1、上海高考数学冲刺卷上海高考数学冲刺卷 08 总分 150 分 时间 120 分钟 一一. 填空题（填空题（64+65=54 分）分） 1. 抛物线28yx 的准线方程为 2. 已知2i1 imn，其中 m、nR，i 是虚数单位，则函数( )sincosf xmxnx （xR）的最大值为 3. 已知数列na的通项公式为2141nan，其前 n 项和为nS，则limnnS 4. 若集合0,1,2M ，( , )| 210Nx yxy 且210 xy ，x、yM，则 N 中元素的个数为 5. 如图所示，单位圆中劣弧 AB 的长为 x，( )f x表示劣弧 AB 与弦 AB 所围成的弓形面积，则( )
2、f x解析式为 6. 在2022(2)x的二项展开式中，含 x 的奇次幂的项之和为 S， 当2x 时，S 7. 样本12( ,)mx xx的平均数为x，样本12(,)ny yy的平均数为y，其中xy，若样 本1212( ,)mnx xxy yy的平均数(1)zaxa y，其中112a，则 m、n 的大小 关系为：m n（填“” 、 “”或“” ） 8. 将 8 个人（含甲、乙）分成三个组，一组 2 人，另两组各 3 人，则甲、乙分在同一组 的概率为 9. 如图，谭老师在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处 进行射击训练，已知点 A 到墙面的距离为 AB，某目标点 P 沿墙面上的射线 C
3、M 移动，谭老师为了准确瞄准目标点 P， 需计算由点 A 观察点 P 的仰角的大小（仰角为直线 AP 与平面 ABC 所成的角），若 AB15m， AC25m， BCM30，则的最大值是 10. 设有一组圆224( ):(21)(4 )2C kxkykk（*k N） ，下面四个命题： 所有的圆均不经过原点； 存在一条定直线与所有的圆均相切； 存在一条定直线与所有的圆均相交； 存在一条定直线与所有的圆均不相交. 其中真命题的序号是 （写出所有真命题的序号） 11. 在 xOy 平面上，将双曲线的一支221916xy（0 x ） 及直线0 x 和直线0y 、6y 围成的封闭图形记为 D， 如图中阴
4、影部分，记 D 绕 y 轴旋转一周所得的几何体为， 过(0, )y（06y）作的水平截面，计算截面面积， 利用祖暅原理得出体积为 12. 已知向量a、b，| 1a ，| 2b ，若对任意单位向量e，均有|7a eb e ， 则a b 的取值范围是 二二. 选择题（选择题（45=20 分）分） 13. 设函数2( )11f xx （10 x ） ，则函数1( )yfx的图像是（ ） A. B. C. D. 14. 下列四个选项中，p 是 q 的必要不充分条件的是（ ） A. :p ab，22:q ab B. :p ab，:22abq C. 22:p axbyc为双曲线，:0q ab D. 2:0
5、p axbxc，2:0bcq axx 15. 如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 1，过点 A 作平面1ABD的垂线，垂足为点 H， 则下列选项错误的是（ ） A. 点 H 是1ABD的垂心 B. AH的延长线经过点1C C. 二面角111CB DC的正切值为2 D. 点 H 到底面1111ABC D的距离为34 16. 设函数21( )f xx，21( )sin2fxx，31( )|sin2|4fxx，2022iia ，02022i ， iN，记102120222021|()()|()()|()()|kkkkkkkIfafafafafafa， 1k 、2、3，则（ ） A. 12
6、3III B. 321III C. 312III D. 123III 三三. 解答题（解答题（14+14+14+16+18=76 分）分） 17. 如图，AEC是半径为 a 的半圆，AC 为直径，点 E 为AC的中点，点 B 和点 C 为线 段 AD 的三等分点. 平面 AEC 外一点 F 满足5FBFDa，6EFa. （1）证明：EBFD； （2）已知点 Q、R 分别为线段 FE、FB 上的点， 使得23FQFE，23FRFB，求平面 BED 与平面 RQD 所成二面角的正弦值. 18. 已知函数2( )(1cot )sinsin()sin()44f xxxmxx. （1）当0m 时，求(
7、)f x在区间3,84上的取值范围； （2）当tan2时，3( )5f，求m的值. 19. 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上， 在小艇出发时， 轮船位于港口 O 北偏西 30且与该港口相距 20 海里的 A 处，并正以 30 海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶. 假设该小艇沿直线方向以 v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过 t 小时与轮船相遇. （1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ （2）为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值； （3）是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度
8、行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由. 20. 已知椭圆C：22221xyab（0ab） ，其焦距为2c，若512ca（0.618） ， 则称椭圆C为“黄金椭圆”. （1）求证：在黄金椭圆C：22221xyab（0ab）中，a、b、c 成等比数列； （2）黄金椭圆C：22221xyab（0ab）的右焦点为2( ,0)F c，P 为椭圆 C 上的任意 一点. 是否存在过点2F、P 的直线 l，使 l 与 y 轴的交点 R 满足23RPPF ？若存在， 求直线 l 的斜率 k；若不存在，请说明理由； （3）在黄金椭圆中有真命题：已知黄金椭圆
9、C：22221xyab（0ab）的左、右焦点 分别是1(,0)Fc、2( ,0)F c，以(,0)Aa、( ,0)B a、(0,)Db、(0, )Eb为顶点的菱形 ADBE的内切圆过焦点1F、2F. 试写出“黄金双曲线”的定义；对于上述命题，在黄金双曲线中写出相关的真命题，并加以证明. 21. 已知数列na（*nN）的首项11a ，前 n 项和为nS，设与k是常数，若对一切 正整数 n，均有11111kkknnnSSa成立，则称此数列为“ k”数列. （1）若等差数列na是“1”数列，求的值； （2）若数列na是“1 22”数列，且0na ，求数列na的通项公式； （3）对于给定的，是否存在三个不同的数列na为“ 3”数列，且0na ？ 若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
