1、第11课 圆锥曲线中的定点、定值问题 1 解析几何中，定点、定值问题是高考命题的一个热点， 也是一个难点，解决这类问题并没有常规方法，但基本思想是明确的，那就是定点、定值必然是在变化中所表现出来的不变量，所以可运用函数的思想方法，结合等式的恒成立求解，也就是说要与题中的可变量无关。 【要点梳理】 3求定点常用方法有两种： 特殊到一般法，根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 依据题设条件选取某个变量，将题中定值（或过定点的几何对象）用这个变量表示，然后说明与这个变量无关，常涉及方法有斜率法、方程法、向量法等。 如：02) 1(?yxk，则?0201yx，直线过定点)2
2、, 1 ( 0),(),(?yxgyxf?，则曲线以?0),(0),(yxgyxf的交点为定点。 2求定值：一般地针对所求的值运用坐标法、同点纵横坐标的转化、根与系数的关系的整体代入，进行结构的整合、变形，最终求得定值。 例 1 如图，过抛物线xy?2上一点)2 , 4(A作倾斜角互补的两条直线ACAB,交抛物线于CB,两点，求证：直线BC的斜率是定值。 证明：显然直线ACAB,的斜率都不是零，设AB的直线方程是2)4(?xky， C B A x y O 由方程?xyxky22)4(，消去y得 041616) 148(2222?kkxkkxk 2241616kkkxxBA?，4?Ax，即221
3、44kkkxB?， 而直线AC的斜率为k?，以k?代替Bx中的k，得22144kkkxC?， 41) 8(?CBCBCBCBBCxxxxkxxyyk 所以直线BC的斜率为定值41?。 【典例分析】 证法二：显然直线ACAB,的斜率都不是零， 设AB的直线方程是2)4(?xky， 由方程?xyxky22)4(， 消去x得0422?kyky kyyBA1?，2?Ay，即21?kyB， 例 1 如图， 过抛物线xy?2上一点)2 , 4(A作倾斜角互补的两条直线ACAB,交抛物线于CB,两点，求证：直线BC的斜率是定值。 C B A x y O 而直线AC的斜率为k?，以k?代替By中的k，得21?
4、kyC， 41122?CBCBCBCBCBBCyyyyyyxxyyk 所以直线BC的斜率为定值。 【典例分析】 方法感悟： 已知直线ACAB,两直线的倾斜角互补，故两直线方程可用同一参数（斜率 k）来表示，可简化运算。 求点 B（或 C）的坐标时，注意到 A 点坐标已知，而 A，B 的坐标恰恰是直线与曲线的方程的解，可利用韦达定理，用点 A 坐标表示点 B（或点C）的坐标。设而不求，整体代换数学思想。 变式训练 1. 已知椭圆 C 经过点)23, 1 (A,两个焦点为(1,0),(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的
5、斜率互为相互数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值. x y F E A 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以k?代k,可得 (2)设直线AE方程为23) 1(?xky,代入13422?yx得 012)23(4)23(4)43(222?kxkkxk 设),(11yxE，),(22yxF，因为点)23, 1 (A在椭圆上,所以 2214312)23(4kkx?, kkxy?2311 【典例分析】 解:(1)椭圆方程为13422?yx kkxykkx?23,4312)23(422222 所以直线 EF 的斜率212)(21212121?xxkxxkxxyykEF,
6、即直线 EF 的斜率为定值,其值为21. 变式训练 1. 已知椭圆 C 经过点)23, 1 (A,两个焦点为(1,0),(1,0). (1)求椭圆 C 的方程; (2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相互数,证明直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值. 【典例分析】 x y F E A 解： （1）当1?m时，E为抛物线xy42?的焦点， 121?kk?，CDAB?， 设AB的方程为) 1(1?xky，),(),(2211yxByxA，则由?xyxky4) 1(21得044121?kyyk，则4,421121?yykyy，24221221121?k
7、kykyxx， )2,2(2121yyxxM?，)2, 12(121kkM?，同理)2, 12(121kkN?，|21ENEMSEMN?21221222221)2()2()2()2(21kkkk? 42122121?kk， 当且仅当11?k时，EMN?面积的最小值为 4. 例 2.（2014 年浙江师大附中模拟）已知点)0(),0 ,(?mmE为抛物线xy42?内一个定点，过 E作斜率分别为21,kk的两条直线交抛物线于点DCBA,，且NM,分别是 AB，CD的中点。 (1)若1, 121?kkm，求 EMN?面积的最小值。 (2)若121? kk，求证：直线 MN过定点。 A N M C B
8、 D x y E O 【典例分析】 （2）设AB的方程为)(1mxky?，)0(1?k，),(),(2211yxByxA， 则由?xymxky4)(21得044121?mkyyk， 则1214kyy?， 例 2.（2014 年浙江师大附中模拟）已知点)0(),0 ,(?mmE为抛物线xy42?内一个定点，过E作斜率分别为21,kk的两条直线交抛物线于点DCBA,， 且NM,分别是 AB，CD的中点， (1)若1, 121?kkm，求EMN?面积的最小值。 (2)若121? kk，求证：直线 MN过定点。 A N M C B D x y E O 212121kkkkkkxxyykNMNMMN?，
