1、 第一章第一章 测量误差及数据处理方法测量误差及数据处理方法 1.1测量与误差关系测量与误差关系 1.2测量结果误差估算及评定方法测量结果误差估算及评定方法 1.3直接测量结果误差估算及评定方法直接测量结果误差估算及评定方法 1.4间接测量结果误差估算及评定方法间接测量结果误差估算及评定方法 1.5 有效数字及其运算有效数字及其运算 1.6常用数据处理方法常用数据处理方法 测量：就是用一定的测量工具或仪器，通过测量：就是用一定的测量工具或仪器，通过一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。一定的方法，直接或间接地得到所需要的量值。一、一、 测量测量测量测量 直接测量直接测量间接测量间接测量直接
2、测量直接测量-指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系指无需对被测的量与其它实测的量进行函数关系的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；的辅助计算而可直接得到被测量值的测量；间接测量间接测量-指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关指利用直接测量的量与被测量之间的已知函数关系经过计算从而得到被测量值的测量系经过计算从而得到被测量值的测量二、二、 误差误差2、误差来源误差来源（1） 仪器误差仪器误差（2） 环境误差环境误差（3） 测量方法误差测量方法误差（4） 人员误差人员误差真测NNN1、误差的定义误差的定义测量误差测量误差=测量值测量值-真值真值N真真是客观存在的但无法测得，因为测量与误差
3、是形影不离的。是客观存在的但无法测得，因为测量与误差是形影不离的。3、 误差分类误差分类（系统误差、随机误差、粗大误差）（系统误差、随机误差、粗大误差）（1）系统误差系统误差同一被测量的多次测量过程中，保持同一被测量的多次测量过程中，保持恒定或以可预知方式变化恒定或以可预知方式变化的测量误差的分量的测量误差的分量 特点特点：确定性：确定性 产生原因产生原因：仪器本身的缺陷、测量方法的不完：仪器本身的缺陷、测量方法的不完备、测量者的不良习惯等备、测量者的不良习惯等。（2）随机误差同一量的多次测量过程中，以不可预知方式变化的测量误差的分量 特点特点:(a)测量次数不多情况下测量次数不多情况下随机误
4、差随机误差没有规律没有规律; (b)大量测量时大量测量时随机误差服从统计规律随机误差服从统计规律。很多服从正态分布，曲线下面积为很多服从正态分布，曲线下面积为1，曲线越窄，峰，曲线越窄，峰越高，随机误差越小。越高，随机误差越小。用多次测量取平均的方法可用多次测量取平均的方法可以减小随机误差。以减小随机误差。 产生原因：环境的影响等。产生原因：环境的影响等。NN N NP（3）粗大误差粗大误差明显超出规定条件下预期的误差明显超出规定条件下预期的误差 特点：特点：可以避免，可以避免，处理数据时应将其剔除。处理数据时应将其剔除。 产生原因：错误读数、使用有缺陷的器具、产生原因：错误读数、使用有缺陷的
5、器具、使用仪器方法不对等。使用仪器方法不对等。NNN测真（1）绝对误差绝对误差%100NNN%100NNE 真真真真测测真真 （2）相对误差相对误差（百分误差）（百分误差）4、 测量结果表示测量结果表示NNN 测测真真结果表示：结果表示：%100NNE 真真 问问:有了绝对误差，为什么还要引入相对有了绝对误差，为什么还要引入相对误差呢？误差呢？ 答答:绝对误差反映的是误差本身的大小，但绝对误差反映的是误差本身的大小，但它不能反映误差的严重程度。它不能反映误差的严重程度。2m20m 例例:两个绝对误差如下，哪个大两个绝对误差如下，哪个大,哪个严重？哪个严重？我们不知道它们是在什么测量中产生的，所
