1、数学系数学系 李继根（李继根（）第一章第一章 线性空间与线性变换线性空间与线性变换数学系数学系 李继根（李继根（）本章中线性空间比较本章中线性空间比较抽象抽象。学习时一定要注意思想。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的系中的原型原型，要将，要将抽象的代数概念几何直观化抽象的代数概念几何直观化。“抽象抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维中，中，直觉和抽象是交互为用的直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，（汤川秀树，1949年诺贝尔物理奖获得者）。年诺贝尔物理奖获得者）
2、。“用几何语言代替代数语言用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化，几乎总能做到相当的简化，并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显现出来。现出来。”（让（让-迪厄多内，法国数学家）。迪厄多内，法国数学家）。几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。数学系数学系 李继根（李继根（）1、线性空间、线性空间是线性代数最基本的概念之一，是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是是矩阵论中极其重要
3、的概念之一。它是向向量空间量空间在在元素元素和和线性运算线性运算上的推广和抽象。上的推广和抽象。线性空间中的线性空间中的元素元素可以是可以是向量、矩阵、多向量、矩阵、多项式、函数等项式、函数等，线性运算线性运算可以是我们熟悉可以是我们熟悉的的一般运算一般运算，也可以是各种，也可以是各种特殊的运算特殊的运算。数学系数学系 李继根（李继根（）一、线性空间一、线性空间(Linear Space)的概念的概念存在存在零向量零向量 ，使得，使得(1)如果非空集合如果非空集合 对于对于加法加法及及数乘数乘两种运算两种运算封闭封闭，并且对于加法和数乘满足下面，并且对于加法和数乘满足下面8 8条条运算律，那运
4、算律，那么就称集合么就称集合 为数域为数域 上的上的或或VVF(2) ()()(3)V (4)存在存在负向量负向量 ，使得，使得V () V、 、数学系数学系 李继根（李继根（）(5)()()k lkl (6) 1(7)()kkk(8) ()klklklF、数学系数学系 李继根（李继根（）例例1 1 次数不超过次数不超过 的所有实系数多项式按通常多的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间 n nR x例例2 2 闭区间闭区间 上的所有上的所有实值连续函数实值连续函数按通常函按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间数的加法和
5、数与函数的乘法，构成线性空间 , a b , C a b例例3 3 所有所有 阶的实（阶的实（复复）矩阵按矩阵的加法和）矩阵按矩阵的加法和数乘，构成线性空间数乘，构成线性空间 。mn ()mm nnCR 例例4 4 所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，构成线性空间构成线性空间 。l 数学系数学系 李继根（李继根（）例例5 5 齐次线性方程组齐次线性方程组 的所有解的集合构成数的所有解的集合构成数域域 上的线性空间上的线性空间 ，称为，称为 的的，或矩阵或矩阵 的的，即，即Ax ()N AAx FAFR or FC()|,nm nxFAxN AAF
6、 ()Ker A数学系数学系 李继根（李继根（）|(),mnm nyFyAxxF ARFA FR or FC例例6 6 所有所有矩阵向量积矩阵向量积 的集合构成数域的集合构成数域 上的上的线性空间线性空间 ， 称为矩阵称为矩阵 的的，也称为矩阵也称为矩阵 的的 ， 即即AAx()R AFAIm()A数学系数学系 李继根（李继根（）例例7 7 集合集合 不是不是一个线性空间一个线性空间。因为。因为加法不封闭加法不封闭。1212,1 ,TVx xx xx xR例例8 8 线性非齐次方程组线性非齐次方程组 的解集的解集Axb 11|,nm nn rn rVFCCAF ，这里，这里 是对应齐次方程是对
