1、第三篇第三篇 动力学动力学Nanjing University of TechnologyNanjing University of Technology第第10章章 动量矩定理及其应用动量矩定理及其应用第三篇第三篇 动力学动力学谁最先到谁最先到 达顶点达顶点第第10章章 动量矩定理及其应用动量矩定理及其应用 没有尾桨的没有尾桨的直升飞机是直升飞机是怎样飞起来怎样飞起来的的 10.1 10.1 几个有意义的实际问题几个有意义的实际问题 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 10.3 10.3 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 10.4 10.4 刚体
2、定轴转动微分方程与平面运动微分方程刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程 10.5 10.5 结论与讨论结论与讨论 10.1 10.1 质点与刚体的动量矩质点与刚体的动量矩 第第10章章 动量矩定理及其应用动量矩定理及其应用 第第10章章 动量矩定理及其应用动量矩定理及其应用 10.1 10.1 质点与刚体的动量矩质点与刚体的动量矩 质点的动量对点质点的动量对点O的动量矩的动量矩FrFM)(Ovmr)( vL mo力对点力对点O的力矩的力矩质点与质点与质点系的动量矩质点系的动量矩 vrvMmmOOLmvzyAoxxymv)(Amvr质点的动量对质点的动量对z轴的动量矩轴的动量矩力对力对z轴的力
3、矩轴的力矩( )zMF质点与质点与质点系的动量矩质点系的动量矩 zLvmMzLO(mv)OA(x,y,z)Brmvhyxz质点质点质点与质点与质点系的动量矩质点系的动量矩 质点对质点对O点点的动量矩的动量矩vrLmO质点对质点对轴轴的动量矩的动量矩xLyLzLiiiOim vrL第第i个个质点对质点对O点点动量动量矩矩为为 质点系质点系质点与质点与质点系的动量矩质点系的动量矩 质点系对质点系对O点点动量动量矩矩为为 质点系对质点系对轴轴的动量矩的动量矩xLyLzLzOiizzyOiiyyxOiixxmLLmLLmLLLvLvLviiiOmvrL（1 1）平移刚体平移刚体的动量对的动量对O点之矩
4、点之矩)(vrLiiOmvr CmxyzoimirvCrv刚体的动量矩刚体的动量矩 刚体刚体vri)(imvrLCmO（2 2）定轴转动刚体定轴转动刚体对转动轴对转动轴的动量的动量矩矩2i imr刚体对轴刚体对轴z的的转动惯量转动惯量刚体的动量矩刚体的动量矩 rimiiivr2i imriizzmLLviiirvm2iizrmJzzJL （1 1）转动惯量的相关概念）转动惯量的相关概念度量刚体转动时度量刚体转动时惯性惯性的物理量。的物理量。 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 mJzz2zzmJ刚体对某轴刚体对某轴z的转动惯量可按下式计算的转动惯量可按下式计算刚体对任一轴刚体对任一轴z的的回
5、转半径回转半径（或或惯性惯性半径半径）为为 2iizrmJrimiiivr（2 2）简单形状均质物体的转动惯量计算简单形状均质物体的转动惯量计算（a）均质细直杆分别对）均质细直杆分别对z轴和轴和zC转动惯量转动惯量zdxxxOl2lzCdxxxC 设均质细杆长设均质细杆长l，质量为，质量为m，取微，取微段段dx, , 则则dxlmdm 20231mlxdxlmJlz2222121mlxdxlmJllzC刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 2iizrmJzR设细圆环的质量为设细圆环的质量为m，半径为，半径为R。则。则222zi iiJm rRmmR xyRrdr设圆板的质量为设圆板的质量为m，
6、半径为，半径为R。将圆板分为无数同。将圆板分为无数同心的薄圆环，任一圆环的质量为心的薄圆环，任一圆环的质量为（b）均质薄圆环对中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中心轴的转动惯量（c）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量rdrRmRmrdrrdrdm22222203202212mRdrrRmdmrJRRZ2iizrmJ刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 zOzCC（m ，l ）2mRJZ231mlJZ简单形状均质物体的转动惯量计算简单形状均质物体的转动惯量计算zR（m，R）xyR（m，R）221mRJZ2121mlJZC 平行移轴定理平行移轴定理：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚
