1、第二章第二章 离散型随机变量及分布离散型随机变量及分布本章要点本章要点 本章引入随机变量的概念本章引入随机变量的概念, 讨论几种类型的随机变量讨论几种类型的随机变量一、一维离散型随机变量及分布一、一维离散型随机变量及分布二、一维离散型随机变量的常用分布二、一维离散型随机变量的常用分布及相应的分布及相应的分布. 主要内容有主要内容有:三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布三、二维离散随机变量的联合分布与边缘分布四、随机变量的独立性四、随机变量的独立性五、随机变量函数的分布五、随机变量函数的分布一、随机变量一、随机变量 1.随机变量随机变量例例1 设随机试验设随机试验 为抛硬币试验为抛硬币试验,
2、 我们以符号我们以符号 表示出表示出EH0 1 X出现正面出现正面,出现反面出现反面.现的是正面现的是正面, 符号符号 表示出现的是反面表示出现的是反面, 为了更好的刻画为了更好的刻画F这类随机试验这类随机试验, 我们我们 用一个数对应一个试验的结果，由用一个数对应一个试验的结果，由此引入一个变量此引入一个变量XE例例2 设随机试验设随机试验 为一次打靶试验为一次打靶试验, 其基本结果是中与其基本结果是中与0 1 X击中目标击中目标,未击中目标未击中目标.不中不中. 同样可以引入变量同样可以引入变量:也有很多试验，其结果本身就用数来表示的也有很多试验，其结果本身就用数来表示的.例如例如 在一大
3、批产品中有在一大批产品中有5%的次品，从中抽取的次品，从中抽取10件产件产品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以品，其中的次品数在抽取之前是不确定的，我们可以引进变量引进变量X来表示其中的次品数，其取值为来表示其中的次品数，其取值为0,1,2,10.X 例例3 设随机试验设随机试验 表示射击试验表示射击试验, 以以 表示首次命中时表示首次命中时EXX1,2, ,.n所进行过的射击次数所进行过的射击次数. 则则 的取值为的取值为 将上面的问题一般化将上面的问题一般化, 我们引入下面概念我们引入下面概念.定义定义 设设 为随机试验为随机试验, 为样本空间为样本空间, 定义在定义在 上的函上
4、的函E,:.iiRXX 数称为数称为 上的（一维）上的（一维）随机变量随机变量. 记为记为 引入了随机变量以后引入了随机变量以后, 随机事件及相应的概率可以用随机事件及相应的概率可以用0,. 随机变量方式加以刻画随机变量方式加以刻画. 记记 表示表示“取到的一只产品是不合格品取到的一只产品是不合格品”, 再以再以 表表AX 例如例如, 某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时某厂生产的灯泡按国家标准其合格品的寿命时间应该不小于间应该不小于 小时小时.1000此时此时 示取出的灯泡的寿命示取出的灯泡的寿命, 则事件则事件 可以表示为可以表示为A01000 .AX对应的概率可以表示为对应的概率可以
5、表示为 01000 .P APX二、概率函数、概率函数 在上节的几个例子中在上节的几个例子中, 我们看到问题中所涉及的几个我们看到问题中所涉及的几个随机变量的取值为有限多个或随机变量的取值为有限多个或“可列可列”多个多个, 这类随机这类随机变量称为变量称为离散型随机变量离散型随机变量. 1.离散型随机变量和概率函数离散型随机变量和概率函数 12,na aa 设设 为离散型随机变量为离散型随机变量, 的可能取值为的可能取值为XX事件事件 的概率为的概率为 即即:,ipiXa称式为随机变量称式为随机变量 的的分布分布（分布律分布律）, 又称为又称为概率函概率函X,iiP Xap数数. 上式又可用表
6、格的形式给出上式又可用表格的形式给出:01,2,ipi满足满足11.iip1212.nnaaaXPppp注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率注：随机变量的取值按从小到大的顺序排列，概率为零的项不必列出为零的项不必列出.iiaKP XKP Xa其中其中K为某一实数集为某一实数集.例例4 设袋中有设袋中有5球球, 编号为编号为 从袋中随机地从袋中随机地1,2,2,3,3,解解 以以 表示取到球的编号表示取到球的编号, 则则 的取值为的取值为 因因1XX1,2,3.11.5P X 同理同理, 22,5P X XX取一球取一球, 以以 表示取到的球的编号表示取到的球的编号, 求求 的分布的分布
