1、第第4章土中应力计算章土中应力计算 4.1概述概述4.2 土中自重应力计算土中自重应力计算4.3 基础底面的压力分布与计算基础底面的压力分布与计算4.4 竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算4.5 竖向分布荷载作用下土中应力竖向分布荷载作用下土中应力4.6 有效应力概念有效应力概念4.7 其他条件下的地基应力计算其他条件下的地基应力计算4.1概述概述4.1.1土中应力计算方法土中应力计算方法 土中应力产生的条件不同,分布规律和计算方法也不同。主要采用弹性理论公式,即把地基土视为均匀的、各向同性的半无限弹性体。实际上,土体是一种非均质的、各向异性的多相分散体,是非理想弹性体,
2、采用弹性理论计算土体中应力必然带来计算误差,但对于一般工程,其误差是工程所允许的。但对于许多复杂条件下工程的应力计算,应采用其他更为符合实际的计算方法,如非线性力学理论、数值计算方法等。采用弹性理论虽然同土体的实际情况有差别,但其计算结果基本能满足实际工程的要求,其主要理由如下: 1)土的分散性影响。土是三相组成的分散体,而不是连续介质,土中应力是通过土颗粒间的接触而传递的。但是,由于建筑物基础面积尺寸远远大于土颗粒尺寸,同时研究的也只是计算平面上的平均应力,而不是土颗粒间的接触集中应力。因此可以忽略土分散性的影响,近似地将土体作为连续体考虑,而应用弹性理论。4.1概述概述2)土的非均质性和非
3、理想弹性体的影响。土在形成过程中具有各种结构与构造,使土呈现不均匀性。同时土体也不是一种理想的弹性体,而是一种具有弹塑性或黏滞性的介质。但是,在实际工程中土中应力水平较低,土的应力-应变关系接近于线性关系,可以应用弹性理论方法。因此,当土层间的性质差异不大时,采用弹性理论计算土中应力在实用上是允许的。3)地基土可视为半无限体。半无限体就是无限空间体的一半,即该物体在水平向x轴及y轴的正负方向是无限延伸的,而竖直向z轴仅只在向下的正方向是无限延伸的,向上的负方向等于零。地基土在水平向及深度方向相对于建筑物基础的尺寸而言,可以认为是无限延伸的。因此,可以认为地基土符合半无限体假定。4.1概述概述4
4、.1.2土中一点的应力状态土中一点的应力状态(1)法向应力与剪应力土体中某点M的应力状态,可以用一个正六面单元体上的应力来表示。若半无限土体所采用的直角坐标系如图4-1所示。图4-1土中一点的应力状态4.1概述概述则作用在单元体上的3个法向应力分量为x、y、z,6个剪应力分量为xy=yx、yz=zy、zx=xz。剪应力的脚标前面一个英文字母表示剪应力作用面的法线方向,后一个表示剪应力的作用方向。在土力学中规定法向应力以压应力为正,拉应力为负。剪应力的正负号规定是当剪应力作用面上的法向应力方向与坐标轴的正方向一致时,则剪应力的方向与坐标轴正方向一致时为正, 反之为负。在图4-1所示的法向应力及剪
5、应力均为正。4.1概述概述(2)自重应力与附加应力土中某点的应力按产生的原因分为与两种。由土体重力引起的应力称为自重应力。自重应力一般自土形成时就在土中产生,因此也将它称作为长驻应力。附加应力是指由外荷载(如建筑物荷载、车辆荷载、土中水的渗流力、地震力等)的作用,在土中产生的应力增量。修建建筑物后,土中的应力为自重应力和附加应力之和,称为总应力,即总应力总应力=自重应力自重应力+附加应力附加应力。4.2土中自重应力计算土中自重应力计算假设土体是均匀的半无限体,土体在自身重力作用下任一竖直切面都是对称面,切面上不存在剪应力。因此,在深度z处平面上,土体因自身重力产生的竖向应力cz(简称为自重应力
6、)等于单位面积上土柱体的重力W,如图4-2所示。图4-2均质土的自重应力分布4.2.1均质土体均质土体当地基是均质土体时,在深度z处土的竖向自重应力为 土的重度(kN/m3);z计算深度(m);F土柱体的截面积,现取F=1。从式(4-1)知,自重应力随深度z线性增加,呈三角形分布,如图4-2所示。4.2土中自重应力计算土中自重应力计算4.2.2成层土体成层土体当地基是成层土体时,各土层的厚度为hi,重度为i,在深度z处土的竖向自重应力也等于单位面积上土柱体的重力 即 。如图4-3所示cz=(W1+W2)=1h1+2h2从式(4-2)知,成层土体的自重应力分布是折线形,如图4-3所示。4.2土中
