1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 1 讲 归纳与类比 一、选择题 1.(2016 西安八校联考 )观察一列算式： 1?1， 1?2， 2?1， 1?3， 2?2， 3?1， 1?4， 2?3， 3?2， 4?1，?， 则式子 3?5 是第 ( ) A.22 项 B.23 项 C.24 项 D.25 项 解析 两数和为 2 的有 1 个 ， 和为 3 的有 2 个 ， 和为 4 的有 3 个 ， 和为 5 的有 4 个 ， 和为6 的有 5 个 ， 和为 7 的有 6 个 ， 前面共有 21 个 ， 3?5 为和为 8 的第 3 项 ， 所以为第 24 项 ，故选 C. 答案 C 2.命题
2、“ 有些有理数是无限循环小数 ， 整数是有理数 ， 所以整数是无限循环小数 ” 是假命题 ， 推理错误的原因是 ( ) A.使用了归纳推理 B.使用了类比推理 C.使用了“三段论”，但推理形式错误 D.使用了 “ 三段论 ” ， 但小前提错误 解析 由 “ 三段论 ” 的推理方式可知 ， 该推理的错误原因是推理形式错误 . 答案 C 3.观察 (x2) 2x， (x4) 4x3， (cos x) sin x， 由归纳推理得：若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f( x) f(x)， 记 g(x)为 f(x)的导函数 ， 则 g( x) ( ) A.f(x) B. f(x) C.g(x) D.
3、 g(x) 解析 由已知得偶函数的 导函数为奇函数 ， 故 g( x) g(x). 答案 D 4.观察下列各式： a b 1， a2 b2 3， a3 b3 4， a4 b4 7， a5 b5 11，?， 则 a10b10等于 ( ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析 观察规律 ， 归纳推理 . 从给出的式子特点观察可推知 ， 等式右端的值 ， 从第三项开始 ， 后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和 ， 照此规律 ， 则 a10 b10 123. 答案 C 5.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： “ mn nm” 类比得到 “ a b b a” ； “
4、 (m n)t mt nt” 类比得到 “( a b) c a c b c” ； “ (m n)t m(n t)” 类比得到 “( a b) c a( b c)” ； “ t 0， mt xt?m x” 类比得到 “ p 0， a p x p?a x” ； =【 ;精品教育资源文库 】 = “ |m n| |m| n|” 类比得到 “| a b| |a| b|” ； “ acbc ab” 类比得到 “ a cb c ab” . 以上式子中 ， 类比得到的结论正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析 正确； 错误 . 答案 B 6.(2017 宜 春 一中月考 )老师带甲、乙、
5、丙、丁四名学生去参加自主招生考试 ， 考试结束后老师向四名学生了解考试情况 ， 四名学生回答如下： 甲说： “ 我们四人都没考好 ” ； 乙说： “ 我们四人中有人考的好 ” ； 丙说： “ 乙和丁至少有一人没考好 ” ； 丁说： “ 我没考好 ”. 结果 ， 四名学生中有两人说对了 ， 则四名学生中说对的两人是 ( ) A.甲 ， 丙 B.乙 ，丁 C.丙 ， 丁 D.乙 ， 丙 解析 甲与乙的关系是对立事件 ， 二人说话矛盾 ， 必有一对一错 ， 如果丁正确 ， 则丙也是对的 ， 所以丁错误 ， 可得丙正确 ， 此时乙正确 .故答案为 D. 答案 D 7.平面内有 n 条直线 ， 最多可将
6、平面分成 f(n)个区域 ， 则 f(n)的表达式为 ( ) A.n 1 B.2n C.n2 n 22 D.n2 n 1 解析 1 条直线将平面分成 1 1 个区域； 2 条直线最多可将平面分成 1 (1 2) 4 个区域； 3 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3) 7 个区域； ? ； n 条直线最多可将平面分成 1 (1 2 3 ? n) 1 n（ n 1）2 n2 n 22 个区域 ， 选 C. 答案 C 8.如图 ， 有一个六边形的点阵 ， 它的中心是 1 个点 (算第 1 层 )， 第 2 层每边有 2 个点 ， 第 3 层每边有 3 个点 ，?， 依此类推 ， 如果一个六边形
7、点阵共有 169 个点 ， 那么它的层数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 解析 由题意知 ， 第 1 层的点数为 1， 第 2 层的点数为 6， 第 3 层的点数为 26 ， 第 4 层的点数为 36 ， 第 5 层的点数为 46 ， ? ， 第 n(n2 ， n N )层的点数为 6(n 1).设一个点阵有 n(n2 ， n N )层 ， 则共有的点数为 1 6 62 ? 6(n 1) 1=【 ;精品教育资源文库 】 = 6 6（ n 1）2 (n 1) 3n2 3n 1， 由题意得 3n2 3n 1 169， 即 (n 7)( n 8) 0，所以 n 8， 故共有 8 层 . 答
8、案 C 二、填空题 9.仔细观察下面 和 的排列规律： ? 若依此规律继续下去 ， 得到一系列的 和 ， 那么在前 120 个和中，的个数是 _. 解析 进行分组 |? ， 则前 n 组两种圈 的总数是 f(n) 2 3 4 ? (n 1) n（ n 3）2 ， 易知 f(14) 119，f(15) 135， 故 n 14. 答案 14 10.观察下列等式： 13 12， 13 23 32， 13 23 33 62， 13 23 33 43 102，?， 根据上述规律 ， 第 n 个等式为 _. 解析 观察所给等式左右两边的构成易得第 n 个等式为 13 23 ? n3 ? ?n（ n 1）2