7、.号球只有一个号球只有一个, 故故及及23.5P X 从而随机变量从而随机变量 的分布律为的分布律为X123.122555XP 例例 设袋中有设袋中有5球球, 编号分别为编号分别为机地取机地取3个球个球, 以以35113.10P XCXX233534.10CP XC解解243565.10CP XC345.136101010XP表示取到的表示取到的3个球中的最大编号个球中的最大编号,求求 的分布律的分布律.X的取值为的取值为X的分布律为：的分布律为：1,2,3,4,5,3,4,5.从袋中随从袋中随例例 设随机试验设随机试验 表示射击试验表示射击试验, 以以 表示首次命中时表示首次命中时EXX1,
8、2, ,.n所进行过的射击次数所进行过的射击次数. 则则 的取值为的取值为 设每次命中目标的概率为设每次命中目标的概率为0.8，求随机变量的分布律，求随机变量的分布律及及3 .P X 解：解： 分布律为分布律为1120.80.2 0.80.20.8nXnP230.8 0.2 0.8 0.2 0.80.992.P X 分布分布01 若随机变量若随机变量 的取值为的取值为0, 1, 相应的概率记为相应的概率记为X则称服从则称服从 分布分布. 记为记为011,.XBp1,P Xp0101 ,P Xpp 一个只有两个基本结果的随机试验一个只有两个基本结果的随机试验, 都可转化为都可转化为01分布分布.
9、三、常用离散型随机变量三、常用离散型随机变量习惯上习惯上, 分布又常写成分布又常写成0101,1XPpp 二项分布二项分布 在在 重贝努利试验中重贝努利试验中, 若以若以 表示事件表示事件 在在 次试验中次试验中nXAn.10,1,n kkknP XkCppkn分布律为分布律为1101.111nnn kkknnnXknPpC ppC ppp X0,1,2, , n出现的次数出现的次数. 则则 的取值为的取值为 相应的概率为相应的概率为:其中其中 为事件为事件 发生的概率发生的概率. 则称则称 服从参数为服从参数为 的的pAX, n p,.XB n p 在概率论中在概率论中, 二项分布是一个重要
10、的分布二项分布是一个重要的分布. 在许多独在许多独二项分布二项分布, 记成记成立重复试验中立重复试验中, 都具有二项分布的形式都具有二项分布的形式.0 1分布是二项分布在分布是二项分布在1n 时的特殊情况时的特殊情况.例例6 某特效药的临床有效率为某特效药的临床有效率为0.95，今有，今有10人服用，问人服用，问89108XP XP XP XP 8291108910100.950.050.950.050.95CC0.9885.,10,0.95XB至少有至少有8人治愈的概率有多少？人治愈的概率有多少？解解 设设X为为10人中治愈的人数，则人中治愈的人数，则 例例7 已知某公司生产的螺丝钉的次品率
11、为已知某公司生产的螺丝钉的次品率为0.01, 并设并设解解 由条件由条件, 以以 表示包内螺丝钉为次品的件数表示包内螺丝钉为次品的件数, 则包则包X1101P XP XP X 10911010.990.010.990.0043.C 各个螺丝钉是否为次品是独立的各个螺丝钉是否为次品是独立的. 这家公司将这家公司将10个螺丝个螺丝钉包成一包出售钉包成一包出售, 并保证若发现包内多于一个次品就可并保证若发现包内多于一个次品就可退款退款. 问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？问卖出的某包螺钉被退回的概率有多大？1,X 被退回意味着被退回意味着 故所求的概率为故所求的概率为被退回的概率近似等于被退回的概
12、率近似等于0.43%. 例例8 设有保险公司的某保险险种有设有保险公司的某保险险种有1000人投保人投保, 每个每个解解 以随机变量以随机变量 表示在未来一年中这表示在未来一年中这1000个投保人死个投保人死X 10100010000100.0050.995.kkkkP XC人在一年内死亡的概率为人在一年内死亡的概率为0.005, 且每个人在一年内是否且每个人在一年内是否死亡是相互独立的死亡是相互独立的. 试求在未来一年中这试求在未来一年中这1000个投保人个投保人死亡人数不超过死亡人数不超过10个人的概率个人的概率.10 .P X 亡的人数亡的人数, 则相应的问题转变为求概率则相应的问题转变