7、体对刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的于通过质心、并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。质量与两轴间距离平方的乘积。（3 3）平行移轴定理）平行移轴定理231mlJZ刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 zCCzO（m ，l ）22lmJJZCZ2121mlJZC思考思考Jz？2zzCJJmdOABll 2OABll 2 均质直角折杆尺寸如图，其质量分均质直角折杆尺寸如图，其质量分别为别为m和和2m，求其对，求其对O轴的转动惯量。轴的转动惯量。ABOAOJJJl 2OABll 2（4）组合刚体的转动惯量组合刚体的转
8、动惯量刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 222)2)(2()2)(2(12131lmlmml25ml 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 第第10章章 动量矩定理及其应用动量矩定理及其应用 Lo(mv)OA(x,y,z)BrmvyxzOLmrv()ddmmdtdtrvrv()OddLmdtdtrv()O MF rFmvv质点质点FMo(F)质点系相对固定点的动量矩定理质点系相对固定点的动量矩定理 FMLOOdtd0)(iiOFM质点系质点系m1m2mnO质点系相对固定点的动量矩定理质点系相对固定点的动量矩定理eeOiOOdtdMFMLieiOiOFMF
9、MiOOitFMLddieddiOiOOitFMFML质点质点 微分形式微分形式m1m2mnOyxzeeOiOOdtdMFMLeeeddddddzzyyxxMtLMtLMtL质点系相对固定点的动量矩定理质点系相对固定点的动量矩定理在直角坐标中投影在直角坐标中投影 tiiOOde0FrLL12质点系动量矩定理的积分形式质点系动量矩定理的积分形式。 积分形式积分形式与冲量定理一起应用于求解与冲量定理一起应用于求解碰撞碰撞问题。问题。 质点系相对固定点的质点系相对固定点的动量矩守恒定律动量矩守恒定律 eeOiOOdtdMFML恒矢量恒矢量10C LL0eOMedtdxxML恒量恒量20CLLxx0e
10、xM上次课内容小结上次课内容小结 vrLmCOZZJL 22ZiiZmrmJ1. 动量矩动量矩 2）刚体的动量矩：）刚体的动量矩：定轴转动刚体对定轴转动刚体对z轴的动量矩轴的动量矩3）刚体对轴的转动惯量）刚体对轴的转动惯量简单均质物体的转动惯量计算简单均质物体的转动惯量计算平行移轴定理平行移轴定理组合刚体的转动惯量组合刚体的转动惯量2.质点系相对固定点质点系相对固定点O的动量矩定理的动量矩定理， 2zzCJJmdeOOdtdML0iiiOmvrL1）质点系对）质点系对O点的动量矩：点的动量矩：平移刚体对平移刚体对O点的动量矩点的动量矩zOzCC（m ，l ）2mRJZ231mlJZ简单形状均质
11、物体的转动惯量计算简单形状均质物体的转动惯量计算zR（m，R）xyR（m，R）221mRJZ2121mlJZC 均质圆轮半径为均质圆轮半径为R、质量为、质量为m。圆轮在重物圆轮在重物P带动下绕固定轴带动下绕固定轴O转转动，已知重物重量为动，已知重物重量为W。求：求：重物下落的加速度。重物下落的加速度。P例题例题1 1 例题例题1 1 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 解：解：对象：对象：整体整体受力：如图所示受力：如图所示方程：方程：圆轮对圆轮对O轴的动量矩轴的动量矩重物对重物对O的轴动量矩的轴动量矩2121mRJLOO2OWLvRgvRgWmRLLLO
12、OO22121系统对系统对O的轴总动量矩的轴总动量矩P运动：运动：圆轮定轴转动，物块平移圆轮定轴转动，物块平移FOxFOyWmg 例题例题1 1 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 vRgWmRLLLOOO22121系统对系统对O的轴总动量矩的轴总动量矩应用动量矩定理应用动量矩定理WRvRgWmRt)21(dd2WRRagWmRP221aP=R#2gWmWaP运动学补充关系运动学补充关系 例题例题1 1 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 aPeddOOMtLPFOxFOyWmg？圆轮的角加速度是否相同？圆轮的角加速度
13、是否相同？若用手拉绳子？若用手拉绳子？思考思考 例题例题1 1 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 WF PPW分别选轮和物体为研究对象？分别选轮和物体为研究对象？PFTFT圆轮：圆轮：物体：物体：OOLJ 思考思考eddOOMtLaPaP=RTPFWma 例题例题1 1 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 RFT谁最先到谁最先到 达顶点达顶点 实例解释实例解释 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 aa0A AB Bm vr m vr uvvuvvBrBaArAaaaABvv2Br