9、 同理)2,2(222kmkN?， 即2)(21?mxkky， 【典例分析】 )2,2(2121yyxxM?，)2,2(121kmkM?， mkmkykyxx24221221121?， ? 直线MN恒过定点)2 ,(m. MN?的方程为)2(222211mkxkkky?， 已知椭圆方程14822?yx，过点)2 , 0(P分别作直线PBPA,交椭圆于BA,两点，设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，且421? kk，求证：直线AB过定点 证明：显然直线PBPA,的斜率都不是零，设PA的直线方程是21?xky， 由方程?822221yxxky，消去y得08)21 (1221?xkxk 2112
10、18kkxxAP?，0?Px，即211218kkxA?，21212142kkyA? x y B A P 变式训练3. 【典例分析】 而直线PB的斜率为2k，以2k代替Ax中的1k，得222218kkxB?， 2121214kkxxxkxkxxyykBABABABAAB? 所以直线 AB 的方程为)218(2142142211212121kkxkkkky? 所以直线 AB 的方程为)218(2142142211212121kkxkkkky? （*） 由421? kk， 取, 3, 121?kk得直线 AB 方程：1445?xy 由 得交点)2, 1(?代入（*） ，在421? kk下恒成立。 故
11、直线 AB 必过定点)2, 1(?。 取, 5, 121?kk得直线 AB 方程：18411?xy 【典例分析】 证明二：当直线 AB 不垂直 x 轴，故设 AB 的直线方程是mkxy?， x y B A P 由方程?8222yxmkxy，消去y得0824)2(222?mkmxyk 设),(11yxA，),(22yxB， 22124kkmxx?，2221282kmxx?， 即 2? mk 代入mkxy? 那么xyxk2) 1(?，即直线 AB 过定点)2, 1(? 已知椭圆方程14822?yx，过点)2 , 0(P分别作直线PBPA,交椭圆于BA,两点，设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，
12、且421? kk，求证：直线AB过定点 补充：补充： 22112122xyxykk? 【典例分析】 4) 2(22221212211?xxxxmkxmkxxmkx另外，当直线垂直 x 轴时，设),(11yxA，),(11yxB?，代入421? kk，易得11?x，即直线AB的方程为1?x，也过定点)2, 1(? 证法三：显然直线 AB 不平行 x 轴，故设 AB 的直线方程是nxmy?， x y B A P 由方程?8222yxxnmy，消去x得082)2(222?nmnyym 设),(11yxA，),(22yxB， 0)8)(2(442222?nmnm8222?mn 22122mmnyy?，
13、222128mnyy?， 即 mn21? 代入mxmy21? 那么1)2(?xym，即直线 AB 过定点)2, 1(? 已知椭圆方程14822?yx，过点)2 , 0(P分别作直线PBPA,交椭圆于BA,两点，设直线PA，PB的斜率分别为1k，2k，且421? kk，求证：直线AB过定点 变式训练3. 422221121?xyxykk 【典例分析】 例 3 已知定点0,0()M x y在抛物线)0( ,22?ppxy上， 动点BA,也在抛物线上满足0?MBMA求证：弦AB必过一定点 【解析】【解析】设AB所在直线方程为：xmyn? 与抛物线方程22ypx?联立，消去x 得2220ypmypn?
14、 08422?pnmp，设11(,)A x y，22(,)B x y 【典例分析】 则122yypm? 122y ypn? ? 由已知0?MBMA得， 0)()(02010201?yyyyxxxx 即0)()22)(22(020122222021?yyyypypypypy 可化为)(402012yyyyp? 即221201204()py yyyyy? ? 将代入得，002npmyx? 直线AB方程化为：00002()2xmypxmym yyxp? 直线AB恒过点00(2 ,)xpy? 方案一： 例 3 已知定点0,0()M x y在抛物线)0( ,22?ppxy上， 动点BA,也在抛物线上满足
15、0?MBMA求证：弦AB必过一定点 由已知0?MBMA得，0)()(02010201?yyyyxxxx 则122yypm? 122y ypn? ? 221010101011()()()22xxyyyyyypp? 222020202011()()()22xxyyyyyypp? 式可化为1220201?yypyyp，即221201204()py yyyyy? ? 将代入得，002npmyx? 直线AB方程化为：00002()2xmypxmym yyxp? 直线AB恒过点00(2 ,)xpy? 例 3 已知定点0,0()M x y在抛物线)0( ,22?ppxy上，动点BA,也在抛物线上满足0?MB
16、MA求证：弦AB必过一定点 【典例分析】 方案二： 由已知0?MBMA得，0)()(02010201?yyyyxxxx 例 3 已知定点0,0()M x y在抛物线)0( ,22?ppxy上，动点BA,也在抛物线上满足0?MBMA求证：弦AB必过一定点 【典例分析】 由已知0?MBMA得，0)()(02010201?yyyyxxxx 方案三： 0)()(02010201?yyyyxnmyxnmy0)()() 1(20202100212?yxnyyymxmnyym化简得，002npmyx? 直线AB方程化为：00002()2xmypxmym yyxp? 直线AB恒过点00(2 ,)xpy? ? 定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的 ? 解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究