13、为求概率 由由1000,0.005 ,XB可得可得在上式中直接计算在上式中直接计算 是比较是比较 100010000.0050.995kkkC 设设 当当 很大很大 很小且很小且 适中时有适中时有,.XB n pnnppe0,1,2,.!kP Xkkk在上例中在上例中, 取取 则有则有1000 0.0055,10010e0.986.!kkP Xk困难的困难的, 为此我们引入一个简便的计算方法为此我们引入一个简便的计算方法即二项即二项分布的逼近分布的逼近,称为泊松定理称为泊松定理. 即在未来一年中这即在未来一年中这1000个投保人死亡人数不超过个投保人死亡人数不超过10个人个人的概率为的概率为0
14、.986. 泊松分布泊松分布 设随机变量设随机变量 的取值为的取值为 相应的分布律相应的分布律X0,1,2, ,ne 0,1,2,0 ,!kP Xkkk则称随机变量服从参数为则称随机变量服从参数为 的的泊松分布泊松分布, 记为记为 .XP泊松分布的计算泊松分布的计算: 查表查表257258 .P为为例例9 设设 求求 5 ,XP6 .P X 解解 查表得查表得60.1462.P X 例例10 设某交通道口一分钟的汽车流量为随机变量设某交通道口一分钟的汽车流量为随机变量 ,1 ,X XP求在一分钟内至少有求在一分钟内至少有2辆车通过的辆车通过的解解 所求概率为所求概率为2101P XP XP X
15、 概率。概率。11 2e . 例例11 设某小区有电梯设某小区有电梯200部部, 每台电梯发生故障的可每台电梯发生故障的可在同一时刻恰好有在同一时刻恰好有5部电梯发生故障的概率部电梯发生故障的概率; 在同一时刻至少有在同一时刻至少有3部电梯发生故障的概率部电梯发生故障的概率;至少配备多少维修工人至少配备多少维修工人, 使能以使能以95%的概率的概率, 保证当保证当解解 以以 表示在同一时刻发生故障的电梯数表示在同一时刻发生故障的电梯数, 则由条件则由条件X取取 所以所以4,能性为能性为0.02, 求求 电梯发生故障时电梯发生故障时, 有维修工人进行维修有维修工人进行维修.200,0.02XB得
16、得由计算公式得由计算公式得50.1563.P X 31012P XP XP XP X 1 0.01830.07320.14650.762. 记配备的维修工人数为记配备的维修工人数为 若能有维修工人能进行维若能有维修工人能进行维,N0.95.P XN,XN修修, 则则 所以原问题由概率来反映所以原问题由概率来反映, 即为即为10.95.P XN从而从而 查表得查表得0.05.P XN80.02379,70.05716.P XP X故取故取 即配备即配备8名维修人员名维修人员, 使能以使能以95%的概率的概率, 8,N 保证当电梯发生故障时保证当电梯发生故障时, 一定有维修工人进行维修一定有维修工
17、人进行维修. 80.97621,70.94284.P XP X 几何分布几何分布 设随机变量设随机变量 的取值为的取值为X1,2,相应的概率函数为相应的概率函数为11, 01kP Xkppp称随机变量称随机变量 服从参数为服从参数为 的的几何分布几何分布, 记为记为Xp .XG p例例12 某人投篮的命中率为某人投篮的命中率为0.4，假定各次投篮是否，假定各次投篮是否命中相互独立，设命中相互独立，设次数，求次数，求 10.4 10.4,1,2,3,kP Xkk121kP Xk21210.450.4 0.6.1 0.68kk表示他首次投中时累计已投篮的表示他首次投中时累计已投篮的XXX的分布律，
18、并求的分布律，并求取奇数的概率取奇数的概率.解：随机变量的分布律为解：随机变量的分布律为随机变量取奇数的概率为随机变量取奇数的概率为(5)超几何分布超几何分布产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题产品的抽样检验是经常遇到的一类实际问题.假定在假定在件产品中件产品中有有表示表示的分布律为：的分布律为：kn kMN MnNC CP XkCN件次品，从中抽取件次品，从中抽取件进行检验，用件进行检验，用MnX件中的次品数，则件中的次品数，则服从超几何分布，服从超几何分布，nXX0,1,2,min.kn M例例13 设设15件产品中有件产品中有2件次品，从中任取件次品，从中任取3件，以件，以表示表示3件