6、我们不知道它们是在什么测量中产生的，所以难以回答。以难以回答。如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？如果它们分别对应下面两个测量，情况又怎样？100米跑道地 月2m20m5、精密度、正确度与准确度（又称精确度）、精密度、正确度与准确度（又称精确度）精密度精密度反映随机误差（测量值离散程度）反映随机误差（测量值离散程度）正确度正确度反映系统误差（测量值偏离真值程度）反映系统误差（测量值偏离真值程度）准确度准确度反映综合误差反映综合误差正确度较高、正确度较高、精密度低精密度低精密度高、精密度高、正确度低正确度低准确度高准确度高(a)(c)(b)1.2测量结果误差估算及评定方法测量结果误差估算及
7、评定方法 对对N进行进行K次测量，得次测量，得N1，N2Nk用算术用算术平均值：平均值：作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。作为真值的最佳估计，评定其可靠性的方法有三种。 kiikiNKNNNNKN121111算术平均偏差算术平均偏差 NNNNNNNNKki211KiiNNK11结果可表示为结果可表示为： N（2）平均值的标准偏差）平均值的标准偏差： 1KKNNKNNK1i2i 112KNNNKii（1）测量列的实验标准差：）测量列的实验标准差：2标准偏差（均方根偏差）标准偏差（均方根偏差） 拓：拓：标准偏差标准偏差是一个描述测量结果离散程度的参是一个描述测量结果离散程度的参量，反映
8、了测量的精密度，只考虑随机误差。量，反映了测量的精密度，只考虑随机误差。 NN N NP 理解：理解： 若随机误差若随机误差服从正态分布，在距平均值服从正态分布，在距平均值 处，处，是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为是概率密度曲线的拐点，曲线下总面积为1， 越小，越小，曲曲线线越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之越瘦，峰值越高，说明分布越集中，精密度越高；反之精密度越低。精密度越低。 置信概率（包含真值的概置信概率（包含真值的概率）率） 范围范围 NN68.3% 2N2N 95.4% 3N3N 99.7% 当系统误差、粗大误差已消除，随机误当系统误差、粗大误差已消除，随机误差服从
9、正态分布差服从正态分布NN N NP N NA类分量（用类分量（用统计统计的方法计算）的方法计算）u：insjinsuK B类分量（用类分量（用其他其他方法计算）方法计算）u：2j22j22B2Au)N(u)N(uuu 或或合成不确定度合成不确定度uN 测量结果表示为：测量结果表示为：%100NuE 相对不确定度：相对不确定度：3不确定度不确定度1.3直接测量误差估算及评定直接测量误差估算及评定一、单次测量误差估算及评定一、单次测量误差估算及评定单次测量结果的误差估算常以测量仪单次测量结果的误差估算常以测量仪器误差来评定。器误差来评定。仪器误差：仪器误差： 已标明（或可明确知道）的误差已标明（
10、或可明确知道）的误差未标明时，可取仪器及表盘上最小未标明时，可取仪器及表盘上最小刻度的一半作误差。刻度的一半作误差。 电学仪器根据仪器的精度来考虑电学仪器根据仪器的精度来考虑 如电表：如电表：%ins量程数仪器精度级别例例 : 如用一个精度为如用一个精度为0.5级，量程为级，量程为10 A的电流表，单次测量某一电流值为的电流表，单次测量某一电流值为2.00A，试用不确定度表示测量结果。试用不确定度表示测量结果。解：解：u=10 A 05 =005 A I=（2 000 05 ）A二、多次测量结果的误差估算及二、多次测量结果的误差估算及评定程序：评定程序： 1、求平均值、求平均值 。 2、求、求
11、 或或 或或 u。 3、表示结果。（例如用表示结果。（例如用u，则结果为则结果为 ）uNNNuNN 22insNu今后我们约定结果写成：今后我们约定结果写成：式中式中这种表示方法的置信概率大约为这种表示方法的置信概率大约为95%左右左右例（书P20） zzfyyfxxfN（1.4-3）绝对误差绝对误差zzfyyfxxfNNlnlnln(1.4-4)相对误差相对误差1.4间接测量结果误差的估算及评定间接测量结果误差的估算及评定 一、一、 一般的误差传递公式一般的误差传递公式N=f(x,y,z)当间接测量的函数关系为和差形式（当间接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),N=x+y-z),先计