7、应齐次方程组组 的一个基础解系，的一个基础解系， 为为 的一的一个特解。个特解。Axb Ax 1,n r 数学系数学系 李继根（李继根（）二、线性空间的基本性质二、线性空间的基本性质(3),k0 0如果如果 是是数域数域 上的上的，则，则VF线性空间线性空间 中的中的零向量零向量 是唯一的。是唯一的。(1)V 线性空间线性空间 中的每个向量的中的每个向量的负负向量向量 是唯一的。是唯一的。(2)V0 0(4)当当 时，有时，有 或或k k0 0 (5)当当 时，有时，有 数学系数学系 李继根（李继根（）三、线性子空间三、线性子空间(Subspace)例例9 9 集合集合 是是一个向量空间。它是
8、一个向量空间。它是 在在 平面上的平面上的。11122,0TTx xxRxxx3R12ox x例例1010 中过原点的直线是中过原点的直线是 的一个子空间。的一个子空间。3R3R设设 是是线性空间线性空间 的非空子集。如果的非空子集。如果 在在 中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则称称 是是 的（的（）。UVUUVV数学系数学系 李继根（李继根（）（子空间判别法子空间判别法）数域数域 上的上的的非空子集的非空子集 是是 的子空间的的子空间的充要条件充要条件是是 对对 中的两种运算封闭中的两种运算封闭，即，即VFVUUV(i) (i) 对任意的对任意的
9、 ，有，有(ii) (ii) 对任意的对任意的 ，有，有, U U+,kF U挝挝kU 数学系数学系 李继根（李继根（） ,WxF 例例1111 已知已知 是数域是数域 上的线性空间，上的线性空间， ，则集合则集合V 、VF是是 的一个子空间。称为的一个子空间。称为，记为，记为 或或()span , ,、V()L , ,一般地，由线性空间一般地，由线性空间 中的中的记作记作 或或 112212,sssWxR 1s, , ,12(,)sspan 12(,).sL V数学系数学系 李继根（李继根（）例例12 12 对任意对任意 ， 是是 的子空间；的子空间； 是是 的子空间。的子空间。()N Am
10、FnF()R Am nA F 数学系数学系 李继根（李继根（）2、基、坐标及坐标变换、基、坐标及坐标变换线性代数中关于线性代数中关于向量的线性组合、线性向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标表示、线性相关、线性无关、基、坐标等等的定义和结论都可以推广到一般线性的定义和结论都可以推广到一般线性空间，因此相应的许多结论在一般的线空间，因此相应的许多结论在一般的线性空间中也是成立的。尤其是性空间中也是成立的。尤其是，将，将一般线性空间的问题一般线性空间的问题转化转化成向量空间的成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。问题，是一个十分有力的工具。数学系数学系 李继根（李继根（）一、线性
11、空间的基一、线性空间的基(basis)、坐标、坐标(coordinate)和维数和维数(dimension)VV给定线性空间给定线性空间 ，如果存在，如果存在 中的一组中的一组向量向量 ，满足：，满足：线性无关线性无关中任意向量中任意向量 都能由都能由 线性表线性表示。即存在数示。即存在数 ，使，使则向量组则向量组 就称为就称为 的一个的一个，系数，系数 就称为向量就称为向量 在此基下的在此基下的，基中的，基中的向量个数向量个数 称为线性空间称为线性空间 的的，记为，记为 VV1r, , ,1r, , ,1r, , ,VdimVr 1rF ,1r, , ,1r, , ,r11rr + 数学系数
12、学系 李继根（李继根（）说明说明: （1）若把线性空间）若把线性空间 看作无穷个向量组成的向看作无穷个向量组成的向量组，那么量组，那么 的基就是向量组的最大无关组的基就是向量组的最大无关组, 的的维数就是向量组的秩维数就是向量组的秩. .VVV12,rVspan （2）若向量组）若向量组 是线性空间是线性空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为r, 21VV （3）个数与线性空间个数与线性空间 的维数相等的线性无的维数相等的线性无关组都是关组都是 的基的基. .VV （4）不存在不存在有限个有限个基向量的线性空间称为基向量的线性空间称为无限维无限维线性空间线性空间. .数学系数学系 李