19、中的次品数，求件中的次品数，求解解0321331522035C CP XC1221331512135C CP XC212133151235C CP XC012.22121353535XP的分布律为的分布律为X的分布律的分布律.XX在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则在上例中，若将无放回抽样改为有放回抽样，则3件中件中的次品数的次品数23,.15XB33213.15150,1,2,3kkkP XkCk四、二维随机变量及分布四、二维随机变量及分布 设设 是随机试验是随机试验, 是相应的样本空间是相应的样本空间, 一个从一个从 到到E的二元函数即称为一个二维随机变量的二元函数即称为一个二维随机
20、变量. 记为记为RR,.X Y称随机变量称随机变量 的取值规律及相应的概率为的取值规律及相应的概率为 的的,X Y,X Y二维分布二维分布. 1.联合概率函数联合概率函数 设设 为二维随机变量为二维随机变量, 若它的取值为有限多个或若它的取值为有限多个或,X Y 设设 为二维随机变量为二维随机变量, 取值为取值为,X Y,(1,2,ija bi ,ijijP Xa Ybp称式为随机变量称式为随机变量 的的联合分布律或联合概率函数联合分布律或联合概率函数.,X Y,X Y可列多个可列多个, 则称则称 为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量.1,2,j 相应的概率为相应的概率为0;ijp ,11
21、.iji jp满足满足 式又可用分布表的形式给出式又可用分布表的形式给出:XY1aia1bjb11p1jp1 ipijp注：全为零的行或列不必列出，变量的取值按从小到注：全为零的行或列不必列出，变量的取值按从小到大的顺序排列。大的顺序排列。 由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量由二维离散型随机变量的概率函数容易求出随机变量落在平面上某个区域中的概率落在平面上某个区域中的概率. 事实上事实上, 对给定的平面区域对给定的平面区域,D则有则有,.ijija bDPX YDP Xa Yb例例12 设袋中有设袋中有5球球, 编号为编号为 今从袋中取二球今从袋中取二球1,2,2,3,3.解解 由
22、条件由条件, 随机变量随机变量 的可能取值为的可能取值为 因因 号号,X Y,.i j11,10.P XY当先取当先取 号球号球, 此时还剩此时还剩4球球, 其中其中2号球有号球有2个个, 故故1,1111,25210P XY,X Y（不放回）（不放回）, 分别以分别以 表示第一、二次取到的球的编表示第一、二次取到的球的编,X Y号号, 求求 的分布律的分布律.球只有一个球只有一个, 故故相仿地相仿地, 有有,1111,35210P XY,2112,15410P XY,2112,25410P XY,2122,35210P XY由此得到分布表由此得到分布表12311101010.11221010
23、101213101010X Y 2.边缘概率函数边缘概率函数 设设 为二维离散型随机变量为二维离散型随机变量, 取值为取值为,X Y,ija b(1,2,;1,2,),ij,ijijP Xa YbpX由此由此, 随机变量随机变量 的取值为的取值为 相应的概率相应的概率12,na aa,iiP XaP Xa Y121,.,niijijP Xa Yb ybYbpp为为联合概率函数为联合概率函数为称其为随机变量称其为随机变量 的的边缘概率函数边缘概率函数. 同样定义同样定义X1,.jjijjipP YbP XYbp称其为随机变量称其为随机变量 的的边缘概率函数边缘概率函数.Y(1,2,),j 例例1