12、先计算绝对误差较方便算绝对误差较方便当间接测量的函数关系为积商形式（当间接测量的函数关系为积商形式（N=xy/z),N=xy/z),先计先计算相对误差较方便算相对误差较方便 222222)()()(zyxNzfyfxf222222)ln()ln()ln(zyxNzfyfxfN(1.4-6)(1.4-7)二、二、 标准偏差的传递公式（方和根合成）标准偏差的传递公式（方和根合成）222222)()()(zyxNuzfuyfuxfu222222)ln()ln()ln(zyxNuzfuyfuxfNu(1.4-8)(1.4-9)不确定度不确定度相对不确定度相对不确定度当间接测量的函数关系为和差形式（当间
13、接测量的函数关系为和差形式（N=x+y-z),N=x+y-z),用（用（1.4-81.4-8）较）较方便方便当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（当间接测量的函数关系为积商，乘方，开方形式（N=xN=x2 2y/z),y/z),用（用（1.4-91.4-9）较方便）较方便三、不确定度的传递公式三、不确定度的传递公式表1.4-1某些常用函数的不确定度传递公式yxN22yxNuuuyxN22yxNuuuyxN22)()(yuxuNuyxNyxN 22)()(yuxuNuyxNkxN xNukuxuNuxNxNsinxNuxu cosxNlnxuuxNLmkzyxN222222)()()(zu
14、LyumxukNuzyxN函数形式 不确定传递公式 总结总结间接测量结果用不确定度评定的基本步间接测量结果用不确定度评定的基本步骤：骤：（1）计算各直接测量量的不确定度；）计算各直接测量量的不确定度；（2）根据公式（）根据公式（1.48）或（）或（1.49）计算间）计算间接测量量的不确定度（保留接测量量的不确定度（保留1位有效数字），位有效数字），或相对不确定度（保留或相对不确定度（保留12位有效数字）位有效数字） ；（3）求出间接测量量）求出间接测量量N，N的末位与不确定度的末位与不确定度所在位对齐；所在位对齐；（4）写出结果）写出结果 。注意单位不要漏写注意单位不要漏写NuN 例例1: 用
15、一级千分尺用一级千分尺（ ）测量某一圆）测量某一圆柱体的直径柱体的直径D和高度和高度H，测量数测量数据见表据见表1.4-2,求体积求体积V并用不确并用不确定度评定测量结果。定度评定测量结果。 mmins004. 0表1.4-2 测量次数D/mm H/mm 1 3.004 4.096 2 3.002 4.094 3 3.006 4.092 4 3.000 4.096 5 3.006 4.096 6 3.000 4.094 7 3.006 4.094 8 3.004 4.098 9 3.000 4.094 10 3.000 4.096 解：（解：（1）计算直接测量值）计算直接测量值D、H的不确定度
16、的不确定度3.00283.003DmmmmmmH095. 4（a）mmD0027.0mmH0017.0DH求和（b）A类不确定度mmuinsj004. 0B类不确定度（c） mmuDujD004. 022mmuHujH004. 022（d）估算估算 UD 和和UH22329.00444VD HD Hmm22220.0033VDHuuuuEVDH329.0040.00330.1VuuEVmm（2）求）求 V和和 Uv 329.00.1VVumm（3）写出结果）写出结果例2: P25例5、例6、例71.5 有效数字及其运算有效数字及其运算 一、什么叫有效数字一、什么叫有效数字一般有效数字是由若干位
17、一般有效数字是由若干位准确数字准确数字和一位和一位可疑数字可疑数字（欠准数字）构成。（欠准数字）构成。 注意注意:（1）同一物体用不同精度的仪器测，有效数字的同一物体用不同精度的仪器测，有效数字的位数是不同的，精度越高，有效数字的位数位数是不同的，精度越高，有效数字的位数越多越多（2）有效位数与十进制单位的变换无关）有效位数与十进制单位的变换无关如： 最小分度 被测量长 有效数字位数米尺 1mm 12.06cm 4 游标卡尺 0.02mm 12.060cm 5 螺旋测微器 0.01mm 12.0600cm 6如：12.06cm=0.1206m=0.0001206km 有效位数都是4（3）表示小