13、继根（李继根（） （5） 的的 0 维子空间是维子空间是 ，1 维子空间是经维子空间是经过原点的任意直线，过原点的任意直线，2 维子空间是经过原点的任意维子空间是经过原点的任意平面，平面，3 维子空间是它自身。维子空间是它自身。 3 （6） 中，不经过原点的任意直线的集合中，不经过原点的任意直线的集合 显然显然可看成某个经过原点的直线集合可看成某个经过原点的直线集合 （ 显然是显然是 1 维子维子空间）适当空间）适当平移平移而来，即存在而来，即存在 和和 ，使，使称称 为为 中的一个中的一个线性流形（线性流形（linear Manifoldlinear Manifold）Mn VV0nx Mn
14、 v V 0,m xvm M （7） 。nn V数学系数学系 李继根（李继根（） 数域数域 上的上的中的任意向量在中的任意向量在给定基下的坐标是给定基下的坐标是唯一唯一的。的。VFV （基的扩张定理基的扩张定理） 数域数域 上的上的 维维中的任意一个线性无关向量组中的任意一个线性无关向量组 都可以扩充成都可以扩充成 的一组基。的一组基。 VFn12,(1)r rnL LV数学系数学系 李继根（李继根（）例例1 1 在线性空间在线性空间 中，显然中，显然是是 的一组基，此时多项式的一组基，此时多项式在这组基下的坐标就是在这组基下的坐标就是3 P x21231,xx 3 P x2324xx (3,
15、2,4) .T证明证明 也是也是 的基的基,并求并求 及及 在此基下的坐标。在此基下的坐标。21231,(2),(2)xx123, 3 P x 数学系数学系 李继根（李继根（）分析：分析：容易验证容易验证 线性无关，因此线性无关，因此也是也是 的基。的基。123, 3 P x由由泰勒公式泰勒公式，可知，可知211231001001(2)(2)xx 221232102101(2)(2)xx 231234414411(2)(2)xx 2123231841(2)(223184)xx 所以所求坐标分别为所以所求坐标分别为 和和( , , ) ,( , , ) ,(1 0 02,1 04 4 1, )T
16、TT23 18(,4) .T数学系数学系 李继根（李继根（）二、基变换二、基变换(change of basis)和坐标变换和坐标变换设设 和和 是是 维线性维线性空间空间 的两个基，且存在可逆矩阵的两个基，且存在可逆矩阵 ，使得，使得则称上式为则称上式为，矩阵，矩阵 为基为基 到基到基 的的，且，且V1n, , ,1n, , ,1n, , ,PP11()()nnP ,1n, , ,111() ()nnP ,n由例由例1可知，同一个向量在不同基下的坐标一般是不同可知，同一个向量在不同基下的坐标一般是不同的，因此要寻找向量在不同基下的坐标之间的关系。的，因此要寻找向量在不同基下的坐标之间的关系。
17、数学系数学系 李继根（李继根（）那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何改变呢？何改变呢？由基的定义，在由基的定义，在 维线性空间维线性空间 中，任意中，任意 个线性个线性无关的向量都可以作为无关的向量都可以作为 的一组基对于不同的的一组基对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的基，同一个向量的坐标是不同的nVVn设设 维线性空间维线性空间 中向量中向量 在基在基 与基与基 下的坐标分别为下的坐标分别为 ， ，则成立，则成立： 或或这里这里 为基为基 到基到基 的过渡矩阵。的过渡矩阵。xP y Vn 1,n1,n1(,)Tnxxx 1(,)Tnyyy 1,n
18、P1,n1yPx 数学系数学系 李继根（李继根（）证明证明：111(,)(,)nnnxxx 1,ny 111(,)(,)nnP 而而所以所以111(,)(,)nnxyP y 1yP x 由于由于11nnxx 由于由于 可逆，所以也有可逆，所以也有P数学系数学系 李继根（李继根（）例例1 1（续）（续）(3,2,4)Tx 由题，由题， 在基在基 下的坐标为下的坐标为 123, 1124301420014yPx 而且，基而且，基 到基到基 的过渡矩阵为的过渡矩阵为123, 123, 124014001P 所以所以23184 数学系数学系 李继根（李继根（）例例 2 2 已知矩阵空间已知矩阵空间 的