24、3 设二维随机变量设二维随机变量 有概率函数有概率函数,X Y012310.10.050.10.05,00.10.10.10.110.050.10.050.1X Y求边缘概率函数求边缘概率函数.解解 对上表分别作行和及列和对上表分别作行和及列和, 得得:.012310.10.050.10.05 0.300.10.10.10.10.4,10.050.10.050.10.30.25 0.25 0.25 0.25ijX Ypp由此得边缘概率函数分别为由此得边缘概率函数分别为:101,0.3 0.4 0.3XP及及0123.0.25 0.25 0.25 0.25YP例例14 袋中有袋中有10个球个球,
25、 其中红球其中红球8个个, 白球白球2个个, 从袋中随从袋中随机取机取2次球次球, 每次一个（不放回）每次一个（不放回）, 定义定义0,1,X第一次取出的是红球第一次取出的是红球,第一次取出的是白球第一次取出的是白球,0,1,Y第二次取出的是红球第二次取出的是红球,第二次取出的是白球第二次取出的是白球,求求 的联合分布律及边缘分布律的联合分布律及边缘分布律.,X Y解解 由要求由要求, 二维随机变量二维随机变量 的可能取值只有四个的可能取值只有四个,X Y又又: 事件事件0,0XY表示第一和第二次取到的都是表示第一和第二次取到的都是 红球红球, 因而因而87280,0,10 945P XY同理
26、同理:2 881,0,10 945P XY8280,1,10 945P XY2111,1,10 945P XY由此得到联合分布律为由此得到联合分布律为:01288045458114545X Y相应的边缘分布律为相应的边缘分布律为:及及01.4155XP01.4155YP五、随机变量的独立性与条件分布五、随机变量的独立性与条件分布 1.随机变量的独立性随机变量的独立性 在上一目的例在上一目的例12中中, 若采用放回抽样若采用放回抽样, 则联合概率函则联合概率函数和边缘概率函数分别为数和边缘概率函数分别为: 注意到注意到, 此时对任意的此时对任意的, ,i j有有 ,.P Xi YjP Xi P
27、Yj上式表明事件上式表明事件,X iYj是独立的事件是独立的事件. 由此引入下面的定义由此引入下面的定义.0116440252554111252554155ijX Ypp定义定义 设随机变量设随机变量 的联合概率函数为的联合概率函数为,X Y1,2,1,2,ijijijP Xa Ybp如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积如果联合概率函数恰为两个边缘概率函数的乘积, 即即1,2,1,2,ijijijppp则称随机变量则称随机变量 与与 相互独立相互独立.XY注：若存在一点注：若存在一点.,ijijijXa Ybpp p则称随机变量则称随机变量 与与 不相互独立不相互独立.XY例例15 设设
28、 是二维随机变量是二维随机变量, 相应的分布律为相应的分布律为,X Y解解 因随机变量因随机变量 的边缘分布分别为的边缘分布分别为,X Y012310.10.050.10.0500.10.10.10.110.050.10.050.1X Y判断判断 是否独立是否独立.,X Y101,0.30.40.3XP0123,0.250.250.250.25YP1,00.1100.3 0.25 0.075,XYXYppp因此随机变量不独立因此随机变量不独立.例例16 设随机变量的联合分布律为设随机变量的联合分布律为0100.110.4X Yab已知已知21|1 3P XY求求, ab的值，并讨论随机变量的独
29、立性。的值，并讨论随机变量的独立性。解解 0.421|1= 0.43P XYa0.2,0.3.ab 0,00.100 =0.12,P XYP XP Y,X Y不独立不独立.0.5, ab例例 抛抛3次均匀硬币以次均匀硬币以XY表示正面向上的次数，以表示正面向上的次数，以表示正面出现次数与反面出现次数差的绝对值，求表示正面出现次数与反面出现次数差的绝对值，求,X Y的联合分布与边缘分布，并讨论变量之间的的联合分布与边缘分布，并讨论变量之间的独立性独立性.183838181300102030XY012313318888.XP314413YP随机变量的联合分布与边缘分布分别为随机变量的联合分布与边缘