18、数点位数的）表示小数点位数的“0”不是有效数字；不是有效数字； 数字中间的数字中间的“0”和数字尾部的和数字尾部的“0”都是有效都是有效数字；数字； 数据尾部的数据尾部的“0”不能随意舍掉，也不能随意加不能随意舍掉，也不能随意加上上410 110nKKnZ（ ）推荐用科学记数法，；在十进制单位变换时，K不变，只改变n如： 900v=9.00102v=9.00 105 mv=9.00 10-1kv二、有效数字运算规则二、有效数字运算规则、加减运算、加减运算 尾数尾数对齐对齐在在小数点后小数点后所应保留的位数所应保留的位数与诸量中与诸量中小数点后小数点后位数最少的一个相同。位数最少的一个相同。如：
19、如：11.4+2.56=13.96=14.0 75-10.356=75-10.4=64.6=65原则：原则：准确数字之间进行四则运算仍为准确数字；准确数字之间进行四则运算仍为准确数字； 可疑数字与准确数字或可疑数字之间运算可疑数字与准确数字或可疑数字之间运算结果为可疑数字；结果为可疑数字； 运算中的进位数可视为准确数字运算中的进位数可视为准确数字如：如：40009.0=3.6104 2.0000.10=20、乘除运算、乘除运算 位数位数对齐对齐结果结果有效数字有效数字的位数，一般的位数，一般与诸量中与诸量中有效数字有效数字位数最少的一个相同。位数最少的一个相同。3、某些常见函数运算的有效位数、
20、某些常见函数运算的有效位数（1）对数函数）对数函数尾数的位数尾数的位数取得与取得与真数的位数真数的位数相同；相同；lg19833.2973227143.2973y （2）指数函数的有效数字，可与指数的）指数函数的有效数字，可与指数的小数点后小数点后的位数的位数（包括紧接在小数点后的零）相同；（包括紧接在小数点后的零）相同；6.256101778279.41 1.8 10 （4）常数的有效位数可以认为是）常数的有效位数可以认为是无限的无限的，实际计算，实际计算中一般比中一般比运算中有效数字位数运算中有效数字位数多取多取1位；位；（3）三角函数的取位随）三角函数的取位随角度的有效位数角度的有效位数
21、而定；而定；cos20 160.9380704610.9381y 4、当诸量进行加减、乘除混合运算时，有效数字、当诸量进行加减、乘除混合运算时，有效数字应遵循加减、乘除运算规则逐步取舍应遵循加减、乘除运算规则逐步取舍如：76.00076.0002.0040.00 2.038.02、最佳值或测量值、最佳值或测量值末位末位与不确定度与不确定度末位对齐末位对齐。三、不确定度和测量结果的数字化整规则三、不确定度和测量结果的数字化整规则1、不确定度的有效位数、不确定度的有效位数12位位 本书约定本书约定:不确定度只保留不确定度只保留1 1位。位。 相对不确定度相对不确定度1212位。位。 尾数采用尾数采
22、用 四舍四舍 六入六入 五凑偶五凑偶 如：如：1.4=1，1.6=2，1.5=2，2.5=20.069.7879.790.06uNNu真如：，则结果表示为N小结小结 在实验中我们所得的测量结果都是可能含有在实验中我们所得的测量结果都是可能含有误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映误差的数值，对这些数值不能任意取舍，应反映出测量值的出测量值的准确度准确度。所以在。所以在记录数据、计算以及记录数据、计算以及书写测量结果书写测量结果时，应根据时，应根据测量误差测量误差或实验结果的或实验结果的不确定度不确定度来定出究竟应取几位有效位数。来定出究竟应取几位有效位数。游标类器具游标类器具（游标卡尺、分
23、游标卡尺、分光计度盘、大气光计度盘、大气压计等压计等）一般读）一般读至游标最小分度至游标最小分度的整数倍，即不的整数倍，即不需估读。需估读。数显仪表及有数显仪表及有十进步式标度十进步式标度盘的仪表盘的仪表（电阻电阻箱、电桥、电位箱、电桥、电位差计、数字电压差计、数字电压表等表等）一般应直）一般应直接读取仪表的示接读取仪表的示值。值。指针式仪表及指针式仪表及其它器具其它器具，读，读数时估读到仪器数时估读到仪器最小分度的最小分度的1/21/10，或，或使估读间隔不大使估读间隔不大于仪器基本误差于仪器基本误差限的限的1/51/3。注意指针指注意指针指在整刻度线在整刻度线上时读数的上时读数的有效位数。
