1、第6章 图像变换（1）.引言 图像的数学变换的特点在于其有精确的数学背景，是许多图像处理技术的基础。在这些变换中，一种是在空间域上进行的，这些变换根据处理操作的特点，可以分为图像的代数运算和几何运算，它们都是利用对输入图像进行加工而得到输出图像。另一种重要的数学变换则是将原定义在图像空间的图像以某种形式转换到另外一些空间，并利用输入图像在这些空间的特有性质有效而快速地对图像进行处理和分析。最典型的变换有离散傅立叶变换，它把空域中的图像信号看作二维时间序列，将其变换到频率域来分析图像的频谱特性。.图像变换的目的使图像处理问题简化；有利于图像特征提取；有助于从概念上增强对图像信息的理解。.常用的图
2、像变换方法傅里叶变换：针对特定波段，周期性噪声的去除；主成分变换：针对多波段，产生新的“波段”，数据的压缩或噪声的去除；缨帽变换：适用于LANDSAT图像的多波段经验性变换方法，更好地突出主体的地物特征；代数运算：简单的代数运算产生新的“波段”，增强特定的地物信息；色彩变换：RGB彩色空间转换到其他彩色空间显示，突出RGB空间中难以表达的内容。.6.1 傅里叶变换 傅里叶变换是变换域分析中广泛使用的工具。把傅里叶变换的理论与遥感图像的物理解释相结合,有利于解决大多数遥感图像处理问题。.傅里叶变换指非周期函数的正弦和或余弦和乘以加权函数的积分表示，1965年快速傅里叶变化算法（FFT）出现后得到
3、大规模应用。傅里叶变换分为连续傅里叶变换和离散傅里叶变换，在数字图像处理中常用的是离散傅里叶变换。.6.1.1 基本概念设x(t)为（- ，+ ）上连续函数，在一定条件下，有如下关系：dtetxfXfti2)(）（dfefXtxfti2)()(（1）（2）公式(1)称为傅里叶变换，公式(2)称为傅里叶逆变换。X(f)为x(t)的连续频谱，简称频谱。公式(1)中，可以由信号x(t)求出相应的频谱X(f)，这个过程称为频谱分析。在图像处理中，该过程称为傅里叶变换。.)()()(tntstx 通过传感器所接收到的信号x(t),一般包括两种成分：有效信号s(t)，和干扰信号n(t)。 信号处理的目的就
4、是削弱干扰信号n(t)，保持或增强信号s(t)。 在许多情况下，干扰信号n(t)的频谱N(f)与有效信号s(t)的频谱S(t)是不同的。因此，可以有针对性的设计不同的频率函数H(f)，即滤波器，对信号x(t)进行滤波，以削弱干扰增强信号。.6.1.2图像的傅里叶变换图像理论把通信中的一维问题推广到二维空间进行研究。通信研究的是一维时间信息，图像研究的是二维空间信息；通信研究的是时间域和频率域之间的关系，图像理论研究的是空间域和频率域之间的关系。图像理论认为：平面图像是由许多相位、振幅不同的x-y方向的空间频率叠加的结果。空间上高频率波决定图像的细节，空间上低频率波决定图像的背景和动态范围。.二
5、维连续函数（图像）傅里叶变换二维离散（图像）傅里叶变换.（1）二维连续函数（图像）傅里叶变换频率域滤波的基本原理若f(x,y)为(x,y)二元连续函数（图像函数），则它的傅里叶变换为：) 3(),(),()(2dxdyeyxfvuFvyuxjF(u,v)的傅里叶逆变换为：)4(),(),()(2dudvevuFyxfvyuxjF(u,v)为f(x,y)的频谱。.假设f(x,y)代表原始图像，g(x,y)代表处理后的图像则：)5(),(),(),(yxfyxhyxg式中：h(x,y)为响应函数如果G(u,v), H(u,v), F(u,v)分别是g(x,y)，h(x,y)，f(x,y)的傅里叶变
6、换，由卷积定理可知，上面的卷积关系可表示为频率域的乘积关系：)6(),(),(),(vuFvuHvuG式中：H(u,v)为传递函数，或滤波器，直接影响变换的结果。.给定了原始图像f(x,y)，计算得到F(u,v)之后，目的是要选择H(u,v)，然后通过下式：),(),(),(1vuFvuHFyxg计算后得到所需的图像效果。F-1表示傅里叶逆变换。利用函数H(u,v)强调F(u,v)的高频分量，使f(x,y)的边缘得到增强，也可以强调F(u,v)的低频分量，使图像颗粒噪声得以消除。.（2）二维离散傅里叶变换在二维离散的情况下，傅立叶变换对表示为1010/ )/(2),(1),(NxMyMvyNu
7、xjeyxfMNvuF) 1, 2 , 1; 1, 2 , 1( MvNu其逆变换为：1010)/(2),(),(NuMvMvyNuxjevuFyxf) 1, 2 , 1; 1, 2 , 1( MyNxX和y分别代表图像的空间坐标，u和v分别代表x和y轴方向的空间频率分量。空间频率是指单位长度内亮度周期性变化的数量。.一维和二维离散函数的傅里叶谱、相位和能量谱也分别由前面式子给出，唯一的差别在于独立变量是离散的。一般来说，对一幅图像进行傅立叶变换运算量很大，不直接利用以上公式计算。现在都采用傅立叶变换快速算法，这样可大大减少计算量。为提高傅立叶变换算法的速度，从软件角度来讲，要不断改进算法；另