30、分布分别为变量之间是不独立的变量之间是不独立的. 1 330,10018 432XYXYPPP 我们可以把两个随机变量独立的概念推广到有限个我们可以把两个随机变量独立的概念推广到有限个变量中去变量中去.如果如果n个随机变量的联合概率函数恰为个随机变量的联合概率函数恰为n个边缘概率个边缘概率函数的乘积，则称这函数的乘积，则称这n个随机变量相互独立个随机变量相互独立,即即1111,nnnnXxXxXxXxPPP对随机变量的任意取值上式都成立对随机变量的任意取值上式都成立.六、随机变量函数的分布六、随机变量函数的分布 1.一维随机变量函数的概率函数一维随机变量函数的概率函数 设设 是离散型随机变量是
31、离散型随机变量, 概率函数为概率函数为X 1,2, ,iiP Xapin即有分布律即有分布律1212.nnXaaaPppp若若 为一已知函数为一已知函数, 则随机变量则随机变量 的的 yg xYg X( )., ( )()iiijP Yg aP Xaij g ag a 1,2, ,ig ain取值为取值为则相应的概率函数为则相应的概率函数为当当ijkg ag ag a()iP Yg a.ijkP XaP XaP Xa例例14 设设 为离散型随机变量为离散型随机变量, 概率函数为概率函数为X1012,0.2 0.4 0.2 0.2XP求随机变量求随机变量 的分布的分布.221,YXYX解解 1.
32、 因函数因函数 为单调函数为单调函数, 所以所以21.YX21yx随机变量随机变量 的概率函数为的概率函数为Y1,1,3,5,随机变量随机变量 的取值为的取值为1135.0.2 0.4 0.2 0.2YPY 2. 的取值为的取值为 而而2YX0,1,4, 21111P YP XPXX 由此得到相应的概率函数为由此得到相应的概率函数为:014.0.4 0.4 0.2YP110.4,P XP X 例例15 设设 有概率函数有概率函数X210123,0.1 0.2 0.1 0.2 0.1 0.3XP求求 的概率函数的概率函数.21YXY解解 的取值为的取值为 相应的分布律为相应的分布律为1,2,5,
33、10,12510.0.10.40.20.3YP 设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, 相应的分布律为相应的分布律为,X Y,ijijP Xa Ybp 设设 为任意一个二元函数为任意一个二元函数, 则随机变量则随机变量 ,zf x y,ZfX Y,ijijzf a b的相应取值为的相应取值为相应的概率相应的概率为为: 2.二维随机变量的函数的分布二维随机变量的函数的分布,ijsts tP Zzp,.ststijs tP Xa Yb f a bf a b例例16 设设 是二维离散型随机变量是二维离散型随机变量, 分布列为分布列为,X Y101210.10.050.10.05,00.10
34、.10.10.110.050.10.050.1X Y求求: ;ZXY ,max,ZX Y min,ZX Y的概率函数的概率函数.解解 则则 的取值为的取值为 相应相应.ZXYZ2, 1,0,1,2,3.的概率为的概率为210123,0.1 0.15 0.25 0.25 0.15 0.1ZPZ 此时此时, 的取值为的取值为,max,ZX Y1,0,1,2,得到的概率分布为得到的概率分布为:1012.0.1 0.25 0.4 0.25ZP 此时此时, 的取值为的取值为,min,ZX YZ1,0,1,101.0.45 0.4 0.15ZP得到的概率分布为得到的概率分布为:例例17 设设 是二维离散型
35、随机变量是二维离散型随机变量, 分布列为分布列为,X Y101220.10.050.10.05,10.10.10.10.110.050.10.050.1X Y求求: ;ZXY ,max,ZX Y min,ZX Y的概率分布的概率分布.解解 则则 的取值为的取值为 .ZXYZ4, 32, 1,0,1,2. 相应的概率为相应的概率为42,20.05,P ZP XY 32,1P ZP XY 1,20.2,P XY 同理可计算其它概率同理可计算其它概率, 由此得分布率为由此得分布率为4321012.0.05 0.2 0.15 0.3 0.15 0.1 0.05ZP 此时此时, 的取值为的取值为 相应的