19、两组基：的两组基：22R 12341010(),01010101,1010IAAAA 12341111(),11101110,0000IIBBBB 求基求基 ( I ) 到基到基 ( II ) 的过渡矩阵。的过渡矩阵。数学系数学系 李继根（李继根（）解：解： 引入引入 的的：2 2R 1 11 22 12 21001(),00000000,1001IIIEEEE 则基则基 ( III ) 到基到基 ( I ) 的过渡矩阵为的过渡矩阵为11100001100111100C 数学系数学系 李继根（李继根（）而基而基 ( III ) 到基到基 ( II ) 的过渡矩阵为的过渡矩阵为211111110
20、11001000C 所以所以1234111221221(,)(,)AAAAEEEEC 1234111221222(,)(,)BBBBEEEEC 数学系数学系 李继根（李继根（）从而从而112CCC 11231241342(,(,)AAAABBCBBC 所以基所以基 ( I ) 到基到基 ( II ) 的过渡矩阵为的过渡矩阵为211101111.222100010 数学系数学系 李继根（李继根（）3、子空间的交与和、子空间的交与和整体有时太庞大，所以我们经常希望能够整体有时太庞大，所以我们经常希望能够“通过部分来获知整体通过部分来获知整体”，从而达到，从而达到“解解剖麻雀剖麻雀”的效果。对线性空
21、间的研究亦是的效果。对线性空间的研究亦是如此。我们希望通过如此。我们希望通过线性子空间线性子空间的研究，的研究，能够更加深刻地揭示能够更加深刻地揭示整个线性空间整个线性空间的结构。的结构。数学系数学系 李继根（李继根（）一、子空间的交一、子空间的交(intersection)与和与和(sum)设设 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的两个的两个子空间，则它们的子空间，则它们的 也是也是 的子空间。的子空间。V12,V VFV12VV 设设 是数域是数域 上线性空间上线性空间 的两个的两个子空间，则集合（称为子空间，则集合（称为 与与 的的）也是也是 的子空间。的子空间。V12,V VF121
22、21122|,VVVV V1V2V数学系数学系 李继根（李继根（）1221VVVV 123123()()VVVVVV 可以验证，子空间的交与和有下列运算律：可以验证，子空间的交与和有下列运算律：1221VVVV123123()()VVVVVV根据归纳法可知，根据归纳法可知， 和和 都是都是 的子空的子空间。间。1miiV 1niiV V数学系数学系 李继根（李继根（）例例 1 1 设设 是线性空间是线性空间 的子空间，且的子空间，且则则12,V V1121(,),(,)stVspanVspanV1211(,)stVVspan数学系数学系 李继根（李继根（）例例 2 2 设设12(2,1,3,1
23、) ,( 1,1, 3,1) ,TT 求求 的基与维数。的基与维数。1212VVVV、 112212(,),(,).VspanVspan 12(4,5,3, 1) ,(1,5, 3,1) ,TT数学系数学系 李继根（李继根（） 所以所以 设设 ，则，则12VV 12VV，11221122= kkll 解得解得12212520,33kklll 因此因此1122225=.3kkl所以所以 的基为的基为 ，维数为，维数为12VV 2 12dim()1.VV 解：解：数学系数学系 李继根（李继根（） 由例由例 1 知知121212(,)VVspan 由前得由前得221221252033lll 即即21
24、2152033 然而然而 线性无关，这样线性无关，这样 是是 的极大无关组，所以它也是的极大无关组，所以它也是 的基，故的基，故121, 12VV 12dim()3.VV1212, 121, 数学系数学系 李继根（李继根（）设设 是数域是数域 上线性空上线性空间间 的两个有限维子空间，则它们的的两个有限维子空间，则它们的 与与都是都是有限维的，并且有限维的，并且V12,V VF121212dim()dim()dim()dim().VVVVVV 注意到例注意到例 2 中中121212dim()dim()dim()dim().VVVVVV 这并不是偶然的。这并不是偶然的。子空间之和的维数不大于它们
25、维数的和。何时等于？子空间之和的维数不大于它们维数的和。何时等于？数学系数学系 李继根（李继根（）二、子空间的直和二、子空间的直和(direct sum)设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的两的两个子空间，如果个子空间，如果 则称则称 为为 与与 的的，记作，记作V12V V, ,F12,VV 12VV+ +1V2V12.VV 显然显然直和的概念可以推广到多个子空间的情形。直和的概念可以推广到多个子空间的情形。数学系数学系 李继根（李继根（）设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的两个的两个子空间，则下列命题是等价的：子空间，则下列命题是等价的：（1 1） 是直和；是直和；