7、自重应力计算土中自重应力计算图4-3成层土的自重应力分布4.2土中自重应力计算土中自重应力计算4.2.3土层中有地下水土层中有地下水计算地下水位以下土的自重应力时,应根据土的性质确定是否需要考虑水的浮力作用。通常水下的砂性土需要考虑浮力作用,黏性土则视其物理状态而定。一般认为,若水下的黏性土液性指数若水下的黏性土液性指数IL1,则土处于流动状态,土颗粒之间存在着大量自由水,此时可以认为土体受到水的浮力作用;若若 IL0,则土处于固体状态,土中自由水受到土颗粒间结合水膜的阻碍不能传递静水压力,认为土体不受水的浮力作用;若若0IL1,故认为黏土层受到水的浮力作用,其浮重度为2=7.1kN/m3土中
8、各点自重应力计算如下:a点,z=0,cz=z=0。b点,z=2m,cz=19kN/m32m=38kPa。c点，z=5m,cz=ihi=68kPa。d点,z=9m,cz=96.4kPa。土层中的自重应力cz分布,如图4-5所示。4.2土中自重应力计算土中自重应力计算图4-5例4-1图4.2土中自重应力计算土中自重应力计算【例4-2】计算如图4-6所示水下地基土中的自重应力。解:水下的粗砂层受到水的浮力作用,其浮重度为=(sat-w)=19.5kN/m3-9.81kN/m3=9.69kN/m3黏土层因为P,IL0,基底压力呈梯形分布,如图4-10a所示。4.3基础底面的压力分布与计算基础底面的压力
9、分布与计算图4-9基底压力分布的简化计算a)中心荷载时b)偏心荷载时图4-10偏心荷载时基底压力分布的几种情况4.3基础底面的压力分布与计算基础底面的压力分布与计算2)当 时,pmax=0,基底压力呈三角形分布,如图4-10b所示。3)当 时,pmax0,即产生拉应力,如图4-10c所示,但基底与土之间不能承受拉应力,这时产生拉应力部分的基底将与土脱开,而不能传递荷载,基底压力将重新分布,如图4-10d所示。4.3基础底面的压力分布与计算基础底面的压力分布与计算假设地基为连续、均匀、各向同性半无限空间弹性体的地基模型。在均匀的、各向同性的半无限弹性体表面,作用一竖向集中力Q,如图4-11所示,
10、计算半无限体内任意点M的应力(不考虑弹性体的体积力)。在弹性理论中由布辛尼斯克(J.V.Boussinesq,1885)解得,其应力及位移的表达式如下:1)当M点应力采用直角坐标表示时,如图4-11所示。法向应力为4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算X、Y、Z轴方向的位移分别为式中x,y,zM点的坐标;E,弹性模量及泊松比。4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算图4-11布辛尼斯克解答(直角坐标表示)4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算2)当M点应力采用极坐
11、标表示时,如图4-12所示。4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算图4-12布辛尼斯克解答(极坐标表示)上述的应力及位移分量计算公式,在集中力作用点处是不适用的,因为当R0时,从上述公式可见应力及位移均趋于无穷大,这时土已发生塑性变形,按弹性理论解得的公式已不适用。4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算在上述应力及位移分量中,应用最多的是竖向法向应力z及竖向位移,因此本章将重点讨论z的计算。为了应用方便,式(4-7)可以写成式(4-21)的形式。式中应力系数,=3/21+(r/z)25/2,它是(r/z)的函数,可制成表格查用。现将应力系数值列于
12、表4-2。4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算表4-2集中力作用下的应力系数值4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算r/zr/zr/zr/zr/z0.000.47750.500.27331.000.08441.500.02512.000.00850.050.47450.550.24661.050.07441.550.02242.200.00580.100.46570.600.22141.100.06581.600.02002.400.00400.150.45160.650.19781.150.05811.650.01792.600.00290.