14、Arvvu2BrArBaAavvvvaAvaBv 实例解释实例解释 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 OxFOyF0eizMF0 constLz 实例解释实例解释 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 2BrArBaAavvvv 实例解释实例解释 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 2BrArBaAavvvv没有尾桨的没有尾桨的直升飞机是直升飞机是怎样飞起来怎样飞起来的的 实例解释实例解释 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 zMrFMz(F
15、)= Mr旋翼旋翼尾桨尾桨 实例解释实例解释 10.2 10.2 动量矩定理与动量矩守恒定律动量矩定理与动量矩守恒定律 第第10章章 动量矩定理及其应用动量矩定理及其应用 10.3 10.3 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 对固定点的对固定点的动量矩动量矩定理！定理！ 一般的动点？一般的动点？eOOdtdML固定点固定点iiiOmvrL固定点固定点质点系相对质心的动量矩质点系相对质心的动量矩 miviC COxyzzyxrirCriiiiCmvrL irCivvvirCiiCmvvrL 0iriiCiimmvrvr CCmvr iriimvr iriimvr iriiiiiCmmvr
16、vrL 质心质心质心质心质点系相对固定点的动量矩为质点系相对固定点的动量矩为 iiLrvOiim iiiiiCOmmvrvrLiCirrrvviiCmmLrvLOCCCm质点系相对固定点的动量矩质点系相对固定点的动量矩与相对质心的动量矩之间的关系与相对质心的动量矩之间的关系 miviC COxyzzyxrirCriiriiiiiCmmvrvrL edd()ddLrvLrFnOCCCiiimttddddddrvLvrCCCCCmmttteerFrFnnCiiiiiiCirrr质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 nieiinieiCCtFrFrLddLrvLOCCCmeOOdtd
17、MLCvCa0nieiCFreddiniiCtFrLeCnieiCMFM质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 miviC COxyzzyxrirCrieCCdtdML质心质心注意：注意：1.1.随随质心运动的坐标系，一定是质心运动的坐标系，一定是平移平移坐标系。坐标系。2.2.该定理只适用于该定理只适用于质心质心这一特殊动点，对于其他动点，将这一特殊动点，对于其他动点，将出现附加项。出现附加项。eOOdtdML第第10章章 动量矩定理及其应用动量矩定理及其应用 10.4 10.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程与平面运动微分方程与平面运动微分方程 刚体定轴转动微分方程
18、刚体定轴转动微分方程 zzJL eOzMdtdLeizM FzzMJzzJM刚体定轴转刚体定轴转动微分方程动微分方程突解约束问题突解约束问题解除约束前解除约束前后约束力的后约束力的变化？变化？ 例题例题2 2 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 FT平衡问题平衡问题动力学问题动力学问题 例题例题2 2 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 213m l02nCCala32gl动力学问题动力学问题2lm g nCaCaxy 例题例题2 2 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 mgFmaFmaOycOxcn420mglmmgFFOyOx 例题例题2 2 刚体定轴转动微分方程刚体定轴
19、转动微分方程 刚体的平面运动刚体的平面运动CCJL 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 前提：前提：刚体对质心的动量矩为刚体对质心的动量矩为随随质心质心的平移的平移绕绕质心质心的转动的转动+C COxyzzyx FCCMJeiCmFa刚体具有刚体具有质量对称面质量对称面质量对称面平行于运动平面质量对称面平行于运动平面当作用于刚体上的力系可以简化为质量对称面内的当作用于刚体上的力系可以简化为质量对称面内的平面力系平面力系。eiCCMJFeiCmFa刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 exCFxm eyCFym eiCCMJF 动量定理与动量矩定理的综合应用动量定理与动量矩定理的综合应