26、（2 2） ； （3 3） 和和 中零向量的表示法唯一，即若中零向量的表示法唯一，即若 则则（4 4） 和和 中每个向量的表示法是唯一的。中每个向量的表示法是唯一的。V12V V, ,F1212dim()dim()dim()VVVV12VV+ +12VV+ +121122()VV+,+,12. = =12VV+ +数学系数学系 李继根（李继根（）1212111222,VV、证明：证明： 根据维数公式显然成立。根据维数公式显然成立。(1)(2).12dim()0.VV 根据维数公式根据维数公式(2)(1).所以所以12 .VV 设存在向量设存在向量 ，有，有(1)(4).12VV 则则11221
27、2 VV 所以所以1122 显然成立。显然成立。(4)(3).数学系数学系 李继根（李继根（）112(),VV 对任意向量对任意向量 ，有，有(3)(1).12VV 根据（根据（3），零向量的表示是唯一的，因此），零向量的表示是唯一的，因此 数学系数学系 李继根（李继根（）例例 3 3 设设 分别是分别是 阶实对称矩阵和反对称矩阶实对称矩阵和反对称矩阵的全体。显然容易证明阵的全体。显然容易证明 均为线性空间均为线性空间 的的子空间。试证明子空间。试证明,S Knn nR ,S K.n nRSK 1122()(),TTn nAAAAAAR 证明证明：因为任意实方阵可以分解为一个实对称矩阵：因为任
28、意实方阵可以分解为一个实对称矩阵和一个实反对称矩阵的和，即和一个实反对称矩阵的和，即又又 根据定理根据定理4可知结论成立。可知结论成立。2(1)dim/(1)2()/ 2n nn nRnn n dim( )(),dimSK数学系数学系 李继根（李继根（）（直和分解直和分解）设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 的一个子空间，则一定存在的一个子空间，则一定存在 的另一个子空的另一个子空间间 ，使得子空间，使得子空间 具有具有并称并称 和和 是一对是一对，或者，或者 是是 的的。V1VFVV12VVV 2V1V2V1V2V显然显然直和分解可以推广到多个子空间的情形。直和分解可以推广到多个子
29、空间的情形。数学系数学系 李继根（李继根（）注意注意：子空间的补子空间未必是唯一的，也就是说：子空间的补子空间未必是唯一的，也就是说线性空间的直和分解未必是唯一的线性空间的直和分解未必是唯一的。例如若。例如若12(1,0,0) ,(0,1,0) ,TT12(0,0,1) ,(0,1,1) .TT显然，显然， 是是 的的 一个子空间，一个子空间，几何上很容易看出，几何上很容易看出， 和和 都都 是是 的补子空间。的补子空间。12(,)Uspan = =3R1()span 2()span U数学系数学系 李继根（李继根（）4、线性变换、线性变换是线性空间的核心内容，反映的是线性空间的核心内容，反映
30、的是是线性空间中元素间的一种基本联系线性空间中元素间的一种基本联系，体，体现出一种现出一种“动态的动态的”或者或者“直观的直观的”视角。视角。借助借助基基的概念，可在线性变换与矩阵之间的概念，可在线性变换与矩阵之间建立一一对应关系，因此通俗地讲建立一一对应关系，因此通俗地讲“变换变换即矩阵即矩阵”。这同时也意味著线性变换的运。这同时也意味著线性变换的运算可以转化为矩阵的运算。算可以转化为矩阵的运算。数学系数学系 李继根（李继根（）一、线性变换一、线性变换(Linear Transformation)的概念的概念设设 是数域是数域 上的两个线性空间，映射上的两个线性空间，映射 称为称为 到到 的
31、的或或(Linear Operator ) ，如果对，如果对 中的任意两个向量中的任意两个向量 和任意的数和任意的数 ，都有，都有（i) (i) () )(ii) (ii) () )12V V, ,F12:T VV1V 、()( )( );TTT1V2V1VkF ()( ) .T kkT 并称并称 为为 在在 下的下的（），而），而 是是 的的。( )T T ( )T 数学系数学系 李继根（李继根（）例例 1 1 由下式由下式确定的映射确定的映射 是线性变换。是线性变换。,(,)nm nxTxRxAAR :nmTRR当矩阵当矩阵 是是对角矩阵对角矩阵时，此例中的变换显然就是一时，此例中的变换显
