1、1 针对用梯度法设计模型参考自适应控制系统稳定性得不到保证的问题，有人提出基于李雅普诺夫稳定性理论设计模型参考自适应控制系统，如 Butchart (1965）、Parks (1966）。所以有必要回顾动态系统的稳定性概念和定理，以作为后续学习内容的准备知识。5.3.1 李雅普诺夫稳定性理论概要李雅普诺夫稳定性理论概要 响应运动稳定性可分为基于输入/输出描述的外部稳定性和基于状态空间描述的内部稳定性。外部稳定性是一种零初始条件下的有界输入 / 有界输出（Bounded-input, Bounded-output）稳定性。内部稳定性是零输入条件下自治系统状态运动的稳定性，它等同于李雅普诺夫意义下
2、的渐近稳定性。外部稳定性与内部稳定性之间有十分紧密的联系，一般说来，内部稳定性决定外部稳定性。 1892年，李雅普诺夫（A. M. Lyapunov）提出了运动稳定性的一般理论，2即稳定性分析的第一方法和第二方法。第一方法将非线性自治系统运动方程在足够小的邻域内进行泰勒展开，导出一次近似线性化系统，再根据线性系统特征值在复平面上的分布推断非线性系统在邻域内的稳定性；第二方法引入具有广义能量属性的李雅普诺夫函数，并分析其函数的定号性，建立判断系统稳定性的相应结论。它在1960年前后被引入控制理论界，并很快成为研究系统稳定性的主要工具，本节介绍李雅普诺夫第二方法。 设自治系统状态方程的解为：式中，
3、 为系统初始条件， 为初始时刻， 为状态向量。 如果系统某一状态对所有时刻均满足 00( , ),( ) ,)ftttt xxxx ,(5-30)00( ,)ttxx , 0 x0txe(, )0ft x则称状态 为式（5-30）所示系统的平衡状态。ex3 定义5-3-1 如果对任意一个实数 ，均对应存在另一依赖于 和 的实数 ，使满足以下不等式的任一初始状态 出发的所有解 都满足则称式（5-30）表示的系统的平衡状态 在时刻 为李雅普诺夫意义下的稳定。如果 与 无关，则称为李雅普诺夫意义下一致稳定。 几何意义：初始状态 不越出平衡状态 的邻域，相应解 不越出平衡状态 的 邻域，那么 是稳定的
4、，如图5-4所示。 定义5-3-2 若式（5-30）所示系统的平衡状态 满足 （1） 在 时刻为李雅普诺夫意义下稳定； （2）存在 ， 使满足00t0( ,)0t 0e0( ,)t xx0 x0 x00( ,)txt 00e0( ,),ttttxx e 0 x0t00tex00( ,)ttx exexexe 0 x00t 0( ,)0t 0e0( ,)t xx的初始状态 出发的所有解 均有00( ,)t xt 0 x4则称平衡状态 是李雅普诺夫意义下渐近稳定的。假若 与 无关，则称其为李雅普诺夫意义下一致渐近稳定。 几何意义： 的 领域内出发的运动轨线 最终均趋于平衡状态如图5-5所示。00e
5、lim( ,)0ttt xxex( )0 0tex00( ,)t xt ex0 xex0 xex0 xex 图5-4 图5-5 图5-6 定义定义5-3-3 式（5.30）表示的系统的平衡状态 对于任一位于状态空间的初始状态 ，若满足ex0 x5 （1） 为李雅普诺夫意义下稳定； （2）则称平衡状态 是李雅普诺夫意义下全局（或大范围）渐近稳定。 定义5-3-4 如果不论取实数 为多大，均不存在一个实数 ，使得满足不等式的任意初始状态 出发的解 满足不等式：则称式（5-30）表示的平衡状态 在时刻 为不稳定。其几何意义如图5-6所示。 实质上，李雅普诺夫意义下渐近稳定与工程意义下的稳定是等价的，
6、李雅普诺夫意义下不稳定等同于工程意义下的发散不稳定。 有了李雅普诺夫意义下的稳定概念之后，余下的问题是如何判定一个系统在e 0 x00lim( ,)0etttxx ex00( ,)0t 0e0( ,)t xx0 x00( ,)t xt 00e0( ,),ttttxx e 0 x0t6平衡点的稳定性。李雅普诺夫第二方法主要定理是判定的主要工具。它借助能量的特性来研究系统稳定性，即系统运动总是随能量变化的，如果系统能量变化始终为负，运动中单调减小，那么系统受扰运动最后回到平衡状态。下面不加证明地给出系统稳定性判定定理。 定理定理5-3-1 对式（5-30）所表示的系统，若可构造一个标量函数 ，且对
7、状态空间中所有非零状态点满足以下条件： （1） 是正定的，即 ； （2） 是非正定的，即 ；则系统的原点平衡状态 在李雅普诺夫意义下是稳定的。除了以上条件外，如果亦满足，则 是全局稳定的。 定理定理5-3-2 对式（5-30）所示的系统，若可构造一个标量函数 ，且对( ,)Vtx( ,)Vtx( ,)0Vt xd/ dVtd/ d0Vte 0 x( , )Vtxx ,e 0 x( , )Vtx7状态空间中所有非零状态点满足以下条件： （1） 是正定的； （2） 是负定的，则系统的原点平衡状态 是渐近稳定的。除了以上条件外，如果亦满足，则 是全局渐近稳定的。 定理定理5-3-3 对式（5-30）