36、相应的,max,ZX YZ1,0,1,2,分布为分布为1012.0.2 0.15 0.4 0.25ZP 此时此时, 的取值为的取值为 相应的相应的,min,ZX YZ2, 1,0,1,2101.0.3 0.45 0.1 0.15ZP概率分布为概率分布为例例20 设二维随机变量设二维随机变量 的两个边缘概率函数分别的两个边缘概率函数分别,X Y为为011122XP1 01111632YP已知已知 与与 相互独立相互独立, 求下列随机变量的概率函数求下列随机变量的概率函数:X Y2;ZXYmax,UX Ymin,VX Y的联合分布律与边缘分布律的联合分布律与边缘分布律.,U V求求解解 二维随机变
37、量二维随机变量 的联合概率函数为的联合概率函数为,X Y1 011110126411111264X Y由独立性由独立性 的取值为的取值为2ZXY0,1,2.且且10,1P ZP XY 0,11,0P XYP XY1111,12462同理可得其它情况同理可得其它情况, 由此得到概率函数由此得到概率函数012111623ZP1011716124VP|1011100126151112124U V(2)134401UP定理定理 设设 是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量,12,nXXX且且1,1,2, .iXBpin记记12,nYXXX则则 ,.YB n p定理定理 设设 相互独立相互独立,X
38、 Y当当 时时, ,XB m pYB n p,;XYB mn p当当 时时, 12,XPYP12.XYP 定理定理 设设 是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 对于对于12,nXXX任意一个整数任意一个整数 11 ,mmn随机变量随机变量2,mfX XX与与1,mng XX相互独立相互独立.注意注意 该定理的逆命题并不成立该定理的逆命题并不成立.特殊地，当特殊地，当 ,X Y相互独立时相互独立时 ,fXg Y也相互独立也相互独立.七、部分作业解答七、部分作业解答2.2 试确定常数试确定常数 使得下列函数成为概率函数使得下列函数成为概率函数:, c ,1,2, ;P Xkck kn ,1,
39、2,0.!kP Xkckk解解 因因112,2n nn2.1cn n因因 1e1!kkk1.e1c2.4 已知随机变量的概率函数如下表已知随机变量的概率函数如下表:210124,0.20.10.30.10.20.1XP求一元二次方程求一元二次方程23210tXtX有实数根的有实数根的概率概率.解解 因方程有实数根因方程有实数根240.bac 此时此时 2, 1,4 .X 222441212433 .bacXXXX因而因而 相应的概率为相应的概率为0.4.P 2.6 设随机变量设随机变量,XB n p已知已知1P X 1 .P Xn试求试求 ,2 .p P X 解解 因因111111.nnnnn
40、C ppCpp11 ,P XP Xn即有即有由此得由此得1.2p 所以所以 21112.22nnnn nP XC2.10 某地有某地有 个人参加了人寿保险个人参加了人寿保险, 每人缴纳保险每人缴纳保险3000金金 元元 ,10年内死亡时家属可以从保险公司领取年内死亡时家属可以从保险公司领取 元元.12000假定该地假定该地 年内人口死亡率为年内人口死亡率为0.1%,1且死亡是相对独立且死亡是相对独立 的的, 求该公司求该公司 年内赢利不少于年内赢利不少于 元的概率元的概率. 100001解解 设设 表示该地区一年内死亡的人数表示该地区一年内死亡的人数, 则则X3000,0.001 .XB所求概
41、率为所求概率为.10P X此时此时3,np所以所以0.9997.10P X现的点数现的点数, 表示表示 次出现的点数的最大者次出现的点数的最大者. 试求试求Y2 与与 的联合概率函数的联合概率函数;X Y 与与P XY2210 ;P XY 的边缘概率函数的边缘概率函数.,X Y解解 因因1,1XY表示掷出的点数均为表示掷出的点数均为 1,所以所以 11,1.36P XY2.14 把一颗骰子独立地向上抛把一颗骰子独立地向上抛 次次. 设设 表示第表示第 次出次出2X1同样同样所以所以而而 1,2XY为不可能事件为不可能事件, 所以所以 注意到注意到 11,2.36P XY表示第一个点数为表示第一
