1、 第一章第一章 静电场静电场 1 静电的基本现象和基本规律静电的基本现象和基本规律2 电场电场 电场强度电场强度 3 高斯定理高斯定理5 电位及其梯度电位及其梯度 1 电荷电荷 电荷守恒定律电荷守恒定律 1、摩擦起电、摩擦起电一、电荷一、电荷物体由于摩擦有了吸引轻小物体的性质，它就带了电，有了电荷，这种带电叫摩擦起电。2、两种电荷、两种电荷实验表明，自然界中只存在两类电荷：正电和负电，且同性电荷相斥、异性电荷相吸引。规定：丝绸摩擦过的玻璃棒，棒上带电为正；毛皮摩擦过的硬橡胶棒，棒上带电为负。3、电荷测量、电荷测量 （1）电量的测量）电量的测量 验电器 静电计 （金属球）（金属箔）动静(a) 验
2、电器：张开情况可定性 (b) 静电计：弧度刻尺上读数， 说明电量多少。 可用于测量电位。 图1-1 电量的测量（2）电荷正负判定 已带某种已知电荷张角变大张角变小同性异性图1-2 电荷正负的判定 二、静电感应二、静电感应 电荷守恒定律电荷守恒定律 1、静电感应、静电感应 静电感应实质上为电荷转移的过程。 (a) (b) (c) (d) A B A B 2、电荷守恒定律、电荷守恒定律 在一个与外界无电荷交换的封闭系统中，无论进行什么过程，该系统的正负电荷之代数和始终保持不变。 说明说明 ：(1) 电荷守恒是一切宏观、微观过程均遵守的规律。(2) 电荷的量子化。电子电量大小 库仑,是电荷的最小单元
3、，物体带电是基本电子电量的整数倍（不连续）。 19106 . 1e三、物质的电结构三、物质的电结构 导体与绝缘体导体与绝缘体 1、物质组成与原子结构、物质组成与原子结构 中子质子原子核核外电子原子分子2、起电的物理解释、起电的物理解释 摩擦起电用原子的玻尔模型说明：摩擦引起核外电子运动速度V变大，克服原子核的束缚而发生转移。感应起电导体中自由电子在外电场力作用下从物体的一部分转移至另一部分。 3、物质按导电性能分类、物质按导电性能分类 (1) 导体 (2) 绝缘体 (3) 半导体 四、库仑定律四、库仑定律 1、内容、内容 真空中两个点电荷之间的相互作用力，其大小与两者电量成正比、与它们之间的距
4、离平方成反比，方向沿两电荷连线，且同性相斥、异性相吸。 对作用力的数学表达形式为： 122122112rrqqF其中 为由指向的单位矢量，如图1-4所示。 121212rrr12r若将比例系数取为k，则有 122122112rrqqkFK的物理意义为：两单位点电荷相距单位长度时的库仑力。q1、q2本身可正可负，故上式包含力的排斥（正）、吸引（负）。 同理，有 :212212121rrqqkF其中 。 2112rr推广至一般，有 :ijijjiijrrqqkF2以后常略去足标。 2、电量的单位及（或）的数值、电量的单位及（或）的数值 在MKSA国际单位制（SI）中，常用的基本物理量及其基本单位为
5、：长度L（m）、温度T（K）、电流I（A）、时间t （S） 、分子量 （mol）、质量m（kg）。 依据物理公式导出的其它物理量的单位称为导出单位，例如： (1) 电量的单位依据（）。1微库仑 ()。(2) 的大小在库仑定律中，的单位由上述导出、及力的单位分别为米和牛顿（导出），故k的大小则只能由物理测量确定： 设两点电荷、真空中相距，用作为的单位，所得数值为： 229109CmNk为以后使用方便（少出现因子），取 ，则 041k221201085. 8mNC称为真空介电常数，是电学中的重要常数。至此，库仑定律可表述为： rrqqF4122103、关于库仑定律的几点说明、关于库仑定律的几点说明
6、 (1) 真空、点电荷间作用力。 真空物理上指没有原子或分子存在的空间，但并非一无所有；点电荷指带电体本身几何线度比它与其它带电体的间距小得多（ ），象质点一样是客体的抽象，是理想模型（抓住主要方面），具相对意义。 rl (2) 静止电荷。 库仑定律中的相对观察者（或实验室）都处于静止状态。可推广之：静止电荷对运动电荷的作用力仍满足库仑定律，反之不然。例：原子核电子， ，吸引力。 2024rZeF(3) 库仑力为有心力，且与距离平方成反比。 此双层信息包含更深层次的含义：有势场。存在势函数关做功与路径无有心力有源场；高斯定理距离平方反比 (4) 库仑定律是一条实验定律，是静电学的基础。 21r
