1、4.5用拉普拉斯变换法分析电路、s域元件模型主要内容用拉氏变换法分析电路的步骤用拉氏变换法分析电路的步骤微分方程的拉氏变换微分方程的拉氏变换利用元件的利用元件的s域模型分析电路域模型分析电路一.用拉氏变换法分析电路的步骤列列s域方程（可以从两方面入手）域方程（可以从两方面入手） 列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换；列时域微分方程，用微积分性质求拉氏变换； 直接按电路的直接按电路的s域模型建立代数方程。域模型建立代数方程。求解求解s域方程。域方程。)()(tfsF，得到时域解答。，得到时域解答。二微分方程的拉氏变换 )0()(d)(d fssFttfL )0()0()( )0(0d)(d22
2、2 fsfsFsffssFsttfL 我们采用我们采用0-系统求解瞬态电路，简便起见，只要知系统求解瞬态电路，简便起见，只要知道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，道起始状态，就可以利用元件值和元件的起始状态，求出元件的求出元件的s域模型。域模型。 。求求已知已知tvtvtEtEteRC, 0 0 )( )(teRC )(tvC )(tvR)(tiC例4-5-1求起始状态求起始状态(1) EvC 0 0)2( t列方程列方程换换等式两边取单边拉氏变等式两边取单边拉氏变 )3( ? tvC求求EtetvttvRCCC )()(d)(d sEsVvssVRCCCC )()0()(（4）求反
3、变换）求反变换t tvCEOE RCssE1210)( e2)( tEEtvRCtC所以所以;0)(EEtvC充电到充电到的的从从 均可。均可。和和换路定则，采用换路定则，采用符合符合和和时，其时，其在求在求 00 00 )(tvCRCSRCvsEsVCC 1)0()(所以所以 RCsssRCE11求ttettvtvRCRRd)(dd)(d)(1 ? tvR)()(d)(1 tetvtRtvCRtR 系系统统也也可可以以采采用用系系统统求求解解时时可可以以采采用用 0 ,0 EvvRR2)0(, 0)0(1 ）（ )()2(为为变变量量列列微微分分方方程程以以tvR采用采用0 0- -系统系统
4、采用采用0 0+ +系统系统两种方法结果一致。两种方法结果一致。使用使用0-系统使分析各过程简化。系统使分析各过程简化。)(teRC )(tvC )(tvR)(tiCttettvtvRCRRd)(dd)(d)(1 )()()e(tEutEut 因为因为)(2d)e(dtEtt 所以所以EvssVsVRCRRR2)0()()(1 00 RvRCsEsVR12)( 所以所以 0 e2)( tEtvRCtR所以所以(3)对微分方程两边取拉氏变换对微分方程两边取拉氏变换 采用0-系统t tvRE2O采用0+系统 EvR20 02)()(1 EssVsVRCRR0d)(d tte 处处理理按按）此此时时
5、（ 03te(4)原方程取拉氏变换原方程取拉氏变换ttettvtvRCRRd)(dd)(d)(1 三.利用元件的s域模型分析电路1.电路元件的s域模型 2.电路定理的推广 线性稳态电路分析的各种方法都适用。线性稳态电路分析的各种方法都适用。),()(sIti)()(sVtv 0)(0)(:KCLsIti 0)(0)(:KVLsVtv3.求响应的步骤 画画0- -等效电路，求起始状态；等效电路，求起始状态；画画s域等效模型；域等效模型；列列s域方程（代数方程）；域方程（代数方程）；解解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或或I(s)；拉氏反变换求拉氏反变换求v(t)或或
6、i(t)。电阻元件的s域模型)()(sRIsVRR RsVsIRR)()( 或或R )(sVR)(sIR tRitvRR 电感元件的s域模型)0()()( LLLLiLssIsV利用电源转换可以得到电流源形式的利用电源转换可以得到电流源形式的s域模型：域模型： )0(1)()( LLLisLssVsI sVL sILLs 0LLi sILLs 01Lis sVL ttiLtvLLdd 电容元件的s域模型)0(11)()( CCCvssCsIsV电流源形式：电流源形式：sC1 01Cvs sIC sVC sICsC1 0CCv sVC tCCtiCtvd1 )0()()( CCCCvssCVsI
7、求响应的步骤 画画0- -等效电路，求起始状态；等效电路，求起始状态；画画s域等效模型；域等效模型；列列s域方程（代数方程）；域方程（代数方程）；解解s域方程，求出响应的拉氏变换域方程，求出响应的拉氏变换V(s)或或I(s)；拉氏反变换求拉氏反变换求v(t)或或i(t)。例例4-5-2例例4-5-3例例4-5-2 ? 0 0 )( tvstEtEteC域模型求域模型求利用利用已知已知)(teRC )(tvC)(tiC)()()(tEutEute EvC )0(sEsEsCRsIC 1)(列列s域方程域方程:sERsC1 )(sVC)(sICsE sCRsEsIC12)( 所以所以sEsCsIs
8、VCC 1)()(RCsEsEsVC12)( 0 e1)( tEtvRCtCt tvCEOE 结果同结果同例例4-5-1例4-5-3 波形波形求电流求电流电源电源闭合，接入直流闭合，接入直流式开关式开关，为为下图所示电路起始状态下图所示电路起始状态tiEt,S00 SLCRE tiLssC1RsE sI(1) V00A,00 CLvi起始状态为起始状态为(2)域等效模型域等效模型的的st0 (3) 列方程列方程 sEsICssRIsLsI 1解：解：极点 sEsICssRIsLsI 1 LCsLRsLEsCRLssEsI1112：极极点点2,1ppLCRLRLp12221 LCRLRLp122
9、22 故故 211pspsLEsI 2121111pspsppLE逆变换 tptpppLEti21ee21 设设LCLR1,20 则则20222021,pp 回路回路无损耗的无损耗的，第一种情况：第一种情况：LC0 LCQR2Q00回路，回路，的的较小，高较小，高即即第二种情况：第二种情况：0 第三种情况第三种情况 ，不能振荡，不能振荡较大，低较大，低第四种情况第四种情况QR0 波形波形 回回路路无无损损耗耗的的，LC0 第一种情况：01jp 02jp ttLEti00jj0eej21 tLCE0sin 阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡。阶跃信号对回路作用的结果产生不衰减的正弦振荡
10、。 第二种情况： LCQR2Q00回路，回路，的的较小，高较小，高即即引入符号引入符号20d 所以所以dj02 dpj1 dpj2 ttdddLEtijjeej21 tLEdtdsine 就越小，衰减越慢就越小，衰减越慢越小，越小，衰减振荡，衰减振荡，RLR,2 第三种情况：0 LCLR12 pp 21 表示式为表示式为这时有重根的情况，这时有重根的情况，sI 21sLEsI tLRttLELEti2ee 生生振振荡荡，是是临临界界情情况况越越大大，阻阻尼尼大大，不不能能产产R第四种情况： ，不能振荡，不能振荡较大，低较大，低QR0 tttLEti202202eee21202 tLEt202202sinhe1双曲线双曲线波形Ot ti0 0 0 0
