1、解答题专项训练：圆锥曲线1、在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.（1）求C的方程；（2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.2、已知椭圆中心在坐标原点，一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与交于两点，与交于两点，且点都在轴上方，如果，求直线的方程.3、已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距最小值为（1）求抛物线的方程（2）若点在圆上，、是抛物线的两条切线，、是切点，求面积的最大值4、已知椭
2、圆的短轴长为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与椭圆C的另一个交点为E，且，点Q是P关于x轴的对称点，直线与椭圆C的另一个交点为.（）证明：直线，的斜率之比为定值；（）求直线的斜率的最小值5、已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直线AP与椭圆相交于另一点T（1）求曲线C的方程；（2）设点P、T的横坐标分别为x1，x2，证明：x1x21；（3）设TAB与POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且，求的取值范围6、在平
3、面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.7、已知椭圆C：长轴长为4，P在C上运动，F1，F2为C的两个焦点，且cosF1PF2的最小值为（1）求C的方程；（2）已知过点的动直线l交C于两点A，B，线段AB的中点为N，若为定值，试求m的值8、已知椭圆C：(，)的左、右焦点分别为，离心率为，直线被C截得的线段长为.(1)求C的方程：(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且，求四边
4、形面积的最大值及此时的值.9、已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率，过点的直线与椭圆交于两点（异于，），当直线的斜率不存在时，（1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由10、已知为椭圆的下顶点，分别为的左，右焦点，已知的短轴长为，且=（1）求的方程（2）设为坐标原点，为上轴同侧的两动点，两条不重合的直线，关于直线对称，直线与轴交于点，求的面积的最大值11、已知椭圆C：的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为和8，椭圆的短轴长大于焦距（1）求椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上的动点（不是顶点），点P
5、与点M关于原点对称，过M作直线垂直于x轴，垂足为E连接PE并延长交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由12、在平面直角坐标系中，直线相交于点，且它们的斜率之积是.（1）求点的轨迹方程；（2）过的直线与的轨迹交于两点，试判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由.13、已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且满足（1）求动点的轨迹的方程（2）过点作直线与轨迹交于两点，为直线上一点，且满足，若的面积为，求直线的方程14、已知椭圆经过点，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点
6、，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值15、已知椭圆：的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为，的面积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，是否存在直线使得的面积等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.16、已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为、，以点为圆心，为半径作圆，与轴交于点（1）求椭圆的方程；（2）已知点，点、为椭圆上异于点且关于原点对称的两点，直线、与轴分别交于点、，记以为直径的圆为，试判断是否存在直线截的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请
7、说明理由17、已知椭圆的离心率为，直线l过C的右焦点，且与C交于A，B两点直线与x轴的交点为E，点D在直线m上，且（1）求椭圆C的标准方程；（2）设的面积分别为，求证：18、已知椭圆过点离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足求线段PN长的最小值.19、如图，椭圆经过点，离心率，直线l的方程为（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由20、已知椭圆的左、右焦点分别为、，
8、点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若三角形的周长为8，面积的最大值为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C外切于矩形，求矩形面积的最大值.21、已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）直线与C交于A，B两点，点T在y轴上，直线，与C的另一个交点分别为D，E，且，求T点的坐标.22、如图，已知和抛物线是圆上一点，M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点（1）当直线与圆相切，且时，求的值；（2）过P作抛物线两条切线分别为切点，求证：存在两个，使得面积等于23、椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为（1）求椭圆E