8、一种途径为硬件化，它不但体积小且速度快。 .原图离散傅立叶变换后的频域图.6.1.3快速傅里叶变换减少运算步骤和节省时间用两次一维的FFT进行快速运算处理，把遥感图像转换为一系列不同频率的二维的正弦/余弦波。有专门的软件包，使用方便。.6.1.4频率域图像线性的地物为高频部分，大块面状的地物为低频部分；频率域图像以图像的中心为坐标原点，左上-右下、右上-左下对称。图像中心为原始图像的平均亮度值，频率为0；从图像中心向外，频率增高；高亮度表明频率特征明显；频率域图像中明显的频率变化方向与原始图像中地物分布方向垂直。.SPOT图像及其频率域图像.6.1.6傅里叶变换流程正向FFT定义滤波器逆向FF
9、T.6.2主成分变换（K-L变换）多波段(N波段)图像可以看作是N维空间。 每个象元点在多光谱空间中的位置都可以表示为一个 n维向量 X 。 多光谱空间.KL变换 KL变换又称主成分变换，是利用变换距阵对多光谱图像进行线变换又称主成分变换，是利用变换距阵对多光谱图像进行线性组合，最终产生一组新的多光谱图像，其目的是数据压缩和图像性组合，最终产生一组新的多光谱图像，其目的是数据压缩和图像增强。增强。Y=AXY=y1y2y3ynA=112112221n2nn1n2ijmnX=x1x2xixnA为变换距阵、为变换距阵、X为变换前的多光谱空间像元矢量，为变换前的多光谱空间像元矢量， Y为变换后的多光为
10、变换后的多光谱空间像元矢量，谱空间像元矢量，.遥感影像中不同波段的数据之间往往存在着一定的相关性， 因此总体数据集存在着冗余。 主成分分析的目的是通过线性正交变换把多个波段数据集的信息量集中到数量尽可能少的主成分影像数据中，而这些主 成分之间相互无关，这样就减少总的数据量并使影像的特征信息得到增强。 在遥感应用领域，主成分分析常用作数据压缩(去相关)的一种手段，它将过多的波段数据压缩进较少的波段内。一幅主成分图像中包含了比一幅原始波段内容丰富的信息，起到图像增强作用。 .主成分变换流程主成分正变换：通过对图像进行统计分析，在波段协方差矩阵或相关矩阵的基础上计算特征值，构造主成分，根据主成分与特
11、征值的关系，选择少数的主成分为输出结果。主成分逆变换。.TM图像变换结果实例.KL变换的特点：变换的特点： 就变换后的新波段主分量而言，KL变换后的新波新波段主分量包括的信息量不同，呈逐渐减少趋势段主分量包括的信息量不同，呈逐渐减少趋势。其中，第一主分量集中了最大的信息量，常常占80以上，第二、第三主分量的信息量依次快速递减，到第n分量信息几乎为0。由于KL变换对不相关的噪声没有影响，所以信息减少时，便突出了噪声，最后的分量几乎全是噪声。所以这种变换又可分离出噪声。所以这种变换又可分离出噪声。KL变换的特点：.6.3缨帽变换1976年，Kauth和Thomas构造的线性变换方法Kauth- T
12、homas变换，简称K-T变换。可以实现信息压缩，帮助解译分析农作物特征。主要用于MSS和TM影像。.6.3.1基本原理农作物在裸土、发芽、生长期、成熟期、变黄期和衰老期的光谱变化规律及特征。KT变换又称缨帽变换(Tasseled cap)，是针对植物学家所关心的植被图像特征，在植被研究中将原始图像数据结构轴进行旋转而优化图像数据显示效果。.KT变换是KauthThomas变换的简称，这种变换也是一种线性组合变换，其变换公式为：Y=BX这里X为变换前的多光谱空间的像元矢量，y为变换后的新坐标空间的像元矢量，B为变换矩阵。这也是一种坐标空间发生旋转的线性变换，但旋转后的坐标轴不是指向主成分方向，
13、而是指向了与地面景指向了与地面景物有密切关系的方向物有密切关系的方向。主要针对TM的1至5和第7波段，低分辨率的热红外(第6波段)波段不予考虑。 B与矢量 相乘后得到新的6个分量，TxxxX621,TyyyY621,.新分量中的前三个分量与地面景物的关系明确： yl为亮度为亮度，反映了总体的反射值。y2为为 绿度，绿度，反映了绿色生物量的特征。Y3为湿度为湿度，反映出湿度特征。Y4,y5,y6这三个分量与地物没有明确的对应关系，因此KT变换后只取前三个分量。这样也实现了数据压缩。75,xx.K-T变换前3个分量的实际物理意义亮度：TM的6个波段的加权和，反应总体的亮度值绿度：绿色生物量特征。湿
14、度：土壤湿度和植物湿度。亮度和绿度组成“植被视面”；湿度和亮度组成“土壤视面”；绿度与亮度组成“过渡区视面”。.TM影像真彩色合成显示与K-T变换后三分量假彩色显示比较.6.3.2 MSS图像的缨帽变换TyyyyY),(4321rXRY1X为像素的光谱向量；Y为变换后新空间的像素向量。变换公式：变换后：Y1为亮度分量，主要反映土壤信息，是土壤反射率变化的方向；Y2为绿色物质分量；Y3为黄色物质分量。黄度说明了植物的枯萎程度。KT变换是一种固定的经验线性变换，使波谱空间旋转到几个有意义的方向上。. KT变换的研究主要针对主要针对TM数据和以前使数据和以前使用过的用过的MSS数据，目前应用范围较窄，数据，目前应用范围较窄，但它抓住了地面景物，特别是植键和土壤在多光谱空间中的特征。对于扩大陆地卫星TM影像数据分析在农业方面应用有重要意义。.