32、然就是一种种伸缩变换伸缩变换。特别地，如果。特别地，如果 是是单位矩阵单位矩阵，这个变，这个变换就是一种换就是一种。AA数学系数学系 李继根（李继根（） 例例 2 2 （旋转变换旋转变换或或Givens变换变换）将线性空间）将线性空间 中的所有向量均绕原点中的所有向量均绕原点顺时针顺时针旋转角旋转角 的变换就的变换就是一个线性变换。这时是一个线性变换。这时 与与 之间的关系为之间的关系为2R12(,) 12(,) 1122cossinsincos 数学系数学系 李继根（李继根（）例例 3 3 由下式由下式确定的线性空间确定的线性空间 到其自身的映射到其自身的映射 是线性变换。这里是线性变换。这
33、里 称为称为，非零向量，非零向量 称为称为 。,(,)xVTxFx :T VVV Tx T 数学系数学系 李继根（李继根（）例例4 4 数域数域 上的所有上的所有无限次可导无限次可导实函数的集合实函数的集合 是一个线性空间。则由下式是一个线性空间。则由下式确定的求导运算确定的求导运算 是是 上的一个线上的一个线性变换。性变换。R(),ffVDf V:D VVV数学系数学系 李继根（李继根（）例例 5 5 闭区间闭区间 上的所有上的所有实连续函数实连续函数的集的集合合 构成构成 上的一个线性空间。则由下式上的一个线性空间。则由下式确定的求积运算确定的求积运算 是是 上的一个线性变换。上的一个线性
34、变换。R, ,)(tafC a bJ ff u du , a b: , , J C a bC a b , C a b , C a b例例 4 和例和例 5 表明，表明，微积分的两个基本运算微积分的两个基本运算（微分和积（微分和积分），从变换的角度看都是线性变换（或线性算子），分），从变换的角度看都是线性变换（或线性算子），由此可知线性变换在理论与应用中有着广泛的应用。由此可知线性变换在理论与应用中有着广泛的应用。数学系数学系 李继根（李继根（）二、线性变换的基本性质二、线性变换的基本性质11(3)().mmiiiiiiTT 如果如果 是线性变换，是线性变换，则则12:T VV (1)( );T
35、 ()( );TT (2)零向量对应零向量零向量对应零向量叠加原理叠加原理数学系数学系 李继根（李继根（）1221(3)()( )( );T TTT 如果如果 表示表示 ，并且对任意并且对任意( )L V(1)2112()( )( )( );TTTT ()( )( );kTTk (2)V12( ),TTTL VV kF 、 、则可以验证，则可以验证， 都是线性变换，因此都是线性变换，因此 也是数域也是数域 上的线性空间。上的线性空间。1212,TT kT TT ( )L VF数学系数学系 李继根（李继根（）V 线性空间线性空间 上的线性变换上的线性变换 称为称为，如果存在，如果存在 上的线性变
36、换上的线性变换 ，使，使这里这里 表示表示 上的上的，即对，即对任意任意 ， 有有1T E( ).E TVV 11.TTT TEV数学系数学系 李继根（李继根（）例例 6 6 将线性空间将线性空间 中的所有向量均绕原点中的所有向量均绕原点逆逆时针时针旋转角旋转角 的变换就是的变换就是例例 2 2 中的线性变换的中的线性变换的逆逆变换变换。这时像。这时像 与原像与原像 之间的之间的关系为关系为2R 12(,) 12(,) 1122cossinsincos 1222221212sin, cos.特别地，要使特别地，要使 ，则角度，则角度 满足满足20 数学系数学系 李继根（李继根（）(),1,2,
37、iiTin1122( )nnTxxx对任意对任意1122nnxxxV定理定理3 3 设设 是线性空间是线性空间 上的一组基。上的一组基。对于对于 中任意一组向量中任意一组向量 ，必，必存在唯一存在唯一的的线性变换线性变换 ，使得，使得 12,n :T VV12,n VV定义所求变换如下即可：定义所求变换如下即可：特别地，特别地， 是是可逆的可逆的当且仅当当且仅当 也也是是 的基。的基。T12,n V数学系数学系 李继根（李继根（）三、线性变换的矩阵表示三、线性变换的矩阵表示 的基的基 映射为映射为 。 V12,n 12(), (), ()nTTT 维线性空间维线性空间 上的线性变换上的线性变换