20、用主矢主矢iFFeR主矩主矩iOFMMeOniFFFFF,21nippppp,21动量动量iiim vpp动量矩动量矩iiOOiOmvMLLeddOOtMLeRddFpt动量定理与动量矩定理应用于刚体？动量定理与动量矩定理应用于刚体？eddOOtMLeRddFptxCFxm yCFym zzMJ eiCCMJF xCFxm yCFym 刚体平面运动微分方程可以描述刚体的总体运动刚体平面运动微分方程可以描述刚体的总体运动)(eiiCCiyCixCMJFymFxmF 0)(00eiiCiyixMFFF动力学动力学静力学静力学静力学是动力学的特殊情形静力学是动力学的特殊情形内力不能改变质点系的动量和
21、内力不能改变质点系的动量和动量矩动量矩！eReiFFpdtd 一均质圆柱，质量为一均质圆柱，质量为m，半径为，半径为r，无初速地放在倾角为，无初速地放在倾角为q q 的的斜面上，不计滚动阻力偶。斜面上，不计滚动阻力偶。求：求：其质心的加速度。其质心的加速度。解：解：以圆柱体为研究对象。圆柱体在斜面上的运以圆柱体为研究对象。圆柱体在斜面上的运动形式，取决于接触处的光滑程度，下面分三种动形式，取决于接触处的光滑程度，下面分三种情况进行讨论：情况进行讨论：(1) (1) 设接触处完全光滑设接触处完全光滑此时圆柱作平移，此时圆柱作平移，由质心运动定理由质心运动定理即即得圆柱质心的加速度得圆柱质心的加速
22、度sinCagqqCxyO(e)CxxmaF sinCmamgqCqaCFNmg例题例题3 3 例题例题3 3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 (2) (2) 设接触处足够粗糙设接触处足够粗糙 此时圆柱作纯滚动，列出此时圆柱作纯滚动，列出平平面运动微分方程面运动微分方程2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqq2sin3Cagq解得解得11sin23CFmamgq由于圆柱作纯滚动，故由于圆柱作纯滚动，故maxcosNFFf Ff mgqF由纯滚动条件有由纯滚动条件有Car所以所以1cossin3f mgmgqq，可得，可得1tan3fq这就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件。这
23、就是圆柱体在斜面上作纯滚动的条件。qCxyaCOFNmg 例题例题3 3 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 rvC(3) (3) 设不满足圆柱体在斜面上作纯滚动的条件设不满足圆柱体在斜面上作纯滚动的条件1tan3fq设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为设圆柱体沿斜面滑动的动摩擦系数为f ，则滑动摩擦力，则滑动摩擦力cosNFf Ff mgq于是于是2cosgfrq(sincos )Cagfqq圆柱体在斜面上既滚动又滑动圆柱体在斜面上既滚动又滑动, , 在这种情况下，在这种情况下，aCr2sin0cos12CNmamgFFmgmrFrqqFqCxyaCOFNmg 例题例题3 3 刚体平面运动
24、微分方程刚体平面运动微分方程 均质圆柱体均质圆柱体A和和B质量均为质量均为m，半径均为，半径均为r。圆柱。圆柱A可绕固定轴可绕固定轴O转转动。一绳绕在圆柱动。一绳绕在圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱上，绳的另一端绕在圆柱B上。上。 求：求：B下落时，质心下落时，质心C点的加速度。摩擦不计。点的加速度。摩擦不计。解：解：对象：对象：圆柱体圆柱体A受力：如图受力：如图运动：定轴转动运动：定轴转动方程：根据方程：根据定轴转动的微分方程定轴转动的微分方程，得到，得到AATJF rOABCAFTOA例题例题4 4 例题例题4 4 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 FOymgFOxCTmamgFCBT
25、JF r其中其中22ACJJmrOABCFTBCDB对象：圆柱体对象：圆柱体B受力：如图受力：如图运动运动：B作平面运动作平面运动方程：根据方程：根据平面运动的微分方程平面运动的微分方程有有由由运动学关系运动学关系aDrA,()CDBABaarrgaC54AATJF r 例题例题4 4 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 AFTOAFOymgFOxmgaC以以D点为基点点为基点nCDCDDCaaaa？例题例题5 5 均质杆均质杆AB长为长为l，放置于铅垂，放置于铅垂平面内，杆一端平面内，杆一端A靠在光滑的铅垂靠在光滑的铅垂墙上，另一端墙上，另一端B放在光滑的水平面放在光滑的水平面上，与水
26、平面的夹角为上，与水平面的夹角为 0。然后，。然后，令杆由静止状态滑下。令杆由静止状态滑下。求：求：1 1、当当 为任意值时，杆质心为任意值时，杆质心C的加速度和杆的加速度和杆AB两端两端A、B处的约处的约束力。束力。(法法1)2 2、刚开始滑动的瞬时杆两端所受刚开始滑动的瞬时杆两端所受的约束力。的约束力。 (法法2、3) 例题例题5 5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 解（法解（法1）：）：对象：杆对象：杆AB受力：如图所示受力：如图所示运动：在铅直平面内作平面运动运动：在铅直平面内作平面运动方程：方程：1、 为任意值时，杆的平面运动微分方程为为任意值时，杆的平面运动微分方程为 1
