1、第四章 三维几何建模技术第一节 基本概念 一、几何建模的定义是：以计算机能够理解的方式，对几何实体进行确切的定义，赋予一定的数学描述，再以一定的数据结构形式对所定义的几何实体加以描述，从而在计算机内部构造一个实体的模型。 通常把能够定义、描述、生成几何实体，并能交互编辑的系统称为几何建模系统。u几何建模技术产生于20世纪60年代。初始阶段人们主要采用线框结构构造三维形体，被称之为线框模型(Wireframe Model)它仅包含物体的顶点和棱边的信息。u到了20世纪70年代出现了表面模型，它在线框模型的基础上增加了面的信息，使构造的形体能够进行消隐、生成剖面和着色处理。表面模型后来发展成为曲面
2、模型，能够用于各种曲面的拟合、表示、求交和显示，u20世纪70年代末，实体造型(Solid Model)技术逐渐成熟并实用化。所谓实体造型是通过简单体素的几何变换和并、交、差集合运算生成各种复杂形体的建模技术。实体模型能够包含较完整的形体几何信息和拓扑信息已成为目前CADCAM建模的主流技术。二 几何建模技术的发展1、三维形体的几何信息和拓扑信息 几何信息一般指一个物体在三维欧氏空间中的形状、位置和大小。包括有关点、线、面、体的信息。 拓扑信息是指一个物体的拓扑元素（顶点、边和表面）的个数、类型以及它们之间的关系，根据这些信息可以确定物体表面的邻接关系。 三 三维建模技术基础2、形体的定义：体
3、、壳、面、环、边、点、体素。 3、正则集合运算与普通集合运算的关系： 分别为正则交、正则并和正则差；K是封闭的意思；i是内部的意思。*()()()iiiABK BAABK BAABK AB*、 、第二节 线框建模 一、线框建模的原理 线框建模的数据结构是表结构，计算机存储的是该物体的顶点和棱边信息，将物体的几何信息和拓扑信息层次清楚地记录在顶点表及边表中。顶点表描述每个顶点的编号和坐标，边表说明每一棱边起点和终点的编号。 二、线框建模的特点 优点：信息量少，数据运算简单，占据的存储空间比较小，对硬件的要求不高。 缺点：1、对于平面构成的实体能比较清楚地反映物体的真实形状；对于曲面体不准确。 2
4、、线框建模所构成的实体模型只有离散的边，而没有边与边的关系，即没有构成面的信息，会对物体形状的判断产生多义性。 总之， 线框建模不适合用于对物体需要进行完整信息描述的场合。但在评价物体外部形状、布局、干涉检验或绘制图样等足够。 第三节 曲面建模 一、曲面建模的原理 曲面建模也称表面建模，是通过对实体的各个表面或曲面进行描述而构造实体模型的一种建模方法。 二、曲面建模的特点 1、曲面模型相对于线框模型而言，增加了面的信息，能够比较完整地定义三维立体的表面，描述的零件范围广，如汽车车身、飞机机翼等。 2、曲面建模可以对物体作剖切面、面面求交、线面消隐、数控编程以及提供明暗色彩图显示所需要的曲面信息
5、等。 三、曲面建模的方法 曲面建模方法的重点是在给出离散点数据的基础上，构建光滑过渡的曲面通过或逼近这些离散点。最广泛应用的是双参数曲面.几种常用的参数曲线、曲面有：贝赛尔（Bezier）、B样条、非均匀有理B样条（NURBS）曲线、曲面等。 1、 Bezier曲线、曲面 （1） Bezier曲线 n次Bezier曲线由n+1个顶点构成的特征多边形确定，形状趋向仿效多边形的形状。 Bezier曲线的表达式如下： P（u）= 式中 是多边形顶点的位置矢量； 是伯恩斯坦基函数。,0( )ni niiBu Q01uiQ,( )i nBu 伯恩斯坦基函数为 = i=0，1， ，n 式中 = ；u是局部
6、参数，u 当n=3时，代入的三次伯恩斯坦基函数为 = = = = = = = =,( )i nBu1n iiinC uuinC!nini0,10,3( )Bu30031C uu31 u1,3( )Bu21131C uu231uu2,3( )Bu2231C uu231uu3,3( )Bu03331C uu3u 三次Bezier曲线表示为 = = = P u 3,30iiiBu Q23230123(1)3 (1)3(1)()uuuuuuQQQQ01322313313630(1)33001000QQuuuQQ Bezier曲线的特点： 1、Bezier曲线的形状由特征多边形所确定，均落在特征多边形的
7、各控制点形成的凸包内，即具有凸包性。 2、 Bezier曲线首尾端点分别经过特征多边形首末两个端点，并且在首尾端点处相切于特征多边形。 3、 Bezier曲线不具有局部控制能力，修改特征多边形一个顶点或改变顶点数量时，将影响整条曲线，对曲线要全部重新计算。 （2）、Bezier曲面 Bezier曲面片的一般定义：设 为给定的（m+1) (n+1)个空间点列，则 次参数 Bezier曲面为 式中 是伯恩斯坦基函数； 是控制多边形顶点的 二维阵列。 逐次用线段连接点列 中相邻两点所形成的空间网格，称为特征网格。当m=n=3时，得到双三次Bezier曲面，这是常用的一种。矩阵如下：,0,1,;0,1