38、 将将 :T VVnV由于由于 仍然是基仍然是基 的线性组合，所以令的线性组合，所以令 ()iT 12,n 1122()(1,2, )iiin inTaaain因此因此12(,)nT 12( (), (), ()nTTT 数学系数学系 李继根（李继根（）12(,)nA 11121212221212(,)nnnnnnnaaaaaaaaa 这里，矩阵这里，矩阵 称为称为 (在基在基 下下)。T12,n A 因此线性变换与方阵之间可以建立一一对应因此线性变换与方阵之间可以建立一一对应的关系。的关系。数学系数学系 李继根（李继根（）12(,)nAx 12( (), (), ()nTTTx 因此因此与与
39、的的坐标变换公式坐标变换公式为为yA x 对对 中的任意向量中的任意向量 ，显然，显然其在其在为为T1122+nnxxx V1122( )(+)nnTT xxx 12(,)ny 1122()+()+().nnx Tx Tx T 数学系数学系 李继根（李继根（）例例 7 7 在矩阵空间在矩阵空间 中定义线性变换：中定义线性变换：2 2R 11().11TXXX B 1 11 22 12 21001() :,00000000,1001IEEEE 求求 在在标准基标准基（I ) 下的矩阵，这里下的矩阵，这里T数学系数学系 李继根（李继根（）解：解：1 11 11 11 21 21 21 11 22
40、12 12 12 22 22 22 12 211(),0011(),0000(),1100()11TEEBEETEEBEETEEBEETEEBEE 数学系数学系 李继根（李继根（）1100110000110011A 所以所以 在标准基（在标准基（I ) 下的矩阵为下的矩阵为T数学系数学系 李继根（李继根（）同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示是否改同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示是否改变呢？变呢？则则1212(,)(,)nnP 设设 为为 维线性空间维线性空间 上的线性变换，对于上的线性变换，对于 的的基基 和和 的矩阵表示分别是的矩阵表示分别是 和和 ，并且基，并且基 到基到基
41、的过的过渡矩阵为渡矩阵为 ，即有：，即有：12,n BP12,n 12,n TnVAV12,n 12(,)nB 12(,)nTTTP 12(,)nAP 112(,)nPAP 12(,)nTP 12(,)nT 故故1BPAP 数学系数学系 李继根（李继根（） 对对 阶矩阵阶矩阵 ，如果存在，如果存在 阶阶可逆矩阵（即满秩矩阵）可逆矩阵（即满秩矩阵） ，使，使则称则称 与与 ，或，或 。按变换的观点，。按变换的观点，则称则称将将 为为 。n nABF 、n nPF n1BPAP nABPABAB据此定义可知，同一个线性变换，当基改变后，它的据此定义可知，同一个线性变换，当基改变后，它的矩阵表示也改
42、变，但矩阵表示也改变，但矩阵表示是相似的矩阵表示是相似的。相似变换矩。相似变换矩阵就是线性空间中不同基间的过渡矩阵。阵就是线性空间中不同基间的过渡矩阵。数学系数学系 李继根（李继根（）例例 8 8 在多项式空间在多项式空间 中，设中，设定义线性变换定义线性变换3 F t2123( )f txx tx t 2231312 ( )()()()T f txxxxtxxt 试求试求 的一组基的一组基 ，使，使 在该基下的矩阵为在该基下的矩阵为对角矩阵。对角矩阵。3 F tT数学系数学系 李继根（李继根（）2123( ),( ),( )(1, ,)f tf tf tt tP 并且并且设所求基为设所求基为
43、 ，由于同一，由于同一线性变换在不同基下的矩阵相似，因此有线性变换在不同基下的矩阵相似，因此有123( ),( ),( )f tf tf t解：解：1123(,)PAPdiag 这里标准基这里标准基 在线性变换在线性变换 下的矩阵表示下的矩阵表示为为21, , t tT011101110A 数学系数学系 李继根（李继根（）2211( )(1, ,)1f tt tptt 由由 求得求得APP 因此所求基为因此所求基为123111110(,)101Pppp 222( )(1, ,)1f tt tpt2233( )(1, ,)1f tt tpt数学系数学系 李继根（李继根（）( )( ),1,2,3
44、iiif tf tTi 矩阵矩阵 的特征值为的特征值为A1232,1 显然可以验证线性变换显然可以验证线性变换 满足满足T数学系数学系 李继根（李继根（）称称 矩阵矩阵 为多项式为多项式 的的，这里，这里012101000100001nnaCaaa 例例 9 9 对于多项式对于多项式1110( )nnnf xxaxa xa nn C( )f x数学系数学系 李继根（李继根（）12111112111(,)nnnnnnVV 1(,)ndiag 当矩阵当矩阵 有有两两不同的特征值两两不同的特征值时，可以验证，通过时，可以验证，通过 可以将矩阵可以将矩阵 的特征多项式的特征多项式 的友矩阵的友矩阵 相