7、F库仑定律的距离平方反比律精度非常之高。若 ，则实验测出： 。 16102(5) 库仑定律的适用范围。 m1510mr710大至、小至 的量级是可靠的。静电力是万有引力的倍量级。 (6) 库仑力满足牛顿第三定律。 即 2112FF五、静电力的叠加原理五、静电力的叠加原理 两点电荷之间的作用力不因为第三个电荷的存在而改变，不管一个体系中存在多少个点电荷，每一对电荷之间的作用力都服从库仑定律，而任一点电荷所受的合力则等于所有其它点电荷单独作用于该电荷的库仑力之矢量和。 1、电荷分立分布、电荷分立分布 设体系有N个点电荷，第j个点电荷所受合力为 ijijjijiiijjiijrrqqff4120)(
8、)(例如：例如：边长为 的正方形顶点置四个等量异号的点电荷，如图1-5所示，求任一点电荷q所受的合力。 a经分析可知，q 所受合力为图示中三力之矢量和。 -qqaa-qqdq q0 rr2、电荷连续分布、电荷连续分布 推广至真空中连续体电荷分布对q0之作用力，有 rrdqqf4200其中各量含义参见图1-6。 说明说明力叠加原理在宏观范围内未发现失效，但对诸如原子或亚原子范围非常小的距离范围时，则不成立。（2）库仑定律 + 叠加原理，构成静电学的基础。 小小 结结（1）电荷是物质的一种属性：同性相斥，异性相吸，电荷守恒， 量子化。2 电场和电场强度电场和电场强度 一、电场一、电场 库仑定律给出
9、了两点电荷之间的相互作用力，但并未说明作用的传递途径，下面给予分析。 1、两种观点、两种观点(1) 超距作用观点：一个点电荷对另一电荷的作用无需经中间物体传递，而是超越空间直接地、瞬时地发生，即：电荷。(2) 近距作用观点：一个电荷对另一电荷的作用是通过空间某种中间物为媒介，以一定的有限速度传递过去。 近代物理学的发展证明，近距作用观点是正确的，这个传递电力的中间媒介不是“以太”，而是靠电场以有限速度传递（ 磁 力 通 过 磁 场 ） ， 这 个 有 限 速 度 在 真 空 中 即 光速： 。 smc8103 2、场的概念、场的概念 在力学中已学过万有引力场、重力场、弹性力场等，这里谈电场。凡
10、是有电荷的地方，围绕电荷周围空间即存在电场，即电荷在其周围空间激发电场，且电场对处在其中的其它电荷施加力的作用。该作用仅由该电荷所在处的电场决定，与其它地方的电场无关，表明电力作用方式： 电荷电荷电场电场电荷电荷 说明说明crt r(1) 场与实物一样具有能量、动量等，可以脱离场源而单独存在，即电磁场是物质的一种形态。(2) 静止电荷产生的电场为静电场，电磁场的物质性、近距作用观点的正确性在时变场情况下更加显示出来。如图1-7，变化的电荷q1激发变化的电场，对q2的作用需推迟时间 。 crt 二、电场强度二、电场强度 运用电场的重要性质对置于其中的电荷施力作用来定义场强，且用该电荷作为研究和检
11、测电场的工具，此电荷称为试探电荷，而激发电场的电荷称为场源电荷。如图1-8，场点置试探电荷q0，检测由场源区Q在场点P处之场的强弱（大小，方向）。rq0PQ1、试探电荷、试探电荷2、场强、场强用库仑力描述场是不合适的，但用力定义场是恰当的，分析如下： 满足条件：(1) 电荷q0的电量应足够小，以致对场源电荷 影响小； (2) 电荷q0的尺度应尽可能小，以致精确定位于 场点处。场内任一确定点，试探电荷q0所受的电力与q0的大小有关，即电力由电场与试探电荷q0双方共同决定，反映了两方面因素，用此力描述场不能确切地反映场本身的属性。 据库仑定律，此电力与q0成正比，说明 与q0无关，仅由电场单方面属