8、描述的系统，若可构造一个对时间具有连续一阶偏导的标量函数 ，以及围绕状态空间原点的一个吸引区，使对 状态有 （1） 正定； （2） 非正定； （3）在任意起于 的运动轨线上，使所有 不恒为零；则该系统是平衡状态渐近稳定的。如果满足则 是全局渐近稳定的。( , )Vtxd/dVte 0 x( , )Vtxx ,e 0 x( , )Vtx 0 x( , )Vtxd/dVt 0 x( , )Vtx( , )Vtxx , 0 x8 定理定理5-3-4 设线性定常连续系统的运动方程为式中，x 为 维状态向量；A为 非奇异矩阵。其平衡点 是全局渐近稳定的充分必要条件为：对任意给定的正定对称矩阵Q，存在一个
9、正定对称矩阵 P，并满足下列李雅普诺夫矩阵方程 xAxnnne 0 xT A PPAQ定理5-3-5 设非线性系统的运动方程为 eAeBr TT RB Per (5-32)(5-33)式中，e为n维向量；r为 维向量；A、B和 分别为 、 和 满秩矩阵；R、P分别为 、 正定对称矩阵。 假若 正定对称矩阵 Q 和 P 满足下列方程则该系统平衡点 、 是稳定的。若r是 个或更多不同频率的分量组成，lnnnmmlmmnnT A PPAQnn 0e 0 l9那么平衡点是渐近稳定的。 证明：证明：选取李雅普诺夫函数为式中，tr (x)是矩阵“ x ”的迹（trace），它表示矩阵对角元之和；R、P为正
10、定对称矩阵。 TT11tr()02Ve PeR (5-34)TTT1T1d1tr()tr()d2Vte Pee PeRR 将式（5-32）代入并整理，有根据矩阵迹的性质： 和 ，有以及TTTTTTT1T1d1()tr()tr()d2VetePAA PrB Pee PBrRR TtrtrAATTTtr()tr()x Axx Axx x AT1T1tr()tr()RR TTT1TTT1d11tr()tr()tr()d22Vt e Qee PBrRe Qee PBrR TTT11tr()tr()2 e Qere PBR 10将式（5-33）代入上式变为由定理5-3-1知，平衡点 、 是稳定的。 考察
11、沿运动轨线上 的情况。 令 ，由式（5-35）知代入式（5-32）有 。由于B为满秩，从而应有： 若r是由 个不同频率的分量构成的，则各分量 是线性无关的，这里从而由式（5-36）应有即只有在平衡点 、 处，才有 ，由定理5-3-3知，系统在平衡点Td10d2Vt e Qe(5-35) 0e 0 0V ()0Ve, 0 ,0ee0Br 0r (5-36)lirT12lrrrr 0 0e 0 ()0Ve, 11处渐近稳定。 Barbalat定理定理: 若为一致连续函数，并且 （有界），则有 推论：推论：如果 、 （有界），并且 (即 平方可积)，则有 证明：证明：令 ，由于 ，则 是一致连续的，
12、又由于 ，所以0lim( ) dttflim( )0tf t( )g t( )g tL2( )g tL( )g tlim( )0tg t2( )( )f tgt( )( )g tg tL、( )f t2( )g tL200( )d( )dgttf ttRe (j )0h( )h sjs( )h sRe( )0s Re (j )0h( )h s15例例5.3.1 考察下列有理函数的正实性：1(1)( ),01h sTTs；122121(2)( ),01h sTTT sT s 解：解：（1）当s为实数时， 也为实数。 在 域内解析，令 ，则有( )h s( )h sRe( )0s sj2211()
13、(1)jh jTT221Re (j )01hT从而，有由定义5-3-6知，它为严格正实函数。 （2）当s为实数时， 为实数，且它在 域解析，令 ，则有 ( )h sRe( )0s sj2211()(1)jh jTT从而有222 22211Re (j )(1)()ThTT16很明显，当 时， ，所以 为非正实函数。定理定理 5-3-6 若 为互质的正实函数，则 （1） 和 是实系数多项式； （2） 和 的所有零点在 域内； （3） 也是正实函数； （4） 和 的阶数之差不超过1。 注意该定理为必要条件。 定理定理5-3-7 线性连续时间系统221/TRe (j )0hj ,jss( )h sTTT1T1TT1T1( )( )()()()()h shsssssbIAccIAbbIAPbb PIAb20TT11TT1T1TT11TT11()()() ()() ()()()()()()ssssssssssssbIAPPIAbbIAPIAIAPIAbbIAQIAbbIAPIAb 在 区域，上式右边第一项非负，第二项中 ，所以有 从而于是充分性得证。 顺便提及：对于离散系统的情况，有与连续系统完全平行的定义和定理，不过它所在平面是z平面，而不是s平面。两者之间通过下式建立联系Re( )0s 20ssT( )( )( )( )0h shsh sh sRe (j )0h1111zsszzs或