24、有效位数。用计算器或计算机进行计算时中间结果可不作修约或适用计算器或计算机进行计算时中间结果可不作修约或适当多取几位（不能任意减少）。当多取几位（不能任意减少）。加减运算遵循尾数对齐原则加减运算遵循尾数对齐原则 如如 11.4+2.56=14.0 75-10.356=65乘除运算遵循位数对齐原则乘除运算遵循位数对齐原则 如如 40009.0=3.6104 2.0000.10=2.0当诸量进行加减、乘除混合运算时，有效数字应遵循加当诸量进行加减、乘除混合运算时，有效数字应遵循加减、乘除运算规则逐步取舍减、乘除运算规则逐步取舍总不确定度总不确定度u的有效位数的有效位数我们约定取我们约定取1位位相对
25、相对不确定度不确定度Eu的有效位数的有效位数我们约定取我们约定取12位位例例 ：估算结果估算结果 u=0.548mm时，取为时，取为u=0.5mm 被测量值有效位数的确定被测量值有效位数的确定Y Yy yu u中，被测量值中，被测量值 y y 的末位要与不确定度的末位要与不确定度u u的末位对的末位对齐齐 （求出（求出 y y后先多保留几位，求出后先多保留几位，求出u u，由，由u u决定决定 y y的末位）的末位）39.436cmV 30.08cmV不确定度分析结果不确定度分析结果最终结果为：最终结果为：V=9.440.08cm3即：不确定度末位在小数点后第二位，测量结果的最后即：不确定度末
26、位在小数点后第二位，测量结果的最后一位也取到小数点后第二位。一位也取到小数点后第二位。例：例：环的体积环的体积 作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某作图法可形象、直观地显示出物理量之间的函数关系，也可用来求某些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要些物理参数，因此它是一种重要的数据处理方法。作图时要先整理出数先整理出数据表格据表格，并要，并要用坐标纸作图用坐标纸作图。U (V )0.741.522.333.083.664.495.245.986.767.50I (mA)2.004.016.228.209.7512.00 13.99 15.92 18.00 2
27、0.011.选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小选择合适的坐标分度值，确定坐标纸的大小 坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。坐标分度值的选取应能基本反映测量值的准确度或精密度。 根据表数据根据表数据U 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.10V，I 轴可选轴可选1mm对应于对应于0.20mA，并可定，并可定坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围）坐标纸的大小（略大于坐标范围、数据范围） 约约为为130mm130mm。作图步骤作图步骤：实验数据列表如下：实验数据列表如下. 表表1：伏安法测电阻实验数据：伏安法测电阻实验数据2. 标明坐标轴：标明坐标轴： 用粗实线画坐标轴，用粗实线
28、画坐标轴，用箭头标轴方向，标坐标用箭头标轴方向，标坐标轴的名称或符号、单位轴的名称或符号、单位,再按顺序标出坐标轴整分再按顺序标出坐标轴整分格上的量值。格上的量值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.004. 连成图线：连成图线： 用直尺、曲线板等把用直尺、曲线板等把点连成直线、光滑曲线。点连成直线、光滑曲线。一般不强求直线或曲线通一般不强求直线或曲线通过每个实验点，应使图线过每个实验点，应使图线两边的实验点与图线最为接近且分布大体均