13、200.43290.700.17621.200.05131.700.01602.800.00210.250.41030.750.15651.250.04541.750.01443.000.00150.300.38490.800.13861.300.04021.800.01293.500.00070.350.35770.850.12261.350.03571.850.01164.000.00040.400.32940.900.10831.400.03171.900.01054.500.00020.450.30110.950.09561.450.02821.950.00955.000.0001图4
14、-13集中力作用下的地面沉降4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算在工程实践中最常遇到的问题是地面竖向位移(即沉降)。计算地面某点A(其坐标为z=0,R=r)的沉降可由式(4-15)求得,如图4-13所示。式中E0土的变形模量(kPa)。土中附加应力是由建筑物荷载引起的应力增量,虽然实践中几乎没有集中力,但应用竖向集中力作用下土中应力计算公式,通过叠加原理或者积分的方法可以得到各种分布荷载作用下土中应力计算公式。4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算【例4-3】在地表面作用集中力Q=200kN,计算地面下深度z=3m处水平面上的竖向法向应力z分布
15、,以及距离Q的作用点r=1m处竖直面上的竖向法向应力z分布。解:各点的竖应力z可按式(4-21)计算,见表4-3及表4-4,绘出z分布图,如图 4-14所示。表4-3z=3m处水平面上竖应力z4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算r/m012345r/z00.330.6711.331.670.4780.3690.1890.0840.0380.017z/kPa10.68.24.21.90.80.4表4-4r=1m处竖直面上竖应力z4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算z/m0123456r/z1.000.500.330.250.200.1700.0
16、840.2730.3690.4100.4330.444z/kPa016.813.78.25.13.52.5图4-14中竖应力z的分布曲线表明,在半无限土体内任一水平面上,随着与集中力作用点距离的增大,z迅速地减小。在不通过集中力作用点的任一竖向剖面上,在土体表面处z=0,随着深度的增加,z逐渐增大,在某一深度处达到最大值,之后又逐渐减小。图4-14竖向集中力作用下土中z分布4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算【例4-4】矩形基础,b=2m,l=4m,作用均布荷载p=10kPa,计算矩形基础中点O下深度z=2m、10m处的竖向应力z。4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖
17、向集中力作用下土中应力计算图4-15基础上的分布荷载用集中力代替解:计算时将基础上的分布荷载用8个等份集中力Qi代替,如图4-15所示。 将基础分成8等份,每等份面积F=(11)m2,则作用在每等份面积上的集中力Qi=pF=10kPa1m2=10kN。各集中力Qi对矩形基础中点O的距离分别为各集中力Qi对基础中点O下深度z=2m及10m处的竖应力z值的计算见表4-5。4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算O点下深度z=2m处的竖向应力z为O点下深度z=10m处的竖向应力z为4.4竖向集中力作用下土中应力计算竖向集中力作用下土中应力计算表4-5zi计算表Qiz/mr/mr
18、/zzi=Qi/2/kPaQ1,4,5,821.5810.7910.1420.36Q2,3,6,720.7070.3530.3560.89Q1,4,5,8101.5810.1580.4490.045Q2,3,6,7100.7070.0710.4710.047在实践中,荷载很少是以集中力的形式作用在土上,而往往是通过基础分布在一定面积上。若基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则若基础底面的形状或基底下的荷载分布不规则,则可以把分布荷载分割为许多集中力,然后应用布辛尼斯克公式和叠加方法计算土中应力。若基础底面的形状及分布荷载有规律若基础底面的形状及分布荷载有规律,则可以应用积分方法解得相应的土中应