12、性决定。 0qF定义电场强度 为: E0qFE它表示电场中任一点电场强度的数值大小及方向如何。具体地(1) 的大小：等于单位电量（ ）试探电荷在该点所受的电场力；(2) 的方向：同于正电荷在该处所受电力的方向。 EEcq103、讨论、讨论 （1）场强是矢量物理量。 既有大小，又有方向，且是空间位置矢量的点函数，形成一个空间场分布，即电场 构成空间矢量场： E),(zyxEE(2) 场强的单位 CN 或 mV(3) 场强定义式的变形 EqF0该式适用性远超过库仑定律的原始形式 rrqqF4200它表示只要空间有场 ,不论是静电场，还是时变电场，场中q0受力仍如此式计算。但须注意：计算静电力时不可
13、“自举”。 E(4) 匀强电场 (5) 强调指出： 并非与q0成反比，而是无关；此外不要受q0符号书写上的影响，不能见到q0即认定为试探电荷；场的概念至关重要，应牢固建立，它是电磁学整体知识之基础。 E某区域中 的大小、方向均不随位置 而变。如平行板电容器内的 。 rE(6) 点电荷之场 200200441rrQqFErrQqF表明：点电荷的电场在空间上具有球对称性分布。 三、场强叠加原理三、场强叠加原理 1、叠加原理内容、叠加原理内容 设n个点电荷 共同在P点产生的为 ，P点置检验电荷q0，据电场力叠加原理：nqqq、.21EniinFFFFF121.由场强定义式可得合电场为:niinEqF
14、qFqFqFE1002010.即，一组点电荷在某点产生的合场强等于各点电荷单独存在时在该点产生的场强之矢量和。 2、点电荷系的电场、点电荷系的电场 若场源由点电荷系 组成，设 为第i个点电荷qi单独在空间某点P处之场，则合场为（矢量和）： nqqq、.21iEniiiiniirrqEE1201413、电荷连续分布的电场、电荷连续分布的电场 当带电体不能作为点电荷处理时，就需要考察细节，即带电体的形状、大小、电荷分布情况，想象把它分割成许多足够小的电荷元dq每一元电荷当作点电荷处理，则整体在所考察点之场为rrdqEdEvV4120注意：即使是空间点P指定，但 也是变量。 r下面对dq及几何元的取
15、法给予说明： (1) 电荷元dq的取法 电荷连续分布，引用电荷密度描述（均以体分布为基础）： dldqdldqlqcdsdqdsdqsqbdVdqdVdqVqalsV，线分布：，面分布：，体分布：000lim)(lim)(lim)( 均是标量点函数。带电面、带电线均为理想模型，注意其满足的适用条件。 ,(2) 几何元 的取法： dldsdV,在解决实际问题的计算中，要注意选用合适的坐标系，会给计算带来方便。例如： 球坐标系（ ） , rdrddrdVsin2drddrds22sin2rdsd222)()cos()(drdrrddl（ 为立体角） 柱坐标系柱坐标系（ ）zr,dzdrrddVdz
16、rdds222)()()(dzdrdrdl 直角坐标系（ ） zyx,dzdydxdV 等,)()(122dxdydydzdxdzds222dzdydxdldzkdyjdxil d（ ）。 实用特例：如图1-9中常见带电体dq的取法： (a) 带电直线： 。 (b) 带电圆环： 。(c) 带电圆盘或面：对 于 均 匀 带 电 或 分 布 ， 可 取 圆 环 带 上 带电 。(d) 带电球体： dzdqRddq drrddq)(rrdrdq2drddrdVdqsin2对于均匀带电 或分布，可取球壳带电元为： )(rdrrdq24Zz0 dq =d zdq =Rd R0 x d(a) 带电直线 (
17、b) 带电圆环 ddRdsdqsin2带电球面： 。环带dq =2r d r 0 xrR(c) 带电圆盘（面） (d) 带电球体、球面 四、四、电场的计算电场的计算 理论基础为：点电荷电场 + 场强叠加原理。1、电场的计算、电场的计算已知电荷分布，求电场分布。已知电荷分布，求电场分布。 - + rx l P 如图1-10（a），场点在延长线上。 例例 1：求电偶极子的电场。ilrrlqilrlrqEEE2220220)4(24)2(1)2(14303024142rpirqlrl 如图1-10（b），场点在中垂线上。 经分析可知： ，合场强 方向如图1-10（b）所示，其大小为： _EEEEEi