9、的标准方程；（2）设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值参考答案1、在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.（1）求C的方程；（2）如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.解：（1）因为实轴长为4，即，又，所以，故C的方程为.（2）由O，A，N，M四点共圆可知，又，即，故，即，所以,设，由题意可知，则直线，直线，因为M在直线l上，所以，代入直线AG方程，可
10、知，故M坐标为，所以，又，由，则，整理可得，当直线GH斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线，代入双曲线方程：中，可得，所以，又，所以,故，即，所以点P坐标为.2、已知椭圆中心在坐标原点，一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆的离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与交于两点，与交于两点，且点都在轴上方，如果，求直线的方程.解：（1）抛物线的焦点所以椭圆的一个焦点为，设椭圆的方程为：，其中则，由椭圆的离心率为，解得，则椭圆的方程为：（2）由题意直线的斜率不为0，设其方程为设由，可得所以则由，得所以则由，即所以，又，所以即，解得，即所以直线的方程为：，即3、已知抛物线的焦点为，且与圆上点
11、的距最小值为（1）求抛物线的方程（2）若点在圆上，、是抛物线的两条切线，、是切点，求面积的最大值解：（1）抛物线的焦点为，圆的圆心为，半径为，所以，且与圆上点的距最小值为，解得，因此，抛物线的方程为.（2）对函数求导得，设点、，所以，直线的方程为，即，同理可知直线的方程为，因为点为直线、的公共点，则，所以，点、的坐标满足直线方程，所以，直线的方程为，联立可得，由可得，所以，由韦达定理可得，所以，点到直线的距离为，所以，令，所以，面积的最大值为.4、已知椭圆的短轴长为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上一点，且在第一象限内，过P作直线与交y轴正半轴于A点，交x轴负半轴于B点，与
12、椭圆C的另一个交点为E，且，点Q是P关于x轴的对称点，直线与椭圆C的另一个交点为.（）证明：直线，的斜率之比为定值；（）求直线的斜率的最小值解：（1）由题意得解得所以椭圆的方程为（2）（i）设点的坐标为，因为点是关于轴的对称点，所以，所以直线的斜率为，的斜率为所以所以直线，的斜率之比为定值（ii）设直线的方程为联立方程组化简得设点的坐标是，所以所以所以所以点的坐标是由（2）可知，直线的方程是所以点的坐标是所以直线的斜率因为，所以当且仅当，即时，有最小值所以直线的斜率的最小值是5、已知双曲线的左、右顶点分别为A、B，曲线C是以A、B为短轴的两端点且离心率为的椭圆，设点P在第一象限且在双曲线上，直
13、线AP与椭圆相交于另一点T（1）求曲线C的方程；（2）设点P、T的横坐标分别为x1，x2，证明：x1x21；（3）设TAB与POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S1与S2，且，求的取值范围解：（1）设椭圆的方程为，依题意可得A（1，0），B（1，0），所以b1，因为椭圆的离心率为，所以，即a24，所以椭圆方程为（2）证明：设点P（x1，y1），T（x2，y2）（xi0，yi0，i1，2），直线AP的斜率为k（k0），则直线AP的方程为yk(x+1)，联立方程组，整理，得（4+k2）x2+2k2x+k240，解得x1或，所以，同理联立直线AP和双曲线可得，所以x1x21（3）由（2），因为，所
14、以，即，因为点P在双曲线上，则，所以，即，因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以，因，所以由（2）知，x1x21，即，设，则1t3，则设f（t）5t5（t）541，当且仅当，即t2时取等号，结合对勾函数单调性知函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，3上单调递减因为，所以f(1)f(3)，所以的取值范围为（0，16、在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.(1)求椭圆的标准方程；(2)设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为
15、椭圆过点、，则有，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）【解法一：利用和积转化，处理存在性问题】设存在常数，使得.由题意可设直线的方程为，点，由题，A(2，0)，B(2，0)，则，联立，消x得，则,所以，由于则，所以存在常数，使得.【解法二：利用和积转化，处理存在性问题】设存在常数，使得.由题意可设直线的方程为，点，由题，A(2，0)，B(2，0)，则，联立，消得，则,由于，则，代入得，所以存在常数，使得.【解法三：双根转化为单根，处理存在性问题】设存在常数，使得.由题意可设直线的方程为，点，由题，A(2，0)，B(2，0)，则，联立，消x得，则,由于则，所以存在常数，使得.【解法四：点代入椭圆中