29、匀。两边的实验点与图线最为接近且分布大体均匀。3.标实验点标实验点： 实验点可用实验点可用“ ”、 “ ”、“ ”等符号标等符号标出（同一坐标系下不同曲出（同一坐标系下不同曲线用不同的符号线用不同的符号）。）。 5.标出图线特征：标出图线特征： 在图上空白位置标明在图上空白位置标明实验条件或从图上得出的实验条件或从图上得出的某些参数。如利用所绘直某些参数。如利用所绘直线可给出被测电阻线可给出被测电阻R大小：大小：从从所绘所绘直线直线上读取两点上读取两点 A、B 的坐标就可求出的坐标就可求出 R 值。值。I (mA)U (V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010
30、.006.002.000 02.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00电阻伏安特性曲线电阻伏安特性曲线6.标出图名：标出图名： 在图线下方或空白位在图线下方或空白位置写出图线的名称及某些置写出图线的名称及某些必要的说明。必要的说明。A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)由图上由图上A、B两点可得被测电阻两点可得被测电阻R为：为：)k(379. 076. 258.1800. 100. 7ABABIIUUR至此一张图才算完成至此一张图才算完成不当图例展示不当图例展示：n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001
31、.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图图图1曲线太粗，不曲线太粗，不均匀，不光滑均匀，不光滑。应该用直尺、曲应该用直尺、曲线板等工具把实线板等工具把实验点连成光滑、验点连成光滑、均匀的细实线。均匀的细实线。n(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲线图玻璃材料色散曲线图改正为改正为：图图2I (mA)U (V)0 02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安
32、特性曲线横轴坐标分度选取横轴坐标分度选取不当。不当。横轴以横轴以3 cm 代代表表1 V，使作图和读图都使作图和读图都很困难。实际在选择坐标很困难。实际在选择坐标分度值时，应既满足有效分度值时，应既满足有效数字的要求又便于作图和数字的要求又便于作图和读图，读图，一般以一般以1 mm 代代表的量值是表的量值是10的整数的整数次幂或是其次幂或是其2倍或倍或5倍。倍。I (mA)U (V)o o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00电学元件伏安特性曲线电学元件伏安特性曲线改正为：改正为：定容气体压强温度曲线定容气体
33、压强温度曲线1.20001.60000.80000.4000图图3P(105Pa)t()60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00图纸使用不当图纸使用不当。实际作图时，实际作图时，坐标原点的读坐标原点的读数可以不从零数可以不从零开始开始。定容气体压强温度曲线定容气体压强温度曲线1.00001.15001.20001.10001.0500 P(105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t()改正为：改正为： 逐差法是逐差法是对等间距测量的有序数据对等间距测量的有序数据，进行逐项或相等间隔相减得到结果。，进行逐项
34、或相等间隔相减得到结果。它计算简便，并可它计算简便，并可充分利用数据充分利用数据，及时发现差错，总结规律，是物理实验中，及时发现差错，总结规律，是物理实验中常用的一种数据处理方法。常用的一种数据处理方法。使用条件：使用条件：（1）自变量）自变量x是等间距变化是等间距变化 （2）被测物理量之间函数形式可以写成）被测物理量之间函数形式可以写成x的多项式：的多项式： m0mmmxay分类：逐差法分类：逐差法逐项逐差（用于验证被测量之间是否存在多项式函数逐项逐差（用于验证被测量之间是否存在多项式函数关系）关系）分组逐差（用于求多项式的系数）分组逐差（用于求多项式的系数）应用举例（拉伸法测弹簧的倔强系数