19、力。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算若在半无限土体表面作用一分布荷载p(,),如图4-16所示。为了计算土中某点M(x,y,z)的竖应力z,可以在基底范围内取元素面积dF=dd,作用在元素面积上的分布荷载可以用集中力dQ表示,dQ=p(,)dd。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-16分布荷载作用下土中应力计算简图这时土中M点的竖应力z可以用式(4-7)在基底面积范围内进行积分求得,即求解式(4-23)取决于3个边界条件:1)分布荷载p(,)的分布规律及其大小。2)分布荷载的分布面积F的几何形状及其大小。3)应力计算点M的坐
20、标x,y,z。现介绍几种常见的基础底面形状及分布荷载作用时,土中应力的计算公式。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算4.5.1空间问题空间问题若作用的荷载是分布在有限面积范围内,从式(4-23)知,土中应力与计算点的空间坐标(x,y,z)有关,这类解均属空间问题。如前面介绍的集中力作用时的布辛尼斯克解,以及下面讨论的圆形面积和矩形面积分布荷载下的解均为空间问题。1.圆形面积上作用均布荷载时,土中竖向应力z的计算如图4-17所示,圆形面积上作用均布荷载p,计算土中任一点M(r,z)的竖向应力。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-1
21、7圆形面积上均布荷载作用下z计算简图4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算若采用极坐标表示,原点在圆心O。取元素面积dF=dd,其上作用元素荷载dQ=pdF=pdd,由式(4-23)在圆形面积范围内积分求得z。应注意式中的R在图4-17中用R1表示,已知得解式(4-24)得竖向应力z的表达式为4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算c应力系数,它是r/R及z/R的函数,由表4-6查得; R圆形的半径; r应力计算点M到z轴的水平距离。表4-6圆形面积上均布荷载作用下的竖向附加应力系数c4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土
22、中应力计算r/Rz/R00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.00.01.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.500 0.000 0.000 0.000 0.000 0.0000.20.998 0.991 0.987 0.970 0.890 0.468 0.077 0.015 0.005 0.002 0.0010.40.949 0.943 0.920 0.860 0.712 0.435 0.181 0.065 0.026 0.012 0.0060.60.864 0.852 0.813 0.733 0.591 0.400 0.224 0.113 0.0
23、56 0.029 0.0160.80.756 0.742 0.699 0.619 0.504 0.366 0.237 0.142 0.083 0.048 0.0291.00.646 0.633 0.593 0.525 0.434 0.332 0.235 0.157 0.102 0.065 0.042（续）4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算r/Rz/R00.20.40.60.81.01.21.41.61.82.01.20.547 0.535 0.502 0.447 0.377 0.300 0.226 0.162 0.113 0.078 0.0531.40.461
24、0.452 0.425 0.383 0.329 0.270 0.212 0.161 0.118 0.086 0.0621.60.390 0.383 0.362 0.330 0.288 0.243 0.197 0.156 0.120 0.090 0.0681.80.332 0.327 0.311 0.285 0.254 0.218 0.182 0.148 0.118 0.092 0.0722.00.285 0.280 0.268 0.248 0.224 0.196 0.167 0.140 0.114 0.092 0.0742.20.246 0.242 0.233 0.218 0.198 0.17
25、6 0.153 0.131 0.109 0.090 0.0742.40.214 0.211 0.203 0.192 0.176 0.159 0.146 0.122 0.104 0.087 0.0732.60.187 0.185 0.179 0.170 0.158 0.144 0.129 0.113 0.098 0.084 0.0712.80.165 0.163 0.159 0.151 0.141 0.130 0.118 0.105 0.092 0.080 0.0693.00.146 0.145 0.141 0.135 0.127 0.118 0.108 1.097 0.087 0.077 0.