27、NAcFxm 2mgFymNBc 3sin2cos2lFlFJNANBc 例题例题5 5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 建立直角坐标系如图，由几何条件得质心的坐标为建立直角坐标系如图，由几何条件得质心的坐标为xyO 4sin2cos2lylxcc并注意并注意 （即角速度方向与夹角增大的方向相反）。（即角速度方向与夹角增大的方向相反）。 式（式（4）对时间求导，得）对时间求导，得 5)sincos(2)cossin(222lylxcc 转动惯量转动惯量 2121mlJc将（将（5）式代入（）式代入（1）（）（2）（）（3）联立求解，得杆）联立求解，得杆AB的角加速度为的角加速度为 例
28、题例题5 5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 4sin2cos2lylxccxyO 1NAcFxm 2mgFymNBc 3sin2cos2lFlFJNANBc 62cos3lg对角速度作如下的变换为对角速度作如下的变换为dtddddtd代入式（代入式（6），并积分得杆），并积分得杆AB的角速度为的角速度为 7)sin(sin3olg将式（将式（6）（）（7）代入（）代入（5），得质心加速度为），得质心加速度为 8)sinsin2sin1 (43cos)sin2sin3(432ococgygx 则杆则杆AB两端两端A、B处的约束力为处的约束力为 9)sinsin2(sin4341cos
29、)sin2sin3(432oNBoNAmgmgFmgF 例题例题5 5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 1NAcFxm 2mgFymNBc 3sin2cos2lFlFJNANBcxyO解（法解（法2）：）： 1NAcFxm 2mgFymNBc 3sin2cos2lFlFJNANBcaBaCxaCyatBC以以C点为基点，则点为基点，则B点的加速度为点的加速度为在运动开始时在运动开始时, , 0, 故故 , , 将上式投影到将上式投影到y 轴上，得轴上，得an 0BCnCBBCBCaaaacos0BCCyaa 4cos2coslayBCCya 例题例题5 5 刚体平面运动微分方程刚体平
30、面运动微分方程 aAatACaBaCxaCyatBC以以C点为基点，则点为基点，则A点的加速度为点的加速度为在运动开始时在运动开始时, , 0, 故故 , , 将上式投影到将上式投影到x 轴上，得轴上，得an 0ACnCAACACaaaasin0ACCxaa 4cos2coslayBCCya 5sin2sinlaxACCxa 联立求解联立求解(1) (5)式，并注意到式，并注意到2121mlJC可得可得lg2cos30 1NAcFxm 2mgFymNBc 3sin2cos2lFlFJNANBc 例题例题5 5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 解（法解（法3）：相对特殊瞬心的动相对特殊
31、瞬心的动量矩定理：量矩定理：一个刚体平面运动过一个刚体平面运动过程中，如果程中，如果刚体的质心刚体的质心C到速度到速度瞬心瞬心C*的距离保持不变时的距离保持不变时，则相，则相对速度瞬心的动量矩对时间的导对速度瞬心的动量矩对时间的导数等于外力对同一点的主矩，即数等于外力对同一点的主矩，即C*ed()dFCiCiLMt 注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于注意到杆的质心到速度瞬心的距离恒等于l/2，故，故可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时可应用相对特殊瞬心的动量矩定理。这时 CCLJ 例题例题5 5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 ed()dFCiCiLMt 对上式积分可以得到杆的角速
32、度，进而可以比较方便对上式积分可以得到杆的角速度，进而可以比较方便地求出其余未知量。地求出其余未知量。 CCLJ0cos2ClJmg0cos2ClmgJ22211()1223ClJmlmmlC*lg2cos30 例题例题5 5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 动量定理与动量矩定理应用于刚体？动量定理与动量矩定理应用于刚体？eddOOtMLeRddFptxCFxm yCFym zzMJ eiCCMJF xCFxm yCFym P195：102P196198： 103，108，1010，1014Nanjing University of Technology附录：附录： 习题解答习题解答
