同一系统方框图不唯一框图不唯一 例例 画出无源RC网络的结构图。解解 无源网络视为一个系统，组成网络的元件对应于系统的元部件。)(1)()(1)()()()()()()()()()(22231021322021011sIsCsUsIsCsUsIsIsIRsUsUsIRsUsUsI改变中间变量，会有什
22、么结果呢？ rucu1C2C1R2R1I2II从右到左列方程：1111221122211)()()()()()()()()(1)()(RsCsIsusIsCRsIsusIsIsIsIsCsIsurcc 框图不一样，可见选择不同的中间变量，结构框图也不一样，但是整个系统的输入输出关系并不改变的。11R21sC2R1sC11sC)(sur)(suc)(1sI)(2sI)(sI1)(1)()()(21221122121sCRCRCRsCCRRsususGrc例例 2-11 下图所示为一个电压测量装置，也是一个反馈控制系统。 是待测量电压， 是指示的电压测量值。如果 不同于 ，就产生误差电压 ， 经调
23、制、放大以后，驱动两相伺服电动机运转，并带动测量指针移动，直至 。这时指针指示的电压值即是待测量的电压值。试绘制该系统的结构图。1e2e2e1e12eee21ee电压测量装置原理图解解 系统由比较电路、机械调制器、放大器、两相伺服电动机及指针机构组成。考虑负载效应分别列写各元部件的运动方程，在零初始条件下进行拉氏变换，有：比较电路调制器放大器两相伺服电动机绳轮传动机构测量电位器12( )( )( )E sE sE s( )( )U sE s( )( )aaUsK E s2( )( )( )( )mmssmammmmmMC ssMMC UsMJ ssf ss ( )( )mL srs 21( )
24、( )E sK L s 根据各元部件在系统中的工作关系，确定输入和输出量，按照各自运动方程分别画出每个元部件的方框图。 用信号线按信号流向依次将各元部件的方框连起来，得到系统结构图。(1)2.结构图的等效变换和简化结构图的等效变换和简化RC网络思考：a图的电路传递函数是否等于b图两个电路传递函数之积？两个串联连接的元件的方框图应考虑负载效应。两个串联连接的元件的方框图应考虑负载效应。各环节接受各环节接受同一输入信号同一输入信号而输出信号又汇合在一点，称并联。而输出信号又汇合在一点，称并联。c. 结构图简化（等效变换）的基本规则结构图简化（等效变换）的基本规则变换与运算是变换与运算是手段，手段，
25、化简是化简是目的。目的。简化简化目的目的：化繁为简，求取传函。：化繁为简，求取传函。简化简化方法方法：等效原则等效原则（变换前后前向通路及回（变换前后前向通路及回路中传函乘积保持不变。路中传函乘积保持不变。简化方法：三种基本运算，结构图变换简化方法：三种基本运算，结构图变换结构图简化结构图简化注意：注意：比较点与引出点不宜交换；比较点与引出点不宜交换；“”号可依沿信号线越过方框，但不可越过号可依沿信号线越过方框，但不可越过比较点和引出点；比较点和引出点；例例2-1 试简化下图的结构图试简化下图的结构图,并求系统传递函数并求系统传递函数C(s)/R(s).42GH1G2G3G4G3H1H)(sR
26、-_)(sC1G2G3G4G3H2H1H)(sR-_)(sC1G2G42GH1H)(sR_)(sC343431HGGGG引出点后移引出点后移(注意，不宜前移）注意，不宜前移）1G3H)(sR_)(sC2323434321HGGHGGGGG)(sR)(sC1432123234343211HGGGGHGGHGGGGGG)()()()()()()()()()()(1)()()()()(143213432324321sHsGsGsGsGsHsGsGsHsGsGsGsGsGsGs例例2-1 试简化下图的结构图试简化下图的结构图,并求系统传递函数并求系统传递函数C(s)/R(s). 解解 G1(s)与与G
27、2(s)之间有交叉的比较点之间有交叉的比较点和引出点，不能直接进行方框运算，和引出点，不能直接进行方框运算，也不可简单地互换位置。最简便方法也不可简单地互换位置。最简便方法是分别将比较点前移是分别将比较点前移,引出点后移。引出点后移。例例2-13.信号流图的组成及性质信号流图的组成及性质UIR 信号流图和方框图类似，都是控制系统中信号传递关系的图解描述。 五个节点和八条支路组成的典型信号流图五个节点和八条支路组成的典型信号流图传输及增益信号流图的基本性质信号流图的基本性质 (1) 节点标志系统的变量。自左向有顺序设置，每个节点标志的变节点标志系统的变量。自左向有顺序设置，每个节点标志的变量是所
28、有量是所有流向流向该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路该节点的信号之代数和，而从同一节点流向各支路的信号均用该节点的变量表示。的信号均用该节点的变量表示。(2) 支路相当于乘法器，信号流经支路时被乘以支路增益。支路相当于乘法器，信号流经支路时被乘以支路增益。(3) 信号在支路上只能沿箭头单向传递信号在支路上只能沿箭头单向传递, ,且信号流图不惟一。且信号流图不惟一。信号流图信号流图常用术语常用术语：源节点（输入节点）：只有信号输出，无输入。阱节点（输出节点）：只有信号输入，无输出。混合节点：既有输入又有输出的支路。前向通路：信号从输入节点到输出节点，每个节点只通过一次的通路。只通过一次