26、0673.40.117 0.116 0.114 0.110 0.105 0.098 0.091 0.084 0.076 0.068 0.0613.80.096 0.095 0.093 0.091 0.087 0.083 0.078 0.073 0.067 0.061 0.0554.20.079 0.079 0.078 0.076 0.073 0.070 0.067 0.063 0.059 0.054 0.0504.60.067 0.067 0.066 0.064 0.063 0.060 0.058 0.055 0.052 0.048 0.0455.00.057 0.057 0.056 0.05
27、5 0.054 0.052 0.050 0.048 0.046 0.043 0.0415.50.048 0.048 0.047 0.046 0.045 0.044 0.043 0.041 0.039 0.038 0.0366.00.040 0.040 0.040 0.039 0.039 0.038 0.037 0.036 0.034 0.033 0.031【例4-5】有一圆形基础,半径R=1m,其上作用中心荷载Q=200kN,求基础边缘点下的竖向应力z分布。将计算结果与例4-3中把Q作为集中力作用时的计算结果(表4-4)进行比较。解:基础底面的压力为圆形基础边缘点下的竖向应力z按式(4-25)
28、计算,即z=cp,计算结果列于表4-7。在表中同时列出了例4-3中表4-4的结果。对比表中两种计算结果可以看到,当深度z4m后,两种计算的结果已相差很小。由此说明, 当z/2R2后,荷载分布形式对土中应力分布的影响已不显著。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算表4-7圆形面积边缘点下竖向应力z计算4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算z/m集中力Q作用时圆形面积均布荷载力p作用时z/kPacz=cp/kPa0000.50031.80.50.00856.80.41826.61.00.08416.80.33221.12.00.27313.7
29、0.19612.53.00.3698.20.1187.54.00.4105.10.0774.96.00.4442.50.0382.42.矩形面积均布荷载作用时土中竖向应力z计算(1)矩形面积上均布荷载作用时中心点O下土中竖向应力z计算如图4-18所示在地基表面lb矩形面积上作用均布荷载p,计算矩形面积中心点O下深度z处M点的竖向应力z。由式(4-23)解得4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算式中,应力系数0为0是n=l/b和m=z/b的函数,可由表4-8查得。(2)矩形面积上均布荷载作用时角点c下土中竖向应力z计算如图4-18所示均布荷载p作用下,计算矩形面积角点
30、c下深度z处N点的竖向应力z时,同样可以由式(4-23)解得4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算式中,应力系数aa是n=l/b和m=z/b的函数,可由表4-9查得。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算(3)矩形面积上均布荷载作用时土中任意点竖向应力z计算角点法如图4-19所示,在矩形面积abcd上作用均布荷载p, 计算土中任意点M的竖向应力z。 M点既不在矩形面积中点下面,也不在角点下面,而是任意点。M点的竖直投影点A可以在矩形面积abcd范围之内,也可能在范围之外。这时可以应用式(4-27)按下述叠加方法进行计算,这种计算方法一般称
31、为角点法。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-18矩形面积均布荷载作用下中点及角点竖向应力z计算简图4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-19角点法1)若A点在矩形面积范围内,如图4-19a所示,计算时可以通过A点将荷载作用面积abcd划分为4个小矩形面积aeAh、ebfA、hAgd及Afcg。这时A点分别在4个小矩形面积的角点,这样就可以用式(4-27)分别计算4个小矩形面积均布荷载作用时,在角点下引起的竖向应力zi,再叠加即得4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算2)若A点在矩形面积范围之外,