42、个点数为 第二个点数为第二个点数为1,2,2,1XY2,10.P XY2,2XY表示第一个点数为表示第一个点数为 第二个点第二个点2,可以是可以是 或是或是12,所以所以22,2,36P XY同理可得其它概率同理可得其它概率, 由此得联合概率函数由此得联合概率函数:123456111111136363636363621111203636363636311130036363636411400036363651500003636660000036X Y由上表容易得到由上表容易得到:21.36P XY22410.36P XY边缘概率函数为边缘概率函数为123456,111111666666XP对角线
43、的和对角线的和123456,1357911363636363636YP2.17 设设 与与 独立同分布独立同分布, 它们都服从它们都服从 分布分布XY0 11,0.3 ,B试求试求 的联合概率函数的联合概率函数.,X Y01,0.70.3XP01,0.70.3YP解解 由条件得由条件得 与与 的概率函数分别为的概率函数分别为:X Y再由独立性得联合概率函数为再由独立性得联合概率函数为:0100.490.21.10.210.09X Y2.18 设随机变量设随机变量 的联合概率函数如下表的联合概率函数如下表:,X Y1231111,6918123X Y试问试问 各取何值时各取何值时, 与与 相互独
44、立相互独立?, X Y解解 边缘分布为边缘分布为1181231111169183,1123311129X Y由独立性得由独立性得1112,9399行和行和列和列和再由再由111331.92.19 已知随机变量已知随机变量 与与 的概率函数为的概率函数为XY101,111424XP01,1122YP已知已知01.P XY 试求试求 的联合概率函数的联合概率函数.,X Y 是否相互独立是否相互独立? 为什么为什么?,X Y解解 因因 01.P XY 所以所以 1,11,10.P XYP XY 设联合概率函数及边缘概率函数分别为设联合概率函数及边缘概率函数分别为111212231101110410,
45、2110411122X Ypppppp由此得由此得 221.2p11312111,0,44ppp所以所以, 联合概率函数为联合概率函数为011104.10021104X Y因因12120,ppp所以不独立所以不独立.2.24 已知随机变量已知随机变量 服从集合服从集合X2, 1,0,1,2上的均匀上的均匀分布分布, 试求试求2YX与与YX的概率函数的概率函数.解解 由条件知由条件知 的概率函数为的概率函数为X21012,1111155555XP容易得到容易得到2YX与与YX的概率函数分别为的概率函数分别为2014,122555XP012.122555XP2.26 设设 与与 的联合概率函数为的
46、联合概率函数为XY2101400.200.10.20 ,100.20.100.2X Y分别求出分别求出max,min,UX YVX Y的概率的概率函数函数;试求试求 与与 的联合概率函数的联合概率函数.UV解解 max,UX Y的可能取值为的可能取值为 0,1,4.同理有其它情况同理有其它情况, 由此得概率函数由此得概率函数0P U 0,20,1P XYP XY 0,00.3,P XY014.0.30.50.2UPmin,VX Y的可能取值为的可能取值为 2, 1,0,1.20,2P VP XY 1,20.2,P XY 同理有其它情况同理有其它情况, 由此得概率函数由此得概率函数2101.0.
47、20.20.40.2VP注意到注意到:0,2UV 0, 2 , 0, 1 , 0,00, 2 , 1, 20, 2,0,20, 20.2,PUVP 0,1UV 0, 2 , 0, 1 , 0,00, 1 , 1, 10, 1 ,0,10, 10,PUVP 所以所以 同理可得其它概率同理可得其它概率, 由此得概率函数由此得概率函数210110.200.10.000.20.3010000.2U V2.29 设设12,nXXX是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量, 且每个且每个1,iXBp试求随机变量试求随机变量 11niiXXn的概率函的概率函 数数.解解 因因 1,.niiYXB n p因而概率函数为因而概率函数为1.n kkknP YkC pp而而 的取值为的取值为X1 20,1,nn nn对应的概率为对应的概率为1.n ntntntnP XtC pp
