1、第五章 变形驱动力反演 弹性体的体积域可用V域表示，弹性体的整个边界用s表示。根据边界上的位移和力的信息的了解情况，边界S又分为力的边界S与位移边界S。 弹性力学平面问题的求解思路是：首先对分析域进行单元剖分，对每一个单元建立以单元节点位移为参数的位移插值函数，使得单元内任意一点处的位移可由单元节点位移内插值求得。根据几何方程和物理方程，可由位移插值函数求得单元内任意一点处的应变和应力。 一般采用平面三角形单元的有限元格式对分析域进行剖分。设将分析域剖分成n个三角形单元（如下图）。三角形的单元节点编码为i、j、k，以逆时针编码为正向。每个节点有2个位移分量（如下图），其表达形式为：一、分析域的
2、单元剖分分析域的单元剖分 kjivuaiii分析域的三角形单元划分单元节点位移分量 在后面的叙述中，为避免重复地列出下标不同但形式一样的表达式，采用在表达式后附以下标轮换的标注（i，j，k），它表示当对表达式中的下标进行轮换ijki，表达式仍然成立。每个单元6个节点位移，如下式：一、分析域的单元剖分分析域的单元剖分 Tkkjjiikjievuvuvuaaaa 由最小位能原理可知，真实位移是使得总位能p最小的位移：其中?为整个边界；t是弹性体厚度；f是作用在弹性体内的体积力；T是作用在弹性体边界上的面积力。将上式积分分别在各单元求积并求和，得到：其中a是结构节点位移向量；P称为结构节点荷载向量；
3、K为结构刚度矩阵。按照变分原理，可得到结构平衡方程：二、按最小位能原理建立有限元方程按最小位能原理建立有限元方程 STTTpTtdsuftdxdyutdxdyDee21PaKaaTTp21PKa 单元刚度矩阵的形式为：三、单元刚度矩阵和单元等效节点荷载单元刚度矩阵和单元等效节点荷载单元刚度矩阵单元刚度矩阵kkkjkijkjjjiikijiiTeKKKKKKKKKDBtABK单元等效节点荷载单元等效节点荷载 单元等效节点荷载Pe是单元内部的体积力f和作用在单元边界上的边界力T在单元节点上的等效力。三、单元刚度矩阵和单元等效节点荷载单元刚度矩阵和单元等效节点荷载单元等效节点荷载单元等效节点荷载 若
4、单元的受力如下图所示，这里只有一条边是区域边界的情形。eeSTeSTefeSefeTtdsNPftdxdyNPPPP单元体积力和边界力及其单元等效节点荷载三、单元刚度矩阵和单元等效节点荷载单元刚度矩阵和单元等效节点荷载单元等效节点荷载可展开表达为：节点i：ikeikeikelyiyilxixilTiTiiyixeidsTNdxdyfNdsTNdxdyfNTtdsNftdxdyNPPP节点k：ikeikeikelykyklxkxklTkTkkykxekdsTNdxdyfNdsTNdxdyfNTtdsNftdxdyNPPP节点j：dxdyfNdxdyfNftdxdyNPPPyjxjTjiyixei
5、eee四、平面有限元问题的求解步骤平面有限元问题的求解步骤对分析域进行单元剖分；构造每个单元的单元刚度矩阵并计算单元等效节点荷载；构造结构刚度矩阵和结构等效节点荷载；求解节点平衡方程；计算各单元的应变和应力。 由5.2可知，可以通过弹性体的物理力学性质参数、几何参数和荷载状态求变形和应力。反之，也可根据弹性体的物理力学参数、几何参数和荷载状态或应力观测值，求荷载的分布，这叫驱动力反演。 本章提出直接根据有限元方法的驱动力反演方法，它可同时反演边界力和体积力的分布。先讨论基于弹性力学平面问题的驱动力反演方法。 首先以变形观测点为节点将分析域划分成三角单元格式，然后构造单元刚度矩阵K。节点位移已由
6、变形观测得到所以节点等效荷载P：P=Ka。一、计算结构等效节点荷载计算结构等效节点荷载 二、计算边界力及其等效节点荷载计算边界力及其等效节点荷载 边界力可由边界单元的节点位移求得。在分析域的边界上，边界力可由边界上的应力求得。)cos(sin2xykixkikikxixtSPP)cos(sin2xkixykikikyiytSPP三、体积力的等效节点荷载和体积力反演体积力的等效节点荷载和体积力反演等效节点荷载P包含两部分： 体积力的等效节点荷载；eSTefTfPGPPGP边界力的等效节点荷载；四、驱动力反演步骤驱动力反演步骤单元剖分；构造整体刚度矩阵；计算结构等效节点荷载；计算边界力及其等效节点
7、荷载；计算体积力的等效节点荷载；计算体积力分布。五、在地壳驱动力反演中的应用驱动力反演中的应用 地球科学研究已经证明，地壳的变形和运动衣水平为主，所以在分析局部地壳变形时，可以将地壳的水平变形的求解问题作为平面应力问题处理。结构等效节点荷载的计算 结构等效节点荷载计算不仅是驱动力分布反演的第一步，它的计算结果，即结构等效节点荷载，对于变形分析具有实际意义。下表列出了结构等效节点计算结果。五、在地壳驱动力反演中的应用驱动力反演中的应用结构、边界力和体积力等效节点荷载的反演结果五、在地壳驱动力反演中的应用驱动力反演中的应用边界力的分布及其等效节点载荷 体积力及其等效节点荷载是结构等效节点荷载与边界
8、力的等效节点荷载的差值。单元内部各点上的体积力是由单元节点上的体积力插值求得。地幔驱动力具有比较明显的空间结构，其主要形式有：斡旋结构和带状结构。体积力及其等效节点载荷 当要反演的驱动力是三维驱动力，或者变形体的受力状况与平面应力或平面应变假设差距较大时，就需要进行三维反演，也就是基于空间问题来求变形的驱动力。一、弹性力学空间问题的有限单元方法弹性力学空间问题的有限单元方法 主要思路单元形式；单元位移函数；单元应变和单元应力；单元刚度矩阵；单元等效节点荷载。二、驱动力的三维反演驱动力的三维反演 计算内容单元剖分；构成结构刚度矩阵；计算重力的等效节点荷载；计算垂直边界的边界力及其结构等效节点荷载；底部边界力函数。三、底部节点上等效节点荷载计算底部节点上等效节点荷载计算22111111222121*)(TgTgTPPaKPPKKaKP其中，a1代表地面节点的位移；P1g代表等效节点荷载；P2g代表变形体底部等效节点荷载；四、底部驱动力的反演底部驱动力的反演*)(SsSTTPTGNdsNG五、驱动力三维反演步骤驱动力三维反演步骤单元剖分；构造结构刚度矩阵；计算重力的等效节点荷载；计算垂直边界上的驱动力及其结构等效节点荷载；计算底部边界力的结构等效节点荷载；计算底部节点驱动力向量Ts；按照插值函数计算底部驱动力。
