1、=【;精品教育资源文库】=第 1 课时 坐标系最新考纲 考情考向分析1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.1平面直角坐标系设点 P(x， y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ：Error!的作用下，点 P(x， y)对应到点 P( x， y)，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换2极坐
2、标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点 O，自点 O 引一条射线 Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系点 O 称为极点，射线 Ox 称为极轴平面内任一点 M 的位置可以由线段 OM 的长度 和从射线 Ox 到射线 OM 的角度 来刻画(如图所示)这两个数组成的有序数对( ， )称为点 M 的极坐标 称为点 M 的极径， 称为点 M 的极角一般认为 0.当极角 的取值范围是0,2)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标( ， )( 0)建立一一对应的关系我们设定，极点的极坐标中，极径 0，极角 可取任意角(2)极坐标与直角坐标的互化
3、=【;精品教育资源文库】=设 M 为平面内的一点，它的直角坐标为( x， y)，极坐标为( ， )由图可知下面关系式成立：Error!或 Error!这就是极坐标与直角坐标的互化公式3常见曲线的极坐标方程曲线 图形 极坐标方程圆心在极点，半径为 r 的圆 r(0 0)设圆的圆心为 O， y a 与 x2( y2) 24 的两交点 A， B 与 O 构成等边三角形，如图所示由对称性知 O OB30， OD a.在 Rt DOB 中，易求 DB a，33 B 点的坐标为 .(33a， a)又 B 在 x2 y24 y0 上， 2 a2 4a0，(33a)即 a24 a0，解得 a0(舍去)或 a3
4、.43题型一 极坐标与直角坐标的互化1(2016北京改编)在极坐标系中，已知曲线 C1： cos sin 3 10， C2： 2cos .(1)求曲线 C1， C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；(2)若曲线 C1， C2交于 A， B 两点，求两交点间的距离解 (1) C1： cos sin 10，3 x y10，表示一条直线3=【;精品教育资源文库】=由 C2： 2cos ，得 22 cos ， x2 y22 x，即( x1) 2 y21. C2是圆心为(1,0)，半径为 1 的圆(2)由(1)知，点(1,0)在直线 x y10 上，3直线 C1过圆 C2的圆心因此两交点 A， B 的
5、连线是圆 C2的直径两交点 A， B 间的距离| AB|2 r2.2(1)以直角坐标系的原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求线段y1 x(0 x1)的极坐标方程(2)在极坐标系中，曲线 C1和 C2的方程分别为 sin2 cos 和 sin 1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线 C1和 C2交点的直角坐标解 (1)Error! y1 x 化成极坐标方程为 cos sin 1，即 .1cos sin 0 x1，线段在第一象限内(含端点)，0 . 2(2) x cos ， y sin ，由 sin2 cos ，得 2sin2 cos ，
6、曲线 C1的直角坐标方程为 y2 x.由 sin 1，得曲线 C2的直角坐标方程为 y1.由Error! 得Error!故曲线 C1与曲线 C2交点的直角坐标为(1,1)思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：极点与原点重合；极轴与 x 轴的正半轴重合；取相同的单位长度(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式 x cos 及 y sin 直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如 cos ， sin ， 2的形式，进行整体代换题型二 求曲线的极坐标方程典例 将圆 x2 y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的
7、2 倍，得到曲线 C.(1)求曲线 C 的标准方程；(2)设直线 l：2 x y20 与 C 的交点为 P1， P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段 P1P2的中点且与直线 l 垂直的直线的极坐标方程解 (1)设( x1， y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线 C 上的点( x， y)，由题意，得=【;精品教育资源文库】=Error!由 x21 y 1，得 x2 21，21 (y2)即曲线 C 的标准方程为 x2 1.y24(2)由Error! 解得Error! 或Error!不妨设 P1(1,0)， P2(0,2)，则线段 P1P2的中点坐标为 ，所求直线的斜