32、如图4-19b所示,计算时可以按图4-19b的划分方法,分别计算矩形面积aeAh、beAg、dfAh及cfAg在角点A下引起的竖向应力zi,然后按下述叠加方法计算,即【例4-6】有一矩形面积基础b=4m、l=6m,其上作用均布荷载p=100kN/m2,计算矩形基础中心点O下深度z=8m处M点的竖向应力z,如图4-20所示。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算解:按式(4-26)计算z,即由表4-8插值得应力系数0=0.153。由式(4-26)得z=0.153100kN/m2=15.3kPa【例4-7】用角点法计算例4-6中M点的竖向应力z。解:将矩形面积abcd通
33、过中心点O划分成4个相等的小矩形面积,即afOe、Ofbg、eOhd及Ogch,如图4-20所示,M点位于4个小矩形面积的角点下,可按式(4-27)用角点法计算M点的竖向应力z。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算对于矩形面积afOe,已知n=l1/b1=3/2=1.5,m=z/b1=8/2=4,由表4-9插值得应力系数a=0.038,故z=4z(afOe)=40.038100kN/m2=15.2kPa按角点法计算结果与例4-6计算结果一致。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-20例4-6、例4-7、例4-8图【例4-8】求例4
34、-6矩形基础外k点下深度z=6m处N点竖向应力z,如图4-20所示。解:如图4-20所示,将k点置于假设的均布荷载作用时矩形面积的角点处,按角点法计算N点的竖向应力。N点的竖向应力是由均布荷载作用时矩形面积ajki与iksd引起的竖向应力之和减去均布荷载作用时矩形面积bjkr与rksc引起的竖向应力。即z=z(ajki)+z(iksd)-z(bjkr)-z(rksc)用角点法计算均布荷载作用时N点竖向应力系数a,结果见表4-10。则N点竖向应力为z=100kN/m2(0.131+0.051-0.084-0.035) = 100kN/m2 0.063=6.3kPa4.5竖向分布荷载作用下土中应力
35、计算竖向分布荷载作用下土中应力计算3.矩形面积上作用三角形分布荷载时土中竖向应力z计算4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算表4-10用角点法计算均布荷载作用时N点竖向应力系数a荷载作用面积n=l/bm=z/baajki9/3=36/3=20.131iksd9/1=96/1=60.051bjkr3/3=16/3=20.084rksc3/1=36/1=60.035图4-21矩形面积上三角形分布荷载作用下z计算简图如图4-21所示,在地基表面矩形面积(lb)上作用三角形分布荷载,计算荷载为零的角点下深度z处M点的竖向应力z时,同样可以用式(4-23)求解。将坐标原点取在
36、荷载为零的角点上,Z轴通过M点。取元素面积dF=dxdy,其上作用元素集中力dQ=(x/b)pdxdy,则4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算式中,应力系数t为它是m=z/b、n=l/b的函数,可由表4-11查得。应注意上述b值不是指基础的宽度,而是指三角形荷载分布方向的基础边长。如图4-21所示。【例4-9】如图4-22所示,有一矩形面积三角形分布的荷载作用在地基表面,荷载最大值p=100kPa,计算在矩形面积内O点下深度z=3m处M点的竖向应力z。解:本题求解时要通过两次叠加法计算。第一次是荷载作用面积的叠加,即角点法。第二次是荷载分布图形的叠加。4.5竖向分
37、布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算(1)荷载作用面积叠加计算因为O点在矩形面积abcd内,可用角点法计算。如图4-22a、b所示,通过O点将矩形面积划分为4块,假定其上作用着均布荷载q,如图4-22c所示中荷载DABE,则M点产生的竖向应力zi可用角点法计算,即z1=z1i=z1(aeOh)+z1(ebfO)+z1(Ofcg)+z1(hOgd)=q(a1+a2+a3+a4)式中a1,a2,a3,a4各均布矩形荷载作用时角点下竖向附加应力系数,由表4-9查得,结果列于表4-12。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-22例4-9图4.5竖向分
38、布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算表4-12各矩形面积应力系数ai计算编号荷载作用面积n=l/bm=z/bai1aeOh1/1=13/1=30.0452ebfO4/1=43/1=30.0933Ofcg4/2=23/2=1.50.1564hOgd2/1=23/1=30.073(2)荷载分布图形叠加计算上述角点法求得的应力zi是均布荷载q引起,但实际作用的荷载是三角形分布,因此可以将图4-22c所示的三角形分布荷载ABC分割成三块:均布荷载DABE、三角形荷载AFD及CFE。三角形荷载ABC等于均布荷载DABE减去三角形荷载AFD, 加上三角形荷载CFE。故可将此三块分布荷载产