18、EEcos22322023220)4(4)4(422lrpilrql304rprl 如图1-10（c），场点在空间*一般位置分解电偶极矩 为 l qpsincos/pppp应用上述、的结果进行叠加，用 即可表示 。 , rE例例2：均匀带电细棒，长为 ，带电量为 ，求中垂面上 的场。 l 2q对称取元电荷，如图1-11所示， 。分析它们在P点合场强的特征，得合场大小为 dZdqlq,22200220142cos2zrrzrdzdEEll2200232202121lrlrzrrdzl讨论讨论 : 当 ，无限长均匀带电线之电场为 rl rE2E 是矢量，大小、方向均需指出； 有时对称分析显得十分必
19、要，例如上述问题中场无平行于直线的分量； 延拓思考：若场点P在一端延长线上或P点不在中垂面上呢？（课外练习）例例3：如图1-12，求均匀带电圆环轴线上的电场。 23220204cos4xRqxrdlE可讨论： 情况；Rx 场极大值发生在 处。 2Rx 延拓思考：均匀带电圆盘轴线上的场； 当R 时， ；当 时，则成为点电荷模型。 02ERx x=0 点处 :例例4：均匀带电圆盘轴线上的场。)(111(2220023220 xRxrrdrxER2、受力的计算。、受力的计算。 基础公式： 。 EqF例例1：电偶极子 在均匀电场 中所受的力 和力矩 。 p0EFMFFoE（1）合力： ， 0FFFsi
20、n2sin2lFlFMsinsin2200qlElqEsin0PE综上可知在均匀电场 中，电偶极子 的运动行为是：只转动、不平动。（若场非均匀，则会发生平动）。 0Ep0EPM写成矢量式为： 。M（2）合力矩：对0点产生的力矩 为例例2：研究示波器中电子的电偏转。 质量为m、电量为e的电子以初速v0进入极板间均匀电场 为的电场中，则参数方程为 E2202121tmeEatytvx消去t后得轨迹方程为： 2202xmveEy 由图中其余几何尺寸，可求得屏上偏转距 ,其中， 段为抛物线、 段为直线。 ByOAAB3 高斯定理高斯定理 一、电力线一、电力线 电力线作为一种辅助工具，形象、直观地描绘电
21、场。 电场是矢量场，引入电力线要反映场的两个方面 ，方向大小SNE其中 表示通过垂直场方向单位面积的电力线条数电力 线数密度。 SN作法如下：（1）反映电场方向曲线上每点切向与该点场方向一致；（2）反映电场大小用所画电力线的疏密程度表示，电力线数密度与该点场的大小成正比在SI制中，比例系数取1，则 ， 即 。 SNESESENcos(1)电力线起自正电荷（或来自无穷远处）、止于负电荷（或伸向无穷远处），不会在没有电荷的地方中断不中断；3、电力线的普遍性质、电力线的普遍性质(2) 对于正、负电荷等量的体系，正电荷发出的电力线全部集中到负电荷上去；(3) 无电荷空间任两条电力线不相交；二、电通量二
22、、电通量 1、定义：、定义： 在电场中通过一曲面元的电通量定义为： )(cosNsEsEE 为面元矢量。 为面元的法线方向为面元的法线方向 nssn对于非无限小的曲面，有 SSEsdEdsEcos对于闭合曲面为： SSEsdEdsEcos并规定：取闭合曲面S的外法向矢为正； ， 为正，表明有电力线穿出； ， 为负，表明有电力线穿入。 90E90E2、点电荷场中电通量示例、点电荷场中电通量示例 rrqE420（使用库仑定律） (1)面元的电通量 Ed对应的立体角为sd22cosrdsrdsd故 20204cos4rqdsdsnrrqsdEdEdqrdsq02044(2) 任意曲面 的电通量 sE