45、似变换相似变换为对角矩阵为对角矩阵AVCA这里这里数学系数学系 李继根（李继根（）122224,242A 例例10 10 已知矩阵已知矩阵 与与 相似，其中相似，其中AB200070 .052B 求可逆阵求可逆阵 ，使，使 。P1P APB 数学系数学系 李继根（李继根（）存在可逆矩阵存在可逆矩阵 ，使，使12PP、 由于由于 都与同一个对角阵都与同一个对角阵 相似，因相似，因此使用此使用 来来“过渡过渡”。即。即 AB、 1122,.PAPPBP -1-1-1-1下面求可逆矩阵下面求可逆矩阵 。12PP、所以所以11212()().P PA P PB -1-1-1-1即即12.PP P -1
46、-1首先求特征值。首先求特征值。1232,7. 显然显然 的特征值为的特征值为B因为因为 相似，所以这也是相似，所以这也是 的特征值。的特征值。AB、A解：解：数学系数学系 李继根（李继根（）对于对于 ，解，解 ，1()0AI x 122得基础解系得基础解系接着求可逆矩阵接着求可逆矩阵1.P12( 2,1,0) ,(2,0,1)TT 对于对于 ，解，解 ，3()0AI x 37 得基础解系得基础解系3(1,2, 2)T 所以所以1123221,102.012P 数学系数学系 李继根（李继根（）对于对于 ，解，解 ，1()0BI x 122得基础解系得基础解系接着求可逆矩阵接着求可逆矩阵2.P1
47、2(1,0,0) ,(0,0,1)TT对于对于 ，解，解 ，3()0BI x 37 得基础解系得基础解系3(0, 9,5)T 所以所以2123100,009 .015P 数学系数学系 李继根（李继根（）112221221102102012012PP P 因此因此59192211001020101200 297921210 .01 数学系数学系 李继根（李继根（）四、线性变换的值域与核四、线性变换的值域与核 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 上的线上的线性变换性变换 。令。令VT( )|)m(,I()TVTR TF( )(|(),Ker TN TVT 称称 是是，而，而 是是。 的维
48、数称为的维数称为 的的， 的维的维数称为数称为 的的。Im( )TTT( )Ker TIm( )T( )Ker TT数学系数学系 李继根（李继根（） 设设 是数域是数域 上的线性空间上的线性空间 上的线上的线性变换性变换 。令。令 在在 的一组基的一组基 下的矩下的矩阵表示为阵表示为 ，则，则（1 1） 和和 都是都是 的子空间；的子空间；（2 2） （3 3） （4 4） Im( )TVTVFdim()dimIm( )( )().TKer TnVT( )Ker T12( (),Im(), ();nspan TTTT A11,n ( )();rankrank AT 数学系数学系 李继根（李继根
49、（）如果如果 是线性无关的，则有是线性无关的，则有 ，结论成立。，结论成立。)imIm(dTnr1(), ()rnTT 证明证明（4 4）设）设 ，在，在 中取中取一组基一组基 ，根据，根据扩充定理扩充定理，将它扩充成，将它扩充成 的基的基 ，则，则( )Ker T11( (), (),Im(),)()rrnspan TTTTT 11,r (im()d)Ker Tr 111,rrn 1( (), (),rnspan TT V数学系数学系 李继根（李继根（）因为因为 线性无关，所以线性无关，所以12,n 事实上，设事实上，设 ，则，则从而从而1njjj rk 1( ),njjj rTkT 1.k
50、er( )njjj rkT 因此有因此有11nrjjiij rikc 110,0rnrkkcc 数学系数学系 李继根（李继根（）注意：注意：dimIm( )dim( )TKer TnIm( )( )TKer TV ( ) Ker T Im( )TV T数学系数学系 李继根（李继根（）1021121312552212 例例1111* * 设线性变换设线性变换 在在4维线性空间维线性空间 的基的基 下的矩阵为下的矩阵为TV1234, 1234,A 数学系数学系 李继根（李继根（）（1）求）求 的一组基，把它扩充成的一组基，把它扩充成 的一的一组基，并求组基，并求 在这组基下的矩阵在这组基下的矩阵