29、的通路。回路（单独回路）：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路。回路增益：回路中所有支路增益的乘积。不接触回路：回路之间没有公共节点。11213324435245xxxxexxaxfxxbxxdxcxgx4 个单独回路，个单独回路，2 个回路互不接触个回路互不接触e1abcdfghY(s)R(s)=前向通路两条前向通路两条4.信号流图的绘制信号流图的绘制例例 2-17 绘制右图RC无源网络的信号流图。由基尔霍夫定律，微分方程如下：1002211112( )( )( )( )( )1( )( )( )( )( )( )iiu ti t Ru tu ti t Ri t d
30、ti t Ru tCi ti ti t11002121112( )( )( )( )( )(0)1( )( )( )( )( )iU sI s RUsUsI s RuIsI s RCssI sIsI s拉氏变换后01102211112( )( )( )( )( )( )( )(0)( )( )( )iU sUsI sRUsI s RIssRCI sCuI sI sIs按照因果关系，重新排列：由微分方程绘制信号流图步骤步骤： 列写微分方程； 通过拉氏变换，将微分方程变换为S的代数方程； 对系统每个变量指定一个节点，按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列； 根据数学方程式将各个节点变量正确连接
31、，并标明支路增益，得到系统的信号流图。 结构图的信号线上用结构图的信号线上用小圆圈小圆圈标志出传递的信号，得到标志出传递的信号，得到节点节点； 标有传递函数的线段标有传递函数的线段代替结构图中的方框，便得到代替结构图中的方框，便得到支路支路。注意：注意：1.尽量精简节点的数目，但源节点或阱节点不能合并掉；尽量精简节点的数目，但源节点或阱节点不能合并掉；2.在结构图比较点之前没有引出点时，只需在比较点后设在结构图比较点之前没有引出点时，只需在比较点后设置一个节点置一个节点;3.在比较点之前有引出点对，就需在引出点和比较点各设在比较点之前有引出点对，就需在引出点和比较点各设置一个节点置一个节点.由
32、系统结构图绘制信号流图由系统结构图绘制信号流图（考研题型）（考研题型）例例2-14 试绘制系统结构图对应的信号流图试绘制系统结构图对应的信号流图. 解解 在系统结构图的信号线上，在系统结构图的信号线上，用小圆圈标注各变量对应的节用小圆圈标注各变量对应的节点，将各节点按原来顺序自左点，将各节点按原来顺序自左向有排列，将结构图中的方框向有排列，将结构图中的方框用具有相应增益得支路代替，用具有相应增益得支路代替，连接节点得到信号流图。连接节点得到信号流图。例例 将下图系统方框图化为信号流图并化简求出系统的闭环传递函数 )()()(sRsCs 解解：G1与与G2串联等效为串联等效为G1G2，G3与与G
33、4并联等效为并联等效为G3+G4G1G2与-H1反馈:121211HGGGG12121431)(HGGGGGG与G3+G4串联:)()()(sRsCs )()()()()(1)()()(243211214321sHsGsGsGGsHGGsGsGsGG5. 梅森增益公式（梅森增益公式（mason gain rule) 简单结构图或信号流图经过等效变换简化简单结构图或信号流图经过等效变换简化后，可直接求得系统的传递函数。后，可直接求得系统的传递函数。 复杂结构图或信号流图复杂结构图或信号流图，等效变换简化很，等效变换简化很繁琐；宜用繁琐；宜用梅森公式梅森公式直接求取传递函数。直接求取传递函数。（考
34、研必考，考试重点考研必考，考试重点）梅森增益公式：例例2-19 试用梅森公式求系统的传递函数123412323431 GG G G HG G HG G H 可直接对系统结构图或者信号流图利用梅森公式。可直接对系统结构图或者信号流图利用梅森公式。2-21例例 利用梅逊公式求图中所示系统的传递函数 C(s) / R(s)。解解：4条前向通道，对应 与 为:p1=G1G2G3G4G5 1=1p2=G1G6G4G5 2=1p3=G1G2G7G5 3=1p4= -G1G6H2G7G5 4=1五个单回环，其增益为：L1= -G3H2，L2 = -G5H1，L3 = -G2G3G4G5H3，L4 = -G6