8、,i jQim jnm n ,00,mni mj ni jijP u vBu Bv Q0,1u v ,i mj nBuBv、, i jQ 11mn, i jQ 上式可简写成 式中， 为特征顶点网格矩阵； 当u或v之一固定时，曲面成为一蔟Bezier曲线。 0,31,32,33,30,3000102031,310111213202122232,3303132333,3( , )()P u vBuBuBuBuBvQQQQBvQQQQQQQQBvQQQQBv,TTBBBBPu vUM B M VBB32321 ;1 ;Uu u uVv v v1331363033001000BM补充： 将一矩阵的列元
9、素和行元素互相对调，即为其转置矩阵。矩阵的转置是矩阵中的一项基本运算，对一个mn的矩阵S, 其转置矩阵T为一个nm的矩阵且S中的元素sij对应于T中的元素tji (1im,1jn)。转置矩阵有如下运算性质：()()()TTTTTTTAAkAkAABB A 2、B样条曲线、曲面 （1）、B样条曲线 曲线方程为 式中， 为控制顶点，顺序连接这些控制顶点形成的折线称为B样条控制多边形； 称为次规范B样条基函数，是由一个称为节点矢量的非递减的参数u的序列所决定的k次分段多项式。 B样条具有局部支承性质， B样条基是多项式样条空间具有最小支承的一组基，称为基本样条，即B样条。 ,nii ki oP uQ
10、 Nu0,1,iQ in ,0,1,i kNuin011i kuuu B样条曲线的特点：vB样条曲线恒位于它的凸包内。vB样条曲线的首尾端点不通过控制多边形的首末两个端点。vB样条曲线具有局部调整性。 （2）B样条曲面 B样条曲面可以看作成是沿两个不同方向(u,v)的B样条曲线的交织，则： 设给定 个空间网格点 ， 称 次参数曲面为 次B样条曲面片。,00,( )( )mni mj ni jijP u vBu Bv Q0,1u v11mn0001mnQQQ、 、m nm n 当 时，为双三次B样条曲面片，相邻曲面片之间保持连续，但曲面片不通过特征网络的任一顶点。矩阵表示为： 式中：3mn,TT
11、i jPu vUMBM V32321 ;1Uu u uVv v v00010203101112132021222330313233133136301;303061410QQQQQQQQMBQQQQQQQQ 3、NURBS曲线、曲面 非均匀有理B样条NURBS（Non Uniform Rational B-Spline)。 （1） NURBS曲线 给定n+1个控制点 及权因子则k阶（k-1）次NURBS曲线表达式为： 式中， 是B样条基函数。0,1,iQin0,1,iW in ,0,0niii kinii kiWQ NuC uW Nu , i kNu （2） NURBS曲面 NURBS曲面定义：
12、给定一张 的网络控制点 ，以及网络控制点的权值 ，则NURBS曲面表达式为： 式中， 是NURBS曲面u参数方向的B样条基函数； 是NURBS曲面v参数方向的B样条基函数；k、l是B样条基函数的阶次。11mn,0,1, ;0,1,i jQin jm,0,1, ;0,1,i jWin jm ,00,00,nmi kj lijijijnmi kj lijijNu Nv Q WS u vNu Nv W , i kNu , j lNv NURBS曲线、曲面的特点： 1、具有 B样条曲线、曲面的所有优点。 2、控制点经过透视变换后所生成的曲线或曲面与原先生成的曲线或曲面的再变换是等价的。 3、不仅可以表
13、示自由曲线和曲面，还可以精确地表示解析曲线和曲面，并能实现两者的统一。 4、能给出更多的控制形状的自由度以生成各种形状的曲线与曲面。 四、常用曲面构造方法 下面以NURBS曲线为例进行介绍。 1、线性拉伸面：是将一条剖面线沿某一方向滑动所扫成的曲面。 2、直纹面：给定两条相似的曲线，它们具有相同的次数和相同的节点矢量，将两条曲线上对应点用直线相连，便构成了直纹面。 3、旋转面：将平面内定义的曲线绕坐标轴旋转360即得到旋转面。 4、扫描面：将一条剖面线沿另一条基准线滑动。第四节 实体建模 一、实体建模原理 实体建模是利用一些基本体素，如长方体、圆柱体、球体、锥体、圆环体以及扫描体等通过集合运算