23、(3) 任意闭合曲面 的电通量 sE 当q在S内：图1-17(a) 当q在S外：图1-17(b) 说明说明(1) 电场对任曲面的E在数值上等于通过该曲面电力线的条数。(a) (b) (2) E的有效性相当于只一次穿过闭合面； 三、高斯定理三、高斯定理SEsqsqqsdE)(0)(0外在内在设空间有一组点电荷 ，则任一点的场为 niqqqq、21niiEE1（场叠加原理） 1、单个点电荷情况、单个点电荷情况2、多个点电荷情况、多个点电荷情况又令一任意形状的闭曲面S包围电荷 iqqq、.21而另外电荷 在S之外。则 niqq、.1sdEEEsdESnSE).(21sdEEsdEEEnSiSi).(
24、).(121)(02101).(1内siiqqqq即分立电荷时，有 内SiSqsdE013、电荷连续分布情况、电荷连续分布情况 VSdVsdE01上述即高斯定理的数学表述。 它表明：通过任一闭合曲面S的电通量E等于该闭合曲面所围所有电荷电量的代数和 除以0，与闭合曲面外的电荷无关。 )(dvqi或(1) 高斯定理是静电场基本定理之一，反映了静电场是有源场。 (2) 高斯定理给出了场 与场源q间的一种联系，这种联系非直接。 E若 =0，则E =0，但不意味着S面上处处 =0。 仅指S内电荷电量的代数和（可正、可负），而 则指空间所有电荷激发场之合贡献。 内qE内qE4、高斯定理的几点认识与说明、
25、高斯定理的几点认识与说明(3)一般地，不能用此求得每个场点的场强，仅当电荷分布乃至场分布具有某种对称性时，才能仅用此求得场。但求不出时切不可误作该定理不成立。(4) 高斯定理是从库仑定律导出的，因而，此定理正确与否，是证明库仑定律正确性的一种间接方法。(5) 认为高斯定理与库仑定律完全等价或从高斯定理出发可导出库仑定律的看法是欠妥的，库仑定律比高斯定理包含更多信息。四、高斯定理的应用四、高斯定理的应用 (1) 说明电力线的起点和终点。(2) 说明电力线的疏密与的大小关系。1、应用高斯定理说明电力线的性质。、应用高斯定理说明电力线的性质。2、解题示例、解题示例(1) 电荷分布乃至场分布具有一定对
26、称性对称性时，可用此定理求空间的场分布。(2) 解题步骤 分析场的对称性，明确 的方向； E(3) 典型问题：已知电荷分布 ),(),(zyxEEzyx求 选取合适的高斯面； sdEE 计算 ； 内q 计算 ； EE 应用定理求 的大小，结合方向得出 。例例1：求均匀带电q，半径为R的球壳内、外之场。 场强大小分布如图 例例2：均匀带正电q，半径为R 的球体内、外之场。 E r曲线如图0 R 例例3：均匀带电线密度为的无限长细棒之场。 半径为R的均匀带电体密度为的长圆柱体。 )(2)(2002RrrRrrRE半径为R的均匀带电面密度为的长圆柱面。 )(0)(0RrRrrE拓宽知识拓宽知识 例例
27、4：均匀面密度为的无限大平面薄板之场。厚度为2d、均匀带电体密度为的无限大平板，如图1-25(a)。 )(2)(200板内板外xdE(3) 组合无限大均匀带电的平面，示例与说明见图1-25(b)、(c)。 (4) 均匀带电椭球体。椭球体内、外场点处的场不能由上述高斯定理求出，但不意味着该定理不成立。 拓宽知识拓宽知识图1-25 4 电位及其梯度电位及其梯度一、静电场的环路定理一、静电场的环路定理1、静电场力做功与路径无关：、静电场力做功与路径无关： (1) 点电荷形成的场中电场力做功：点电荷形成的场中电场力做功：abIII起点起点q0 (2) 任意带电体系的电场中场力做功任意带电体系的电场中场
28、力做功数学表示：数学表示： lldE02、静电场是保守场、静电场是保守场环路定理环路定理ll dE0静电场力移动单位正电荷一周做功为零。静电场力移动单位正电荷一周做功为零。二、电势差和电势二、电势差和电势1、外力做功、外力做功2、电势能、电势能电场力做正功，电势能减；电场力做负功电势能增加。电场力做正功，电势能减；电场力做负功电势能增加。 着重指出几点：着重指出几点：（1）电位能）电位能W是体系所是体系所共有共有的的 （2）电势能差是绝对的，但电势能是相对的，电势能）电势能差是绝对的，但电势能是相对的，电势能 与电势能零点的选取有关。与电势能零点的选取有关。（3） 电势能是标量。电势能是标量。