16、，处理存在性问题】设存在常数，使得.由题意可设直线的方程为，点，则.又因为，则，即，则（*）由，消x得，则，因此，所以存在常数，使得.【解法五：点代入椭圆中，优化处理存在性问题】设存在常数，使得.由题意可设直线的方程为，点，则.又因为，则，即，则由即. ，因此，所以存在常数，使得.【解法六：运用分析法，先猜后证】当直线垂直于轴时，易知，或，分别对应，和，均有；将直线的方程设成，.联立消去得，欲得，只需得，只需得，只需得，由于恒成立，所以存在常数，使得.7、已知椭圆C：长轴长为4，P在C上运动，F1，F2为C的两个焦点，且cosF1PF2的最小值为（1）求C的方程；（2）已知过点的动直线l交C于
17、两点A，B，线段AB的中点为N，若为定值，试求m的值解：（1）由题意得a2，设|PF1|，|PF2|长分别为p，q则（当且仅当pq时取等号）从而，得，则椭圆的标准方程为（2）若直线l的斜率不存在，易得；若直线l的斜率存在，设其方程为ykx+m，联立，得，易知恒成立，设，则，且，要使上式为常数，必须且只需，即此时为定值，符合题意综上可知，当时，能使得若8、已知椭圆C：(，)的左、右焦点分别为，离心率为，直线被C截得的线段长为.(1)求C的方程：(2)若A和B为椭圆C上在x轴同侧的两点，且，求四边形面积的最大值及此时的值.解：(1)，椭圆标准方程为，由题可知，；(2)，如图，延长交椭圆与C、D，根
18、据椭圆的对称性可知，四边形ABCD为平行四边形，且四边形面积为四边形ABCD面积的一半.由题知，斜率不为零，故设方程为，设，故，O到的距离，当且仅当，即时，取等号，当m1时，四边形面积最大为.根据对称性，不妨取m1时，方程化为，解得，由对称性可知，故或，或，综上，四边形面积最大为，此时.9、已知椭圆的左、右顶点分别为，其离心率，过点的直线与椭圆交于两点（异于，），当直线的斜率不存在时，（1）求椭圆的方程；（2）若直线与交于点，试问：点是否恒在一条直线上？若是，求出此定直线方程，若不是，请说明理由解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为，由题意得：，所以椭圆的方程为：（2）设直线的方程为，联立，由，是
19、上方程的两根可知：，直线的方程为：，直线的方程为：，得：，把代入得：，即，故点恒在定直线上10、已知为椭圆的下顶点，分别为的左，右焦点，已知的短轴长为，且=（1）求的方程（2）设为坐标原点，为上轴同侧的两动点，两条不重合的直线，关于直线对称，直线与轴交于点，求的面积的最大值解：（1）由题意可得故，=+=3，故椭圆的方程为；【小问2详解】设，由知，所以直线过点，因为两条不重合的直线，关于直线对称，所以，且，不同时为的左，右顶点，设直线的方程为，由，得，则，因为直线，关于直线对称所以，则，所以，即，因为，所以，所以直线恒过定点，且，当与的上顶点或下顶点重合，即时，的面积的最大，即最大值为11、已知
20、椭圆C：的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为A，B，四边形的面积和周长分别为和8，椭圆的短轴长大于焦距（1）求椭圆C的方程；（2）点P为椭圆C上的动点（不是顶点），点P与点M关于原点对称，过M作直线垂直于x轴，垂足为E连接PE并延长交椭圆C于点Q，则直线MP的斜率与直线MQ的斜率的乘积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由解：（1）由题意可知，且，解得，所以椭圆C的方程为（2）设点，则，所，所以直线PE的方程为，联立所以，所以，所以，而代入，可得，所以直线MP的斜率与直线MQ的斜率之积为定值12、在平面直角坐标系中，直线相交于点，且它们的斜率之积是.（1）求点的轨迹方程；（2）过的直
21、线与的轨迹交于两点，试判断点与以为直径的圆的位置关系，并说明理由.解：（1）设点的坐标为，其中，则直线的斜率为，直线的斜率为，由已知有，化简得点的轨迹方程为.（2）点在圆外，理由如下：若直线与轴重合，则该直线与曲线无公共点，故可设，另记，联立，可得，由韦达定理知，则有其中无解，则，故，即点在以为直径的圆外.13、已知点，直线，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且满足（1）求动点的轨迹的方程（2）过点作直线与轨迹交于两点，为直线上一点，且满足，若的面积为，求直线的方程解：（）由题意知：故点轨迹是以点为焦点的抛物线曲线（）设设直线：，代入曲线整理有：，则线段中点而故又故轴即故或14、已知椭
22、圆经过点，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的左、右两个顶点分别为，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为椭圆的左焦点，求证：的周长为定值解：（1），椭圆经过点，椭圆C的标准方程为（2）解法一：证明：由题意可知，设，直线的方程为，直线的方程为，联立方程组可得，可得，所以，则，故由可得，可得，所以，则，故，所以，故直线的方程为，即，故直线过定点，所以的周长为定值8当时，或，可知是椭圆的通径，经过焦点，此时的周长为定值，综上可得，的周长为定值8解法二：当直线斜率存在时，设其方程为：，由设，则有，直线，令，得，直线，令，得，所以，由，所以，即，化简得或时
23、直线过点（舍），所以，即直线的方程为，过定点当直线的斜率不存在时，设其方程为：，则有，代入，直线也过定点，综上所述，直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值解法三：当M位于椭圆的上顶点，则此时，直线与相交于点，则直线的方程为，联立椭圆方程可得：，则可知，易知直线经过椭圆的右焦点，此时的周长为定值，猜想，若的周长为定值，则直线经过椭圆的右焦点证明如下：依题意直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入椭圆方程得：，设，则直线，令，得，直线，令，得，因为，所以直线的交点在直线上，即过直线上的点T所作的两条直线和分别与椭圆相交所得的两点M、N形成的直线始终经过椭圆的右焦点，故的周长为定值15、已知椭圆：的