14、（布尔运算）或基本变形操作生成复杂形体的一种建模技术。 特点：是在于覆盖三维立体的表面与其实体同时生成。可以完整地、清楚地对物体进行描述，能实现对可见边的判断，具有消隐功能。 二、实体生成的方法 1、体素法：通过基本体素的集合运算构造几何实体的建模方法。该法包含两部分内容：（1）基本体素的定义与描述：通过少量参数进行描述；还需定义基本体素在空间的位置和方向（2）体素之间的集合运算：布尔运算。两个或两个以上体素经过几何运算得到实体的表示称为布尔模型，所以这种运算亦称为布尔运算。A、B两个实体经过布尔运算生成C实体，则布尔运算可表示为C=AB，符号是布尔算子，它可以是“并、交、差”等2、扫描法：利
15、用基体的变形操作实现实体的建模。该法可分为平面轮廓扫描和整体扫描。 三、三维实体建模中的计算机内部表示 常见的方法：边界表示法、构造立体几何法、混合表示法、空间单元表示法等。 1、边界表示法(Boundary Representation) 简称B-Rep法，即一个实体可以通过包容它的面来表示，而每一个面又可以用构成此面的边描述，边通过点，点通过三个坐标值来定义。 该法的核心是面。强调外表细节，易于数据管理，易于生成线框图、投影图。 对几何体的整体描述较差，且无法提供关于实体生成过程的信息。 2、构造立体几何法(Constructive Solid Geometry) 简称CSG法，即通过描述
16、基体体素和它们的集合运算构造实体的方法。 CSG法表示实体可用二叉树的形式表达，即CSG树：叶节点表示预先定义的一些基本体素，分枝节点表示布尔运算的结果，根节点则是要表示的实体。是一个过程模型，只定义所表示实体的结构方式，不反映实体的面、边、顶点等有关边界信息。 该法的优点：形体结构清楚，表达形式直观，便于用户接受，数据记录简练。缺点：数据记录过于简单，在对实体进行显示和操作时，需实时进行大量重复求交计算，效率低，不便表达具有自由曲面边界的实体。 3、混合模式（Hybrid Model) 该法是建立在以上两种方法的基础之上的。 B-Rep法侧重面、边界的描述，在图形处理上具有明显的优势，尤其是
17、探讨物体详细几何信息时， B-Rep法的数据模型可以较快生成线框模型或面模型； CSG法则强调过程，在整体形状定义方面精确、严格，但不具备构成实体的各个面边点的拓扑关系，数据结构简单。 混合模式中， CSG法作为系统外部模型， B-Rep法作为系统内部模型。 四、特征建模(Feature Modeling) 该技术的研究是建立参数模型的一个重要途径。 1特征的定义：兼有形状和功能两种属性。 形状特征是零件上一组相互关联的几何实体所构成的特定形状，具有特定的设计或制造意义。 （1）特征定义 的实现有以下两种方式： a、提供一套预先定义好的形状特征，称为基于特征的设计。 b、先进行几何设计，再从几
18、何模型中识别或抽取形状特征，称为特征识别。 （2）特征识别的局限性： a、产品复杂时非常困难。 b、形状与特征间的关系无法表达。其中：1是反映零件基本特点的主要形体特征，2是组通孔，3是一个斜凸台，4是一个盲孔，5是个矩形槽。 可以看出，每个特征不光具有确定的结构和形状，它们与加工方法还有一定的对应关系。例如，孔特征必须用孔加工方法进行加工(钻、扩、铰)，槽的加工方法一般是铣凸台的加工方法也主要铣削和磨削，这些都是特征的工程意义c 2、特征的分类 分为通用特征和应用特征两大类。 （1）通用特征：从机械产品的几何形状抽象出的一般性特征，由基本形状和附加形状特征组成。 （2）应用特征：各种工程专业
19、应用领域里的各种形状特征。 3、特征建模技术的实现方法： （1）对于基本形状特征，可以直接采用根据参数建立拓扑、几何信息的方法。 （2）对于附加形状特征，尽可能采用局部修改技术直接修改原有的拓扑、几何结构。 （3）对不宜采用（2）的，尽可能分别构成基本形状特征和附加形状特征。 （4）以上均不可的，采用布尔运算实现，但显式操作仍为特征造型而不是布尔运算。特征的分类：形状特征：体特征：凸台、圆柱体、矩形体 过渡特征：倒角、圆角、键槽、螺纹 分布特征：周向均布孔、齿轮的轮廓精度特征：用于描述零件上公称的几何形状允许的变化量，包括尺寸公差、形位公差和表面粗糙度等信息； 材料特征 用于描述和零件材料及热
20、处理要求相关的信息，如零件的材料型号、性能、热处理要求和方式、表面处理方式和条件、硬度、检验方式等；技术特征 用于描述零件的有关性能和技术要求；装配特征 用于描述零件在装配过程中要使用的信息和装配时的技术要求，如零件的配合关系、装配顺序和方式、装配要求等：管理特征 用于描述零件的管理信息，如零件名、图号、批量、设计者 4、特征建模的特点： （1）使产品的设计不停留在底层的几何信息基础上，起点在比较高的功能模型上。 （2）支持并行工程。 （3）有利于实现产品设计和制造方法的标准化、系列化、规范化，降低产品的生产成本。 5、基于特征的零件造型过程 先创建特征基准，然后按照设计实体轮廓，以伸展的方式创建某一基本形状特征，再根据设计实体的细节要求进行伸展或切除操作，或在模型某位置上放置某个结构特征。