35、）应用举例（拉伸法测弹簧的倔强系数） 设实验中，等间隔的在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加设实验中，等间隔的在弹簧下加砝码（如每次加一克），共加9次，分次，分别记下对应的弹簧下端点的位置别记下对应的弹簧下端点的位置L0 L1 L2 L9 ，则可用逐差法进行则可用逐差法进行以下处理以下处理（1）验证函数形式是线性关系）验证函数形式是线性关系 看看L1L2 L9是否基本相等是否基本相等.当当Li基本相等时基本相等时,就验就验证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即证了外力与弹簧的伸长量之间的函数关系是线性的，即F=k L用此法可检查测量结果是否正确，但注意的是必须用逐项逐差用此法可检查测
36、量结果是否正确，但注意的是必须用逐项逐差899122011LLLLLLLLL （1.61）把所得的数据逐项相减把所得的数据逐项相减(2)求物理量数值求物理量数值现计算每加一克砝码现计算每加一克砝码 时弹簧的平均伸长量时弹簧的平均伸长量从上式可看出用逐项逐差，中间的测量值全部抵消了，只有始末从上式可看出用逐项逐差，中间的测量值全部抵消了，只有始末二次测量起作用，与一次加九克砝码的测量完全等价。二次测量起作用，与一次加九克砝码的测量完全等价。若用逐项逐差（若用逐项逐差（1.61）得到：）得到：899122011LLLLLLLLL 9LL9LLLLLL9LLLL09891201921 再求平均再求平
37、均 为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作些组合，仍为了保证多次测量的优点，只要在数据处理方法上作些组合，仍能达到多次测量减小误差的目的。所以我们采用分组逐差。能达到多次测量减小误差的目的。所以我们采用分组逐差。 通常可将等间隔所测的值分成前后两组，前一组为通常可将等间隔所测的值分成前后两组，前一组为L0 L1 L2 L3 L4 后一组为后一组为L5 L6 L7 L8 L9 前前后后两两组组对对应应项项相相减减495162051LLLLLLLLL 再再取取平平均均值值 40iii5491605521)LL(515LLLLLL5LLLL 由此可见，分组逐差和逐项逐差不同，这时每个数据都用
38、上了，有利于由此可见，分组逐差和逐项逐差不同，这时每个数据都用上了，有利于减小误差。但注意：这里的减小误差。但注意：这里的 是增加五克时弹簧的平均伸长量。是增加五克时弹簧的平均伸长量。L 作图法的直线拟合带有相当大的主观性，用最小作图法的直线拟合带有相当大的主观性，用最小二乘法进行直线拟合要优于作图法。二乘法进行直线拟合要优于作图法。 原理：若能找到一条最佳的拟合直线，那么这条直线上各原理：若能找到一条最佳的拟合直线，那么这条直线上各相应点的值与测量值之差的平方和在所有拟合直线中最小。相应点的值与测量值之差的平方和在所有拟合直线中最小。 通过实验，等精度地测得一组互相独立的实验数据（通过实验，
39、等精度地测得一组互相独立的实验数据（xi，yi，i =1，2k），设此两物理量），设此两物理量 x、y 满足线性关系，且假满足线性关系，且假定实验误差主要出现在定实验误差主要出现在yi上，设拟合直线公式为上，设拟合直线公式为 y =a0+ a1 x k1i210ik1i2i)xaa(yVS按最小二乘法原理，按最小二乘法原理，应使下式最小应使下式最小)xaa(yyyV10iii 则测量值和最佳值（回归直线上对应坐标）的偏差则测量值和最佳值（回归直线上对应坐标）的偏差010 ;0ssaaS取极小值必要的条件是取极小值必要的条件是0110112()02()0kiiikiiiiyaa xyaa x x即即:10210aayaxaxyxx整理后得整理后得:xaya;xxxyyxa10221 解得：解得：11221111;11;ikkiiiikkiiiixx yykkxxxyx ykk式中式中:01220222011,:0;0.,.ikissaaaava x110所 得 的 a满 足故 得 到 的 a对 应 取取 极 小 值这 样 就 得 到 直 线 的 回 归 方 程 :y=a