39、生的应力叠加计算。三角形分布荷载AFD,其最大值为q,作用在矩形面积aeOh及ebfO上,并且O点在荷载零点处。因此它对M点引起的竖向应力z2是两块矩形面积三角形分布荷载引起的应力之和,可按式(4-28)计算,即4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算z2=z2(aeOh)+z2(ebfO)=q(t1+t2)式中t1,t2两块矩形面积三角形分布荷载的应力系数,由表4-11查得,结果列于表4-13。表4-13应力系数ti计算4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算编号荷载作用面积n=l/bm=z/bti1aeOh1/1=13/1=30.0212
40、ebfO4/1=43/1=30.0453Ofcg4/2=23/2=1.50.0694hOgd1/2=0.53/2=1.50.032三角形分布荷载CFE,其最大值为(p-q),作用在矩形面积Ofcg及hOgd上,同样O点也在荷载零点处。因此,它对M点产生的竖向应力z3是这两块矩形面积三角形分布荷载引起的应力之和,可按式(4-28)计算,即z3=z3(Ofcg)+z3(hOgd)=(p-q)(t3+t4)式中t3,t4两块矩形面积三角形分布荷载的应力系数,由表4-11查得,结果列于表4-13。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算最后叠加求得三角形分布荷载ABC对M点产
41、生的竖向应力z为z=z1-z2+z3=(12.2-2.2+6.7)kPa=16.7kPa4.5.2平面问题若在半无限弹性体表面作用无限长条形的分布荷载,荷载在宽度的方向分布是任意的,但在长度方向的分布规律是相同的,如图4-23所示。在计算土中任一点M的应力时,只与该点的平面坐标(x,z)有关,而与荷载长度方向Y轴坐标无关,这种情况属于平面应变问题。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-23无限长条分布荷载4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算1.均布线荷载作用时土中应力计算在地基土表面作用无限分布的均布线荷载p,如图4-23所示,计
42、算土中任一点M的应力时,可以用布辛尼斯克公式(4-7)式(4-12)积分求得,即4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算式(4-29)式(4-31)在弹性理论中称为弗拉曼( F l a m a n t ) 解 。 若 用 极 坐 标 表 示 , 如 图 4 - 2 4 所示,z=R0cos,x=R0sin,代入式(4-29)式(4-31)得4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-24均布线荷载作用时土中应力计算4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算2.均布条形荷载作用下土中应力z计算(1)计算土中任一点的竖向
43、应力z在土体表面作用均布条形荷载p,其分布宽度为b,如图4-25所示,计算土中任一点 M(x,z)的竖向应力z时,可以将弗拉曼公式(4-29)在荷载分布宽度b范围内积分求得。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算式中u应力系数,它是n=x/b及m=z/b的函数,从表4-14中查得。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-25均布条形荷载作用下土中应力z计算图注意坐标轴的原点是在均布荷载的中点处。若采用如图4-26所示的极坐标表示,从M点到荷载边缘的连线与竖直线间的夹角分别为1和2, 其符号规定是,从竖直线MN到连线逆时针转时为正,反之
44、为负。图4-26中的1和2均为正值。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-26均布条形荷载作用时土中应力z计算(极坐标表示)图取元素荷载宽度dx,可知利用极坐标表示的弗拉曼式(4-32)式(4-34),在荷载分布宽度范围内积分,即可求得M点的应力表达式为4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算(2)土中任一点的主应力计算如图4-27所示,在土体表面作用均布条形荷载p,计算土中任一点M的最大、最小主应力1和3时,可以用材料力学中有关主应力与法向应力及剪应力之间的关系式计算,即式中最大主应力的作用方向与竖直线间的夹角。4.5竖向分布荷载作
