1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 3 讲 定积分与微积分基本定理 一、选择题 1.(2017 西安调研 )定积分 ?01(2x ex)dx 的值为 ( ) A.e 2 B.e 1 C.e D.e 1 解析 ?01(2x ex)dx (x2 ex)?10) 1 e1 1 e.故选 C. 答案 C 2.若 ?1a?2x 1x dx 3 ln 2(a1)， 则 a 的值是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析 ?1a?2x 1x dx (x2 ln x)?a1 a2 ln a 1， a2 ln a 1 3 ln 2， 则 a 2. 答案 A 3.从空中自由下落的一物体 ， 在第一秒末恰经
2、过电视塔顶 ， 在第二秒末物体落地 ， 已知自由落体的运动速度为 v gt(g 为常数 )， 则电视塔高 为 ( ) A.12g B.g C.32g D.2g 解析 电视塔高 h ?12gtdt ?12gt22132g. 答案 C 4.如图所示 ， 曲线 y x2 1， x 2， x 0， y 0 围成的阴影部分的面积为 ( ) A.?02|x2 1|dx B.? ?02（ x2 1） dxC.?02(x2 1)dx D.?01(x2 1)dx?12(1 x2)dx 解析 由曲线 y |x2 1|的对称性知 ， 所求阴影部分的面积与如下图形的面积相等 ， 即 ?02|x2 1|dx. =【 ;
3、精品教育资源文库 】 = 答案 A 5.若 S1 ?12x2dx， S2 ?121xdx， S3 ?12exdx， 则 S1， S2， S3的大小关系为 ( ) A.S10， 若 ?0t(2x 2)dx 8， 则 t _. 解析 由 ?0t(2x 2)dx 8 得 ， (x2 2x) ?t0 t2 2t 8， 解得 t 4 或 t 2(舍去 ). 答案 4 7.已知二次函数 y f(x)的图像如图所示 ， 则它与 x 轴所围成的面积为_. 解析 根据 f(x)的图像可设 f(x) a(x 1)( x 1)(a0， 若曲线 y x与直线 x a， y 0 所围成封闭图形的面积为a2， 则 a _
4、. 解析 封闭图形如图所示 ， 则 ?0a xdx 23a32 0 a2，解得 a 49. 答案 49 三、解答题 9.计算下列定积分： (1)?12?x 1x dx； (2)?02 x2 2xdx； (3)2sin? ?x 4 dx； (4)? 11 (x2tan x x3 1)dx； (5)? 22 |x2 2x|dx. 解 (1)原式 ? ?12x2 ln x ?21 ? ?12 22 ln 2 ? ?12 ln 1 32 ln 2； (2)由定积分的几何意义知 ， 所求定积分是由 x 0， x 2， y x2 2x， 以及 x 轴围成的图像的面积 ， 即圆 (x 1)2 y2 1 的面
5、积的一半 ， ?02 x2 2x 2 ； (3)原式 (sin x cos x)dx ( cos x sin x) ? ? cos 2 sin 2 ( cos 0 sin 0) 2； (4)原式 ? 11 (x2tan x x3)dx? 11 1dx 0 x?1-1 2； (5)| x2 2x|?x2 2x， 2 x0， x2 2x， 0 x 2， ? 22 |x2 2x|dx? 20 (x2 2x)dx?02( x2 2x)dx?13x3 x2?0-2 ? ? 13x3 x2 ?20 8. 10.求曲线 y x2， 直线 y x， y 3x 围成的图形的面积 . =【 ;精品教育资源文库 】
6、 = 解 作出曲线 y x2， 直线 y x， y 3x 的图像 ， 所求面积为图中阴影部分的面积 . 解方程组?y x2，y x， 得交点 (1， 1)， 解方程组?y x2，y 3x， 得交点 (3， 9)， 因此 ， 所求图形的面积为 S ?01(3x x)dx?13(3x x2)dx ?012xdx?13(3x x2)dx x2?10 ? ?32x2 13x3 ?31 1 ? ?32 32 133 3 ? ?32 12 131 3 133. 11.若 f(x) x2 2?01f(x)dx， 则?01f(x)dx ( ) A. 1 B. 13 C.13 D.1 解析 由题意知 f(x)
7、x2 2?01f(x)dx， 设 m ?01f(x)dx， f(x) x2 2m， ?01f(x)dx?01(x2 2m)dx?13x3 2mx?10 13 2m m， m 13. 答案 B 12.一辆汽车在高速公路上行驶 ， 由于遇到紧急情况而刹车 ， 以速度 v(t) 7 3t 251 t(t的单位： s， v 的单位： m/s)行驶至停止 .在此期间汽车继续行驶的 距离 (单位： m)是 ( ) A.1 25ln 5 B.8 25ln 113 C.4 25ln 5 D.4 50ln 2 解析 令 v(t) 0， 得 t 4 或 t 83(舍去 )， 汽车行驶距离 s ?04?7 3t 2
8、51 t dt =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ?7t 32t2 25ln（ 1 t） ?40 28 24 25ln 5 4 25ln 5(m). 答案 C 13.(2017 郑州调研 )? 11 ( 1 x2 ex 1)dx _. 解析 ? 11 ( 1 x2 ex 1)dx? 11 1 x2dx? 11 (ex 1)dx. 因为 ? 11 1 x2dx 表示单位圆的上半部分的面积 ， 则 ? 11 1 x2dx 2 ，又 ? 11 (ex 1)dx (ex x)|1 1 (e1 1) (e 1 1) e 1e 2， 所以 ? 11 ( 1 x2 ex 1)dx 2 e1e 2. 答案
9、 2 e 1e 2 14.在区间 0， 1上给定曲线 y x2.试在此区间内确定点 t 的值 ， 使图中的阴影部分的面积 S1与 S2之和最小 ， 并求最小值 . 解 S1面积等于边长分别为 t 与 t2的矩形面积去掉曲线 y x2与 x轴、直线 x t 所围成的面积 ， 即 S1 t t2 ?0tx2dx 23t3. S2的面积等于曲线 y x2与 x 轴 ， x t， x 1 围成的面积去掉矩形边长分别为 t2， 1 t 的面积 ， 即 S2 ?t1x2dx t2(1 t) 23t3 t2 13. 所以阴影部分的面积 S(t) S1 S2 43t3 t2 13(0 t1). 令 S (t) 4t2 2t 4t? ?t 12 0， 得 t 0 或 t 12. t 0 时 ， S(t) 13； t 12时 ， S(t) 14； t 1 时 ， S(t) 23. 所以当 t 12时 ， S(t)最小 ， 且最小值为 14.