24、上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为，的面积为1.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴于点，过点作轴于点，与交于点，是否存在直线使得的面积等于？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意知，因为的面积为1，所以.又直线的方程为，即，因为点到直线的距离为，所以，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）依题意，当直线的斜率为0时，不符合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，联立，得，易知.设，则，因为轴，轴，所以，所以直线：，直线：，联立解得，因为，与直线平行，所以，因为，所以，由，得，解得，故存在直线的方程为或，使得的面积等于.16、已知椭圆的
25、右焦点为，上、下顶点分别为、，以点为圆心，为半径作圆，与轴交于点（1）求椭圆的方程；（2）已知点，点、为椭圆上异于点且关于原点对称的两点，直线、与轴分别交于点、，记以为直径的圆为，试判断是否存在直线截的弦长为定值，若存在请求出该直线的方程，若不存在，请说明理由解：（1）以点为圆心为半径的圆的方程为因为该圆经过点，即可得，所以，从而可得椭圆的方程为（2）设点、的坐标分别为、，则直线的方程为，可得点的坐标为同理可得点的坐标为取圆上任意一点，则，由圆的几何性质可知，则，则以为直径的圆的方程为化简可得：，结合椭圆的方程可得，代入上式可得：令，可得恒成立据此可知否存在直线，该直线截的弦长为定值17、已知
26、椭圆的离心率为，直线l过C的右焦点，且与C交于A，B两点直线与x轴的交点为E，点D在直线m上，且（1）求椭圆C的标准方程；（2）设的面积分别为，求证：解：（1）由题意得，解之得：故椭圆C的标准方程为（2）易知直线斜率不为0，设方程为：，由消去x并整理得：，所以，由题意得，所以方程为：，令得，又因为，所以，所以，即直线恒过的中点，故点E，F到直线的距离相等所以18、已知椭圆过点离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）当过点M(4，1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A，B时，在线段AB上取点N，满足求线段PN长的最小值.解：（1）根据题意，解得，椭圆C的方程为（2）设A（，），B（，），N（x，y）
27、，由，得，又，点N在直线上，.19、如图，椭圆经过点，离心率，直线l的方程为（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由解：（1）椭圆经过点，可得，由离心率得，即，则，代入解得，故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为代入椭圆方程并整理得，设，在方程中，令得，M的坐标为，从而，注意到A，F，B共线，则有，即有，所以代入得又，所以，故存在常数符合题意方法二：设，则直线FB的方程为，令，求得，从而直线PM的斜率为，联立，得
28、，则直线PA的斜率，直线PB的斜率为，所以，故存在常数符合题意20、已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若三角形的周长为8，面积的最大值为2.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设椭圆C外切于矩形，求矩形面积的最大值.解：（1）由得三点共线，因为三角形的周长为8，所以，则，当点为椭圆上或下顶点时面积的最大，即，由，解得，所以椭圆C的方程为.（2）当矩形中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条也与坐标轴平行，矩形的两条边长分别为矩形，此时，当矩形的边都不与坐标轴平行时，由对称性，不妨设直线的方程为；，则的方程为：.的方程为：，的方程为：.由，得，令得，同理得，矩形的边长分别为，
29、当且仅当时取等号，所以矩形面积的最大值是12.综上所述，矩形面积的最大值是12.21、已知抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）直线与C交于A，B两点，点T在y轴上，直线，与C的另一个交点分别为D，E，且，求T点的坐标.解：（1）依题意，设.由抛物线的定义得，解得，因为在抛物线上，所以，所以，解得.故抛物线的方程为.（2）设，由题易知，.联立，得，则，.直线的方程为，联立，得，所以，所以，同理可得.则，解得，当时，直线与重合，不符合题意，故，即T点的坐标为.22、如图，已知和抛物线是圆上一点，M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点（1）当直线与圆相切，且时，求的值；（
30、2）过P作抛物线两条切线分别为切点，求证：存在两个，使得面积等于解：（1）焦点F坐标为，设，则，由抛物线定义，M到焦点距离等于到抛物线准线的距离，所以，由，得，所以或，所以或，此时与准线垂直，所以或；（2）设，则，设直线方程为，代入，得，整理得，同理，直线方程为，有，由知，是方程的两根，所以，由切线意义知，在中，则所以，同理直线方程为即即到直线的距离所以，与联立得所以或，设，显然，又在上递增，所以在上有唯一零点所以存在两个，使得面积等于.23、椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值解：（1）由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得，设，由，所以的最大值为，将代入，有，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，可得，由韦达定理可得，直线BA的方程为，令得点M纵坐标，同理可得点N纵坐标，当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，由，故，解得