29、 3、电势差及电势、电势差及电势（1）电势差：）电势差： QPQPPQl dEqQWPWUUU0)()()(即单位正电荷在场中即单位正电荷在场中P、Q 两点的电势能之差，反映场两点的电势能之差，反映场本身在本身在P、Q两点的属性。两点的属性。 (2) 电势是标量，有正负、高低之分。电势是标量，有正负、高低之分。 某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。某点电势的正负与该点电势能的正负不一定相同。 结论：结论： 低负荷在远点高正荷在远点负场源中在远点处电势能高负在远点处电势能低正正场源场中WWqq00电势能高低电势能高低 )0()0(PPVV电势高负场源电荷之场中远点电势高正场源电荷之场中近
30、点电势高低电势高低（2）电势）电势 用电势能定义：用电势能定义：PPldEqPWU0)( 用电势差定义：用电势差定义： QPPldEU（选（选Q点为点为0电势参考点电势参考点 ）对于电荷分布在有限域，常选对于电荷分布在有限域，常选 0UPPldEU几点说明：几点说明：a. 电势差与电势零点的选取无关，具有绝对意义；电势差与电势零点的选取无关，具有绝对意义； 而电势则不然。而电势则不然。b. 电势差（即电压）与电势的关系为：电势差（即电压）与电势的关系为：QPQPQPPQUUl dEl dEl dEUc. 场中某点电势能用电势表示为场中某点电势能用电势表示为 ：PPPUql dEqW004、电势
31、能和电势的单位：、电势能和电势的单位：在在SI制中制中 ：电势能电势能焦耳（焦耳（J） Jev19106 . 11电势电势伏特（伏特（V） 伏特库仑焦耳115、说明：、说明：（1） 区别电势与电势能区别电势与电势能空间某点的空间某点的电势电势与试探电荷与试探电荷 无关，反映电场本身的性质；无关，反映电场本身的性质；电势能电势能则与场中某点的则与场中某点的 大小及正、负有关，为场及试探大小及正、负有关，为场及试探电荷所共有。电荷所共有。0q0q（2）推论）推论: i)正场源电荷的场中，近电荷处正场源电荷的场中，近电荷处 高；负场源电高；负场源电荷的荷的 情况则反之。情况则反之。 PU ii) 正
32、电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点；正电荷在电场力作用下从高电势点移向低电势点； 负电荷则相反。负电荷则相反。 iii) 沿电力线方向电势逐点降低。沿电力线方向电势逐点降低。三、电势的计算三、电势的计算1、方法之一：场强积分法、方法之一：场强积分法 已知场分布已知场分布 ，代入，代入),(zyxEEQPQPl dEUU例例1：试求点电荷电场中的电势分布。：试求点电荷电场中的电势分布。 qPrp例例2：求均匀带电为：求均匀带电为 q 、半径为、半径为R的薄球壳的电势分布。的薄球壳的电势分布。 由高斯定理可知空间的电场分布具有球对称性由高斯定理可知空间的电场分布具有球对称性)( , 0)(
33、,4)(20RrRrrqrE例例3：无限大均匀带电：无限大均匀带电 平面。平面。 +d P0 xU电荷分布无限，不能取电荷分布无限，不能取 参考。参考。可选取平面上可选取平面上 参考。参考。 0U0面U2、方法之二：电势叠加原理法、方法之二：电势叠加原理法当电荷分布于有限域内，可选当电荷分布于有限域内，可选 ，则，则0U点电荷场中：点电荷场中： rrql dEU04点电荷组场中：点电荷组场中： iiriiriiUl dEl dEU连续电荷分布：连续电荷分布： rdqdU04),(dldsdvdqrdqU041例例1：电偶极子的电势。：电偶极子的电势。 选用球坐标系变量表述，用选用球坐标系变量表