45、用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算将式(4-36)式(4-38)代入式(4-40),即得M点的主应力表达式及其作用方向。若令从M点到荷载宽度边缘连线的夹角为2(一般也称视角),则从图4-27可得2=1-2(4-43)4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算由式(4-42)知,最大主应力1的作用方向恰好在视角2的等分线上,如图4-27所示。将式(4-43)代入式(4-41),可得用视角表示的M点主应力表达式从式(4-44)看到,式中仅有一个变量,土中凡视角2相等的点,其主应力也相等。因此,土中主应力的等值线将是通过荷载分布宽度两个边缘点的圆,如图4-27所示
46、。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-27均布条形荷载作用下土中主应力计算4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算3.三角形分布条形荷载作用时土中应力计算在地基表面作用三角形分布条形荷载,如图4-28所示,其最大值为p,计算土中M点(x,z)的竖向应力z时,可按式(4-28)在宽度b范围内积分。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算z=sp(4-45)式中s应力系数,它是n=x/b及m=z/b的函数,可由表4-15查得。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-28三角形分布
47、条形荷载作用下土中竖向应力z计算【例4-10】有一路堤如图4-29a所示,已知填土重度=20k/m3,求路堤中线下O点z=0及M点z=10m的竖向应力z。解:路堤填土重力产生的荷载为梯形分布,如图4-29b所示,其最大强度 p=H=20kN/m35m=100kPa。将梯形荷载abcd分解为两个三角形荷载ebc及ead之差,这样就可以用式(4-45)进行叠加计算。其中q为三角形荷载eaf的最大强度,可按三角形比例关系求得q=p=100kPa应力系数s1、s2可由表4-15查得,将其结果列于表4-16中。4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算图4-29例4-10图4.5
48、竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算表4-16应力系数si4.5竖向分布荷载作用下土中应力计算竖向分布荷载作用下土中应力计算编号荷载分布面积O点(z=0)M点(z=10m)sisi1ebo10/10=100.50010/10=10.2412eaf5/5=100.50010/5=20.153故得O点的竖向应力z为M点的竖向应力z为4.6.1有效应力原理4.6有效应力概念有效应力概念图4-30土中两种应力试验有甲乙两个完全相同的量筒,如图4-30所示,在这两个量筒的底部分别放置一层性质完全相同的松散砂土。在甲量筒松砂顶面加若干钢球,使松砂表面承受压力P,此时可见松砂顶面下降
49、,表明松砂发生压缩,亦即砂土的孔隙比e减小。乙量筒松砂顶面不加钢球,而是小心缓慢地注水,水面在砂面以上高h处时恰好使砂层表面也增加压力P,结果发现砂层顶面并不下降,这主要是土中两种应力引起的。4.6有效应力概念有效应力概念在土中某点截取一水平截面,其面积为F,截面上作用应力,如图4-31a所示,它是由上面的土体重力、静水压力及外荷载P所产生的应力,称为总应力。该应力一部分是由土颗粒间的接触面承担,称为有效应力;另一部分是由土体孔隙内的水及气体承担,称为孔隙应力(也称孔隙压力)。4.6有效应力概念有效应力概念图4-31有效应力考虑如图4-31b所示的土体平衡条件,沿a-a截面取脱离体,a-a截面
50、是沿着土颗粒间接触面截取的曲线状截面,在此截面上土颗粒接触面间作用的法向应力为s,各土颗粒间接触面积之和为Fs, 孔隙内的水压力为uw,气体压力为ua, 其相应的面积为Fw及Fa,由此可建立平衡条件F=sFs+uwFw+uaFa(4-46)对于饱和土,式(4-46)的ua、Fa均等于零,则式(4-46)可写成F=sFs+uwFw=sFs+uw(F-Fs)或4.6有效应力概念有效应力概念由于颗粒间的接触面积Fs很小,毕肖普及伊尔定(Bishop and Eldin,1950)根据粒状土试验认为Fs/F一般小于0.03,有可能小于0.01。因此,式(4-47)中Fs/F可略去不计,此时式(4-47