8、率为 k ，(12， 1) 12于是所求直线方程为 y1 ，12(x 12)化为极坐标方程，并整理得 2 cos 4 sin 3，故所求直线的极坐标方程为 .34sin 2cos 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设 P( ， )是曲线上任意一点(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 和极角 之间的关系式(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程跟踪训练 已知极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆 C 的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y0，直线 l 的参数方程为Error
9、!(t 为参数)，射线 OM 的极坐标方程为 .34(1)求圆 C 和直线 l 的极坐标方程；(2)已知射线 OM 与圆 C 的交点为 O， P，与直线 l 的交点为 Q，求线段 PQ 的长解 (1) 2 x2 y2， x cos ， y sin ，圆 C 的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y0， 22 cos 2 sin 0，圆 C 的极坐标方程为 2 sin .2 ( 4)又直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，消去 t 后得 y x1，直线 l 的极坐标方程为 sin cos .1(2)当 时，| OP|2 sin 2 ，34 2 (34 4) 2点 P 的极坐标为 ，
10、| OQ| ，(22，34) 122 22 22=【;精品教育资源文库】=点 Q 的极坐标为 ，故线段 PQ 的长为 .(22， 34) 322题型三 极坐标方程的应用典例 (2017全国)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1的极坐标方程为 cos 4.(1)M 为曲线 C1上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足| OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2的直角坐标方程；(2)设点 A 的极坐标为 ，点 B 在曲线 C2上，求 OAB 面积的最大值(2， 3)解 (1)设点 P 的极坐标为( ， )( 0)，点 M 的极坐标为( 1， )
11、( 10)由题意知|OP| ，| OM| 1 .4cos 由| OM|OP|16，得 C2的极坐标方程 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )( B0)由题设知| OA|2， B4cos ，于是 OAB 的面积 S |OA| Bsin AOB124cos |sin( 3)|2 2 .|sin(2 3) 32| 3当 时， S 取得最大值 2 .12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 .3思维升华 极坐标应用中的注意事项(1)极 坐 标 与 直 角 坐 标 互 化 的 前 提 条 件 ： 极 点 与 原 点 重 合 ；
12、 极 轴 与 x 轴 正 半 轴 重 合 ； 取相同的长度单位(2)若把直角坐标化为极坐标求极角 时，应注意判断点 P 所在的象限(即角 的终边的位置)，以便正确地求出角 .利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定 取正值， 0,2)，平面上的点(除去极点)与极坐标( ， )( 0)建立一一对应关系跟踪训练 (2017广州调研)在极坐标系中，求直线 sin 2 被圆 4 截得的( 4)弦长=【;精品教育资源文库】=解 由 sin 2，得 ( sin cos )2，可化为 x y2 0.圆( 4) 22 2 4 可化为 x
13、2 y216，圆心(0,0)到直线 x y2 0 的距离 d 2，2|22|2由圆中的弦长公式，得弦长l2 2 4 .r2 d2 42 22 3故所求弦长为 4 .31(2018武汉模拟)在极坐标系下，已知圆 O： cos sin 和直线 l： sin .( 4) 22(1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程；(2)当 (0，)时，求直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标解 (1)圆 O： cos sin ，即 2 cos sin ，圆 O 的直角坐标方程为 x2 y2 x y，即 x2 y2 x y0，直线 l： sin ，( 4) 22即 sin cos 1，则直线 l 的直角坐标方程为
14、 y x1，即 x y10.(2)由Error! 得Error!故直线 l 与圆 O 公共点的一个极坐标为 .(1， 2)2在极坐标系( ， )(0 2)中，求曲线 (cos sin )1 与 (sin cos )1 的交点的极坐标解 曲线 (cos sin )1 化为直角坐标方程为 x y1， (sin cos )1化为直角坐标方程为 y x1.联立方程组Error!得Error!则交点为(0,1)，对应的极坐标为 .(1， 2)=【;精品教育资源文库】=3在极坐标系中，求曲线 2cos 关于直线 对称的曲线的极坐标方程 4解 以极点为坐标原点，极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系，则曲线 2cos 的直角坐标方程为( x1) 2 y21，且圆心为(1,0)直线 的直角坐标方程为 y x， 4因为圆心(1,0)关于 y x 的对称点为(0,1)，所以