34、述，用 UUUUii)r r+rP 0 Zq +qrrrrqrqrqU000444其中：其中： cos2cos2lrrlrr、lr 2222cos4rlrrrcoslrr30202044cos4cosrrPrPrqlU例例2*：已知空间电荷分布具有球对称性，：已知空间电荷分布具有球对称性， ， 求空间距中心求空间距中心R处的处的U分布。分布。 ),(0为常数arear0 r rR Pdr内内（1） 可用场强积分法：可用场强积分法： 用高斯定理求出用高斯定理求出E分布，再由分布，再由 积分便可得果。积分便可得果。 RPEdrU（2） 也可用电势叠加原理做。也可用电势叠加原理做。 四、等势面四、等
35、势面 电势梯度电势梯度1、等势面、等势面（1）定义：）定义： 静电场中电势相等的点的集合一般是一个曲面（或体）。静电场中电势相等的点的集合一般是一个曲面（或体）。 此面即称等势面。此面即称等势面。（2）规定：）规定： 规定相邻两等势面之间的电势差相等，即相邻等势面间规定相邻两等势面之间的电势差相等，即相邻等势面间 相同。因此等势面疏密反映场的强弱。相同。因此等势面疏密反映场的强弱。U（3） 性质：性质： 等势面处处与电力线（即电场）垂直。等势面处处与电力线（即电场）垂直。 等势面密处等势面密处E大、疏处大、疏处E小。小。 n)(,小nnEl dEUQP在在 相同下，相同下， 小处小处E大；大；
36、 大处大处E小。小。 UnnnUEn0lim2、电势梯度、电势梯度（1） 方向导数和梯度方向导数和梯度在标量场在标量场 中，过场点中，过场点P，U沿任意方向的空间沿任意方向的空间变化率。变化率。),(zyxUPPlPUPUlUlUll)()(limlim00标量场中过标量场中过P点有无限多个方向，故方向导数有许多。点有无限多个方向，故方向导数有许多。 矢量分析中，任一标量场矢量分析中，任一标量场U之梯度定义为：之梯度定义为：nl大小大小等于标函数沿其等值面法向的方向导数等于标函数沿其等值面法向的方向导数 nU方向方向为等值面法向且指向为等值面法向且指向U的值增一侧。的值增一侧。梯度是矢量，记为
37、梯度是矢量，记为nnUgradU其中其中 为等值面单位法向，指向为等值面单位法向，指向U值增一侧。值增一侧。n (2) 电势与电场的微分关系电势与电场的微分关系 UEgradUE，或 常用坐标系中，梯度表示为常用坐标系中，梯度表示为:ZUeUeUeUrUerUerUeUzUkyUjxUiUzr柱坐标系：球坐标系：直角坐标系：sin(3) 几点说明几点说明 UE 是一矢量，其方向与是一矢量，其方向与 相反，而相反，而U是一标量。是一标量。 EgradU 电势公式与库仑定律等价电势公式与库仑定律等价 与与U并非直接关系并非直接关系EUEl dEUqqqqPPE=0U00PU(a) 但但0PE0U0
38、nU并非并非(b) 0PE但但0PU0E0U不一定不一定(4) 例题：半径为例题：半径为a、均匀带电、均匀带电 圆盘。求轴线上的圆盘。求轴线上的U、E 。 求解过程：求解过程： 先求先求U 圆环整个视为微元，环带上圆环整个视为微元，环带上 rdrdq22204zrdqdU)(2222022000zzazrrdrdUUaa再求再求 EkzazkzUE)1 (2220第一章第一章 真空中静电场小结真空中静电场小结一、理论体系：一、理论体系：电场是有势场环路定理电场为有源场高斯定理叠加原理库仑定律出发点出发点 ：二、内容：二、内容： 1、一个定律、一个定律 ：30214rrqqF2、两个定理、两个定
39、理 ：svdvsdE01lldE03、两个物理量：、两个物理量： 反映场力性质，反映场力性质， ， 要求唯一。要求唯一。 EEqF 反映场能性质，反映场能性质， ， 要求可微。要求可微。UqUW 4、三种方法：已知电荷分布，求电场分布、三种方法：已知电荷分布，求电场分布 (1) 场强公式；场强公式； (2) 高斯定理；高斯定理； (3) UE5、场的形象化几何描述：、场的形象化几何描述： 电力线电力线规定、性质、通量规定、性质、通量sdE等势面等势面规定、性质、梯度规定、性质、梯度 nnUgradU三、三、 三者关系网三者关系网UEq、1、 EqrdqU041Uq 2、rrdqE3041svdvsdE01UE 3、Ll dEUUE