33、作业中存在的问题作业中存在的问题1、一定要有必要的受力分析和运动分析。、一定要有必要的受力分析和运动分析。2、运动学补充方程。、运动学补充方程。3、会使用定轴转动微分方程和平面运动微分方程。、会使用定轴转动微分方程和平面运动微分方程。102 图示系统中，已知鼓轮以图示系统中，已知鼓轮以的角速度绕的角速度绕O轴转动，其大、小半径分别轴转动，其大、小半径分别为为R、r，对，对O轴的转动惯量为轴的转动惯量为JO；物块；物块A、B的质量分别为的质量分别为mA和和mB；试求系；试求系统对统对O轴的动量矩。轴的动量矩。 10102 2附录：附录： 习题解答习题解答rvmRvmJLBBAAOO解：解：对象：
34、系统对象：系统运动：如图运动：如图方程：方程：vBvA)(22rmRmJBAO 10103 3附录：附录： 习题解答习题解答103 图示匀质细杆图示匀质细杆OA和和EC的质量分别为的质量分别为50kg和和100kg，并在点，并在点A焊成一体。焊成一体。若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，铰链若此结构在图示位置由静止状态释放，计算刚释放时，铰链O处的约束力处的约束力和杆EC在A处的弯矩。不计铰链摩擦。不计铰链摩擦。解：解：令令m = mOA = 50 kg，则，则mEC = 2m,l = 1 m.lmmllmODd65322刚体作定轴转动，刚体作定轴转动，初瞬时初瞬时=0lmglmg
35、JO22222232)2(212131mlmllmmlJO即即 mglml2532#rad/s17. 8652glglaD362565由质心运动定理：由质心运动定理：OyDFmgam33#4491211362533NmggmmgFOy#03nOxDFam质心质心D位置：位置：FOxmg2mganDFOy对象：杆对象：杆OA和和EC整体整体受力：如图受力：如图运动：如图运动：如图方程：方程：Da D 10108 8附录：附录： 习题解答习题解答108 图示圆柱体图示圆柱体A的质量为的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定。圆柱固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速
36、为零。求当圆柱体的轴降落了高度体沿绳子解开的而降落，其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h时圆柱体时圆柱体中心中心A的速度的速度v和绳子的拉力和绳子的拉力FT。 1TFmgmaA 2TrFJA 3raA 4212mrJA#31TmgF gaA32解：解：对象：圆柱体对象：圆柱体受力：如图受力：如图运动：如图运动：如图方程：方程：由平面运动微分方程由平面运动微分方程解得解得 #332ghvA建立运动学补充方程建立运动学补充方程 gdydvvdtdydydvdtdvaAAAAA32hvAAdygdvvA0032mgFTa 10101010附录：附录： 习题解答习题解答1010 图示重物图示重物A的
37、质量为的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮并绕在滑轮B上。滑轮上。滑轮B与滚子与滚子C固固结为一体。已知滑轮结为一体。已知滑轮B的半径为的半径为R，滚子，滚子C的半径为的半径为r，二者总质量为，二者总质量为m，其对与图面，其对与图面垂直的轴垂直的轴O的回转半径为的回转半径为 。求：重物。求：重物A的加速度。的加速度。 2TFrRFJO 3TFFamO 1TFmgmaA对象：轮；对象：轮；受力：如图受力：如图运动：平面运动运动：平面运
38、动方程：方程：由平面运动微分方程由平面运动微分方程 解：解：对象：对对象：对A;受力：如图受力：如图;运动：如图；运动：如图；方程：方程：由质点运动微分方程由质点运动微分方程 4)(,)(rRarRvAA 62mJO联立，得联立，得 #1)()()()()(2222222rRrmmgrRmrmrRmgaA 5,rarvOO0,TTTTDDDmrFFJFFmgF绳HaHFTaOmgFNFT aA？ 10101414附录：附录： 习题解答习题解答1014 图示匀质细杆图示匀质细杆AB质量为质量为m，长为，长为l，在图示位置由静止开始运动。若水，在图示位置由静止开始运动。若水平和铅垂面的摩擦均略去不
39、计，试求杆的初始角加速度。平和铅垂面的摩擦均略去不计，试求杆的初始角加速度。qsin2lmgJP231mlJPACqPgmBFBAF#sin23qlg解（法解（法1） ：对象：杆对象：杆AB受力：如图受力：如图运动：平面运动运动：平面运动方程：方程：P为为AB杆瞬心，根据相对速度瞬心的动量矩定理杆瞬心，根据相对速度瞬心的动量矩定理 1BCFxm 2mgFymAC 3cos2sin2qqlFlFJBACqqcos2sin2lylxCCxqAF.Cy.CxACBBFgmOqqqqsin2cos2lylxCC 4sin2sin2cos2cos2cos2sin222qqqqqqqqqqqq lllylllxCC法法2：AB杆平面运动，由平面运动发微分方程，得到杆平面运动，由平面运动发微分方程，得到qq , 0初瞬时将（将（4）代入（）代入（1）（）（2）（）（3），得），得 10101414附录：附录： 习题解答习题解答#2sin3lgqyNanjing University of Technology