9、2n2（ n 1） 24 . 答 案 13 23 ? n3 n2（ n 1） 24 11.(2017 重庆模拟 )在等差数列 an中 ， 若公差为 d， 且 a1 d， 那么有 am an am n， 类比 上 述 性 质 ， 写 出 在 等 比 数 列 an 中 类 似 的 性 质 ：_. 解析 等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积 ， 故在等比数列中 ， 类似的性质是“ 在等比数列 an中 ， 若公比为 q， 且 a1 q， 则 am an am n.” 答案 在等比数列 an中 ， 若公比为 q， 且 a1 q， 则 am an am n 12.已知点 A(x1， ax1)， B(x
10、2， ax2)是函数 y ax(a 1)的图像上任意不同两点 ， 依据图像可知 ， 线 段 AB 总是位于 A， B 两点之间函数图像的上方 ， 因此有结论 ax1 ax22 ax1 x22 成立 .运用类比思想方法可知 ， 若点 A(x1， sin x1)， B(x2， sin x2)是函数 y sin x(x(0 ， )的图像上任意不同两点 ， 则类似地有 _成立 . 解析 对于函数 y ax(a 1)的图像上任意不同两点 A， =【 ;精品教育资源文库 】 = B， 依据图像可知 ， 线段 AB 总是位于 A， B 两点之间函数图像的上方 ， 因此有结论 ax1 ax22 ax1 x22
11、 成立；对于函数 y sin x(x(0 ， )的图像上任意不同的两点 A(x1， sin x1)，B(x2， sin x2)， 线段 AB 总是位于 A， B 两点之间函数图像的下方 ， 类比可知应有 sin x1 sin x22 sin x1 x22 成立 . 答案 sin x1 sin x22 sin x1 x22 13.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状 来研究数 . 比如： 他们研究过图 1 中的 1， 3， 6， 10，?， 由于这些数能够表示成三角形 ， 将其称为三角形数；类似地 ， 称图 2 中的 1， 4， 9， 16，?， 这样的数为正方形数 .下列数中既是三角形数又是
12、正方形数的是 ( ) A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 解析 观察三角形数： 1， 3， 6， 10， ? ， 记该数列为 an， 则 a1 1， a2 a1 2， a3 a2 3， ? an an 1 n. a1 a2 ? an (a1 a2 ? an 1) (1 2 3 ? n)?an 1 2 3 ? nn（ n 1）2 ， 观察正方形数： 1， 4， 9， 16， ? ， 记该数列为 bn， 则 bn n2.把四个选项的数字 ， 分别代入上述两个通项公式 ， 可知使得 n 都为正整数的只有 1 225. 答案 C 14.(2017 青岛模拟 )若数列 an的通项
13、公式为 an 1（ n 1） 2(n N )， 记 f(n) (1 a1)(1 a2)?( 1 an)， 试通过计算 f(1)， f(2)， f(3)的值 ， 推测出 f(n) _. 解析 f(1) 1 a1 1 14 34， f(2) (1 a1)(1 a2) 34? ?1 19 23 46， f(3) (1 a1)(1=【 ;精品教育资源文库 】 = a2)(1 a3) 23? ?1 116 58， 推测 f(n) n 22n 2. 答 案 n 22n 2 15.若 P0(x0， y0)在椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)外 ， 过 P0作椭圆的两条切线的切点为 P1， P2， 则切点弦
14、 P1P2所在的直线方程是 x0xa2 y0yb2 1， 那么对于双曲线则有如下命题：若 P0(x0， y0)在双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)外 ， 过 P0作双曲线的两条切线 ， 切点为 P1， P2， 则切点弦P1P2所在直线的方程是 _. 解析 设 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， 则 P1， P2的切线方程分别是 x1xa2 y1yb2 1， x2xa2 y2yb2 1. 因为 P0(x0， y0)在这两条切线上 ， 故有 x1x0a2 y1y0b2 1， x2x0a2 y2y0b2 1， 这说明 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)在直线 x0xa
15、2 y0yb2 1 上 ， 故切点弦 P1P2所在的直线方程是 x0xa2 y0yb2 1. 答案 x0xa2 y0yb2 1 16.(2017 郑州模拟 )如图所示 ， 一回形图 ， 其回形通道的宽和 OB1的长均为 1， 且各回形线之间或相互平行、或相互垂直 .设回形线与射线 OA 交于 A1， A2， A3，?， 从点 O 到点 A1的回形线为第 1圈 (长为 7)， 从点 A1到点 A2的回形线为第 2 圈 ， 从点 A2到点 A3的回形线为第 3 圈 ? ， 依此类推 ， 第 8 圈的长为 _. 解析 第 1 圈的长为 2(1 2) 1 7， 第 2 圈的长为 2(3 4) 1 15， 第 3 圈的长为 2(5 6) 1 23， 则第 n 圈的长为 2(2n 1) 2n 1 8n 1， 当 n 8 时 ， 第 8 圈的长度为 88 1 63. 答案 63