35、G4G5H3，L5 = -G2G7G5H3，L1与L2是互不接触的，其增益之积L1L2 = G3G5H1H2 kkp21654321)(1LLLLLLLL系统的特征式为: 系统的传递函数为 )()(sRsC123451645127515672325123453645327533512567231GG G G GGG G GGG G GGG G G GG HG HG G G G HG G G HG G G HG G H HG G G H H例例 求图示信号流图的闭环传递函数 解解：系统单回环有：L1 = G1，L2 = G2，L3 = G1G2， L4 = G1G2，L5 = G1G2 系统的特
36、征式 为： 212151311GGGGLii前向通道有四条： P1 = -G1 1=1 P2 = G2 2=1 P3 = G1G2 3=1 P4 = G1G2 4=1 系统的传递函数为 2121212141312)(GGGGGGGGPsGiii例例Y1 1 1 -1 G3G2G1-F2-F12423212141321413211FGFGGFGGGGGGGGGGGGRYGx4x3x2x1Y 此题各回路互相接触，采用Mason公式求传递函数非常方便。G4例例)()(1)()()(1)()()(1)()(333222111sHsGsGsHsGsGsHsGsGsG3322113322331122113
37、3221122112211333211)1 ()1 ()(HGHGHGHGHGHGHGHGHGHGHGHGHGHGHGHGGHGGGsG用方框图化简：用Mason公式： 此题各回路互相不接触，采用方框图的变换方法比Mason公式简单。G1H1_G2H2_G3H3_+U(S)Y(S)（考研重点概念与公式）（考研重点概念与公式）6. 典型反馈控制系统传递函数典型反馈控制系统传递函数叠加原理叠加原理一定条件下，系统输出只取决于反馈通路传递函数 及输入信号 ，与前向通路传函无关，也不受扰动的影响。特别是当 ，即单位负反馈时， , 实现了对输入信号的完全复现，且对外界扰动和内部参数变化引起的控制性能改变
38、具有较强的抑制能力（这种能力可称为控制系统的鲁棒性，Robustness)。( )H s( )R s( )1H s ( )( )C sR s)()(1)()()()(sGsHsGsRsCs)(sG)(sH)(sE)(sR)(sC)(sB)()()(sCsHsB反馈信号反馈信号 )()()()(sHsGsEsB开环传递函数开环传递函数 )()()(sGsEsC前向传递函数前向传递函数 闭环传递函数闭环传递函数 1sH单位反馈单位反馈)()(sHsG足够大，系统传递函数可表示成足够大，系统传递函数可表示成 )(1sH 对于典型反馈控制系统，其各种闭环系统传递函对于典型反馈控制系统，其各种闭环系统传
39、递函数的分母形式均相同，这是因为它们都是同一个信数的分母形式均相同，这是因为它们都是同一个信号流图的特征式，即号流图的特征式，即=1+G1(s)G2(s)H(s)，式中，式中G1(s)G2(s)H(s)是回路增益，并称它为系统的是回路增益，并称它为系统的开环传开环传递函数递函数，它等效为主反馈断开时，从输入信号，它等效为主反馈断开时，从输入信号R(s)到到反馈信号反馈信号B(s)之间的传递函数。此外，对于该系统，之间的传递函数。此外，对于该系统，应用叠加原理可以研究系统在各种情况下的输出量应用叠加原理可以研究系统在各种情况下的输出量C(s)或误差量或误差量E(s)，然后进行叠加，求出，然后进行
40、叠加，求出C(s)或或E(s)。但。但绝不允许将各种闭环传递函数进行叠加绝不允许将各种闭环传递函数进行叠加后后求其输出响应。求其输出响应。 对控制系统的数学描述对控制系统的数学描述微分方程模型微分方程模型传递函数模型传递函数模型方框图模型方框图模型信号流图模型信号流图模型状态空间模型状态空间模型本章小结本章小结 1. 1. 数学模型是描述系统元、部件及系统动态特性的数学数学模型是描述系统元、部件及系统动态特性的数学表达式，是对系统进行分析研究的主要依据。表达式，是对系统进行分析研究的主要依据。 2. 2. 根据实际系统用解析法建立数学模型，一般必须首先根据实际系统用解析法建立数学模型，一般必须
41、首先分析系统各元、部件的工作原理，然后利用基本定律，并舍分析系统各元、部件的工作原理，然后利用基本定律，并舍去次要因素及进行适当的线性化处理，最后获得既简单又能去次要因素及进行适当的线性化处理，最后获得既简单又能反映元、部件及系统动态本质的时域数学模型反映元、部件及系统动态本质的时域数学模型微分方程。微分方程。 3. 3. 传递函数是一种复数域数学模型，结构图和信号流传递函数是一种复数域数学模型，结构图和信号流图是传递函数的图形表示法，它直观形象地表示出系统中信图是传递函数的图形表示法，它直观形象地表示出系统中信号的传递变换特征，这将有助于对系统进行分析研究。同时，号的传递变换特征，这将有助于对系统进行分析研究。同时，根据等效变换法则或者梅森增益公式可以迅速求得系统的各根据等效变换法则或者梅森增益公式可以迅速求得系统的各种传递函数。种传递函数。作作 业业2.2 2.3 2.11 2.12 2.13 2.16 2.17 2.18 2.20 2.21 2.22
